Δυστυχώς οι αναρτήσεις των προηγούμενων κεφαλαίων αυτής της ενότητας διαγράφηκαν κατά λάθος…

Συμβαίνουν αυτά!

Θα συνεχίσω από το επόμενο κεφάλαιο και όταν βρω το χρόνο θα ενημερώσω και πάλι τη σελίδα.

Ευχαριστώ για την κατανόηση.

64. Βρίσκω το εμβαδό τραπεζίου

 

Εμβαδό τραπεζίου

Το εμβαδό ενός τραπεζίου είναι ίσο με το άθροισμα μικρής και μεγάλης βάσης του επί το ύψος του δια δύο.

Αυτό εκφράζεται σύντομα με τον τύπο Ε(τραπεζίου) = (β + Β) · υ : 2

 

65. Βρίσκω το εμβαδό κυκλικού δίσκου

Μάθαμε ότι:

• Ο κύκλος είναι μια κλειστή καμπύλη, που κάθε σημείο της απέχει εξίσου από ένα σημείο. Το σημείο αυτό λέγεται κέντρο του κύκλου.

Στον κύκλο διακρίνουμε την

• Ακτίνα του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το κέντρο με ένα σημείο του κύκλου.

• Διάμετρος του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου και περνά από το κέντρο.

Ο αριθμός π

Σε κάθε κύκλο το μέγεθος του μήκους του είναι ανάλογο με το μέγεθος της ακτίνας του ή το μέγεθος της διαμέτρου του.

Σε κάθε κύκλο το μήκος του (Κ) είναι 3,14 φορές μεγαλύτερο από τη διάμετρό του, ενώ αντιστρόφως η διάμετρός του είναι 3,14 φορές μικρότερη από το μήκος του.

 

Άρα Κ = 3,14 . δ και δ = Κ : 3,14

 

Τον αριθμό 3,14 τον ονομάζουμε πάντα αριθμό π.

Πώς λέγεται όμως, ο κύκλος και η επιφάνεια που κλείνει μέσα του;

 

• Κυκλικός δίσκος λέγεται ο κύκλος μαζί με την επιφάνεια που κλείνει μέσα του. Για να βρω το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου εφαρμόζω τον τύπο

 

Εμβαδό κυκλικού δίσκου = π. α²   ή αλλιώς

 

Ε κυκλ. δίσκου = π . (α . α)

γιατί…

Μάθε περισσότερα για τον κύκλο [κλικ]

Ασκήσεις

1. Συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα

 

Ακτίνα	Διάμετρος	Περιφέρεια	Εμβαδόν
2,5 εκ.
	7 εκ.
			63,585 τ.εκ.

 

2. Υπολογίστε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που εφάπτεται εσωτερικά σε τετράγωνο πλευράς 3 εκ.

3. Υπολογίστε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που εφάπτεται εξωτερικά σε τετράγωνο πλευράς 3 εκ.

4. Δύο ομόκεντροι κυκλικοί δίσκοι έχουν ακτίνες 4,5 εκ. και 6 εκ. Ποιο είναι το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου που σχηματίζουν οι κυκλικοί δίσκοι;

 

Κεφάλαιο 66: Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο: έδρες και αναπτύγματα

Κεφάλαιο 67: Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο: ακμές και κορυφές

 

Τι πρέπει να γνωρίζω

Ο κύβος είναι ένα γεωμετρικό στερεό σώμα με επίπεδες επιφάνειες που έχουν σχήμα τετραγώνου και λέγονται έδρες.

Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι το γεωμετρικό στερεό που αποτελείται από 6 έδρες, με σχήμα ορθογωνίου.

• Η επιφάνεια του κύβου αποτελείται από 6 έδρες. Το ίδιο και η επιφάνεια του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.

• Στον κύβο όλες οι έδρες είναι τετράγωνα και είναι ίσες μεταξύ τους, ενώ στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι ορθογώνια παραλληλό­γραμμα και είναι ίσες οι απέναντι έδρες του ανά δύο.
• Ακμή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο έδρες. Ο κύβος και το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχουν 12 ακμές.
• Κορυφή είναι το σημείο συνάντησης τριών ακμών. Ο κύβος και το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχουν 8 κορυφές.

• Η έδρα πάνω στην οποία στηρίζεται το γεωμετρικό στερεό και η απέναντί της λέγονται βάσεις του. Οι υπόλοιπες έδρες αποτελούν την παράπλευρη επιφάνειά του. Οι βάσεις και η παράπλευρη επιφάνεια μαζί αποτελούν την ολική επιφάνεια του στερεού.

• Ανάπτυγμα ενός στερεού λέγεται το αποτύπωμα των εδρών του σε ένα επίπεδο με συνεχόμενο τρόπο, έτσι ώστε με δίπλωση να σχηματίσουν το στερεό.

 

Το ανάπτυγμα του κύβου διαδραστικά [κλικ]

Δραστηριότητα:

Ο κύβος έχει μόνο ένα ανάπτυγμα; [δες εδώ]

Πώς βρίσκω το εμβαδό του Κύβου

Για να βρούμε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κύβου :

 

Επαρ. = 4 . (α . α)

 

Για να βρούμε το εμβαδόν όλου του κύβου :

 

Εολ. = 6 . (α . α)

 

Πώς βρίσκω το εμβαδό του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

 

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης του επί το ύψος του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.

Δηλαδή:

Επ = (περίμετρος βάσης) * (ύψος)

Το ολικό εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλλελεπιπέδου (Εολ) είναι το άθροισμα του εμβαδού της παράπλευρης επιφάνειας Επ και των εμβαδών Εβ των δύο βάσεων.

Δηλαδή:

Εολ = Επ + 2Εβ

Δραστηριότητα – κατασκευές

Εκτύπωσε το ανάπτυγμα και φτιάξε ένα κύβο [κλικ]

Εκτύπωσε το ανάπτυγμα και φτιάξε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο [κλικ]

Κεφάλαιο 68: Κύλινδρος

 

Τι πρέπει να γνωρίζω για τον κύλινδρο

• Κύλινδρος είναι το στερεό σώμα που έχει δυο παράλληλες και ίσες μεταξύ τους κυκλικές βάσεις και καμπύλη παράπλευρη επιφάνεια
• Η παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου είναι η επιφάνεια ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, του οποίου η μια διάσταση είναι ίση με το ύψος του κυλίνδρου και η άλλη είνια ίση με το μήκος του κύκλου της βάσης.
• Για να βρούμε το εμβαδό της επιφάνειας του κυλίνδρου (βάσης, παράπλευρης και ολικής), πρέπει να γνωρίζουμε την ακτίνα του κύκλου της βάσης και το ύψος.

Δες διαδραστικά το αναπτυγμα της επιφάνειας του κυλίνδρου [κλικ]

Δείτε την παρουσίαση του μαθήματος

Εξάσκηση στα γεωμετρικά στερεά [κλικ]

Δραστηριότητα

Δυο κύκλοι μήκους 25,12 εκ. ο καθένας και ένα ορθογώνιο με διαστάσεις 10 εκ. και 25,12 εκ. αποτελούν το ανάπτυγμα της επιφάνειας ενός κυλίνδρου.

Να βρεις:

α. Ποιο το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου;

β. Ποιο είναι το ολικό εμβαδό;

γ. Πόσα τ. εκ. χαρτί περιτυλίγματος θα χρειαστείς για να τυλίξεις όλον τον κύλινδρο;

 

Κεφάλαιο 69: Όγκος – Χωρητικότητα

 

Όγκος, χωρητικότητα

Ο χώρος που καταλαμβάνει ένα στερεό σώμα ονομάζεται όγκος.

Μονάδα μέτρησης του όγκου είναι το κυβικό μέτρο (κ.μ.).

Ένα κ. μ. είναι ένας κύβος με ακμή ίση με ένα μέτρο.

Yποδιαιρέσεις του κ. μ. που χρησιμοποιούμε για μικρότερες μετρήσεις είναι

το κυβικό δεκατόμετρο (κ. δεκ.),     το κυβικό εκατοστόμετρο (κ. εκ.) και          το κυβικό χιλιοστόμετρο

1 κ. μ. = 1.000 κ. δεκ = 1.000.000 κ. εκ. = 1.000.000.000 κ. χιλ.

 

Χωρητικότητα ενός δοχείου είναι ο όγκος της ποσότητας που μπορεί να χωρέσει το δοχείο.
Η ποσότητα του υγρού ή αερίου που χωράει σε 1 κυβικό δεκατόμετρο ονομάζεται 1 λίτρο.     

 

 1 λίτρο νερό ζυγίζει 1 κιλό.

Δείτε κι αυτό…

70.  Όγκος κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

Μάθαμε ότι ο όγκος, που ονομάζεται επίσης και χωρητικότητα, μας δείχνει πόσο χώρο καταλαμβάνει ένα αντικείμενο. 

Μονάδα μέτρησης όγκου και οι υποδιαιρέσεις

• 1 κ.μ. = 1.000 κ.δεκ. = 1.000.000 κ.εκ. = 1.000.000.000 κ.χιλ.
• 1 κ.δεκ. = 1.000 κ.εκ. =  1.000.000 κ.χιλ.
• 1  κ.εκ. = 1.000 κ.χιλ.

Επίσης ως μονάδα μέτρησης χρησιμοποιούμε το 1 λίτρο το οποίο είναι ίσο με το 1 κ.δεκ.

Ακόμα μάθαμε ότι τη μέτρηση του όγκου μπορούμε να την εκφράσουμε με φυσικό, συμμιγή, δεκαδικό ή κλασματικό αριθμό.

Πώς θα βρούμε τον όγκο του κύβου και του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου;

• Για να βρω τον όγκο του κύβου, πολλαπλασιάζω μήκος, πλάτος και ύψος δηλαδή

Όγκος κύβου = α ● α ●α

• Για να βρω τον όγκο του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, πολλαπλασιάζω μήκος, πλάτος και ύψος

δηλαδή

Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου = (μ ● π) ● υ

Πάτησε κι εδώ

Κεφάλαιο 71: Όγκος Κυλίνδρου

 

Ο όγκος ενός κυλίνδρου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του (δηλαδή του αριθμού π επί το τετράγωνο της ακτίνας:
Ε_{(κυκλικού δίσκου)} = π · α² επί το ύψος του.

Αυτό εκφράζεται με τον τύπο

Ο_{(κυλίνδρου)} = π · α² · υ.

Δείτε κι αυτό…

Πάτησε εδώ!

 

Δραστηριότητα

Μια βιομηχανία αναψυκτικών, τυποποιεί το προϊόν της σε κυλινδρικά κουτάκια διαμέτρου βάσης 8 εκατοστών και ύψους 10 εκατοστών και τα τοποθετεί σε κιβώτια  διαστάσεων 40 x 64 x 20 εκατοστά. Μπορείτε να βρείτε τον αριθμό από τα  κουτάκια αναψυκτικών των 12 κιβωτίων ;