Κατηγορία: Μαθηματικά Ε’ τάξης

Προβλήματα που έχουν “κρυφά” δεδομένα λύνονται πιο εύκολα αν συνδυάσουμε τις πληροφορίες που μας δίνονται ή αν αντικαταστήσουμε τα αριθμητικά δεδομένα με άλλα μικρότερα.

Δες μια πολύ καλή παρουσίαση για το πώς διαχειριζόμαστε και λύνουμε σύνθετα προβλήματα

Και μια και μιλάμε για προβλήματα, ίσως πρέπει να ξαναθυμηθούμε τα κλάσματα.

Δες  ένα κουίζ για τα κλάσματα!

(Πηγή:  κουρδιστή τάξη)

Στο μάθημα της γλώσσας “η μηχανή του χρόνου” είχαμε κατασκευάσει ένα ερωτηματολόγιο για να δούμε σε ποια εποχή θέλει να ταξιδέψει ο καθένας μας μέσα στο χρόνο. Η έρευνα αυτή τελικά πήρε τη μορφή έντυπου ερωτηματολογίου. Τα παιδιά κατασκεύασαν ένα ερωτηματολόγιο και το μοίρασαν στους μαθητές της έκτης και της τετάρτης τάξης του σχολείου μας.

Μας επέστρεψαν 48 συμπληρωμένα ερωτηματολόγια. Στην 21 ενότητα των μαθηματικών, “Στατιστική – Μέσος Όρος” ασχοληθήκαμε και είδαμε πώς γίνεται στην πράξη μια έρευνα με ερωτηματολόγια.

Συλλέξαμε τα δεδομένα, τα ταξινομήσαμε, τα επεξεργαστήκαμε, τα αναλύσαμε και στο τέλος προσπαθήσαμε να βγάλουμε τα συμπεράσματά μας.

Ορίστε τα αποτελέσματα της έρευνάς μας:

Το μέλλον τελικά ήταν και η επικρατέστερη προτίμηση, με την εποχή των δεινοσαύρων να ακουλουθεί σε αρκετή απόσταση, συμβαδίζοντας με την εποχή που έζησε ο Χριστός.

Ένα γενικό συμπέρασμα της έρευνάς μας είναι ότι ο άνθρωπος έχει αγωνία – περιέργεια να μάθει πώς θα είναι το μέλλον του κόσμου. Πού θα φτάσει η τεχνολογία και ποιοι από τους διαστημικούς στόχους που βάζουν οι επιστήμονες σήμερα θα επιτευχθούν στο μέλλον.

Ευχαριστούμε τους μαθητές που συμμετείχαν στην έρευνά μας.

“Τι είναι, λοιπόν, ο χρόνος; Αν δε με ρωτά κανείς, γνωρίζω. Αν, όμως, θέλω να το εξηγήσω σε κάποιον που με ρωτά, δε γνωρίζω. Αλλά σε κάθε περίπτωση τολμώ να πω πως τούτο γνωρίζω Αν τίποτε δεν τελείωνε, δε θα υπήρχε παρελθόν. Αν τίποτε δεν πλησίαζε, δε θα υπήρχε μέλλον. Αν τίποτε δεν υπήρχε, δε θα υπήρχε και παρόν…”

Άγιος Αυγουστίνος

Μονάδες μέτρησης χρόνου – μετατροπές

Η μέτρηση του χρόνου είναι σχετική με την περιστροφή της Γης γύρω από τον εαυτό της (ημερονύκτιο) και την περιστροφή της γύρω από τον ήλιο (έτος).

Τα μικρά χρονικά διαστήματα τα χωρίζουμε σε ώρα (ώρ), λεπτό (λ.) και δευτερόλεπτο (δ.)

Έχουμε: 1 ώρ. = 60 λ. και 1 λ. = 60 δ. και όμοια 1λ. = 1/60 ώρ. και 1 δ. = 1/60 λ.

Τα μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα τα μετράμε με την ημέρα ( = 24 ώρ.) και τα πολλαπλάσιά της:

την εβδομάδα(= 7 ημέρες), το μήνα(= 30 ημέρες) και το έτος(= 12 μήνες ή 360 ημέρες)

Για ακόμα μεγαλύτερες χρονικές περιόδους έχουμε τον αιώνα (= 100 έτη) και τη χιλιετία(= 1000 έτη)

Τις ώρες μπορούμε να τις εκφράσουμε με 12ωρο ή 24ωρο τρόπο. Όταν κάνουμε πράξεις ανάμεσα σε ώρες τις εκφράζουμε με 24ωρο τρόπο.

Οι ώρες και οι ημερομηνίες είναι συμμιγείς αριθμοί. Π. χ.

9:25 = 9 ώρες και 25 λεπτά

28 Οκτωβρίου 1940 = 1940 έτη 10 μήνες 28 ημέρες

Συμμιγείς αριθμοί

Οι συμμιγείς αριθμοί αποτελούνται από ακέραιους αριθμούς οι οποίοι δηλώνουν μονάδες διαφορετικής τάξης.

Ο αριθμός 5 ώρες 25 λεπτά 40 δευτερόλεπτα είναι ένας συμμιγής αριθμός. Αποτελείται από τρία ανεξάρτητα τμήματα και κάθε μονάδα αποτελεί υποδιαίρεση ή πολλαπλάσιο της άλλης: τα λεπτά αποτελούν υποδιαίρεση της ώρας, τα δευτερόλεπτα της ώρας και των λεπτών, η ώρα πολλαπλάσιο των λεπτών κ.ο.κ.

Στις μετρήσεις που κάνουμε στην καθημερινή μας ζωή, εκφράζουμε τα αποτελέσματά τους είτε με δεκαδικούς αριθμούς είτε με συμμιγείς. Για να μπορέσουμε να διαχειριστούμε τα αποτελέσματα των μετρήσεων που είναι εκφρασμένα σε συμμιγείς αριθμούς, μπορούμε να τους μετατρέψουμε στην πιο μικρή υποδιαίρεση.

2 μέτρα 4 δεκατόμετρα 5 εκατοστόμετρα = 2,45 μ. ή 245 εκατοστόμετρα

2 μέτρα 8 εκατοστόμετρα = 2,08 μ. ή 208 εκατοστόμετρα

Στις μετρήσεις με το χρόνο όμως, δεν μπορούμε να μετατρέψουμε τους συμμιγείς σε δεκαδικούς αριθμούς.  Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 ώρες 30 λεπτά δεν ισούται με 5,3 ώρες αλλά με 5,5 ώρες.

Πρόσθεση και αφαίρεση με συμμιγείς αριθμούς

Οι συμμιγείς τοποθετούνται ο ένας κάτω από τον άλλο όπως οι ακέραιοι και οι δεκαδικοί. Οι μονάδες κάθε τάξης γράφονται κάτω από τις μονάδες της ίδιας τάξης, με τον ίδιο τρόπο που κάτω από τις δεκάδες γράφουμε τις δεκάδες και κάτω από τις μονάδες τις μονάδες.

Προσθέτουμε ή αφαιρούμε χωριστά τους αριθμούς κάθε τάξης, αρχίζοντας από δεξιά, δηλαδή από τις μονάδες της μικρότερης τάξης.

Παράδειγμα:

2 κιλ. 750 γραμμ.

1 κιλ. 500 γραμμ.

+————————-

3 κιλ. 1250 γραμμ.

4 κιλ. 250 γραμμ.

Ειδικά στην αφαίρεση, πρώτος τοποθετείται ο μειωτέος, δηλαδή ο μεγαλύτερος αριθμός (ξέρουμε άλλωστε ότι στην πρόσθεση,  ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα και η σειρά δεν έχει καμία σημασία).

Συγκρίνουμε της μονάδες κάθε τάξης του μειωτέου με τις αντίστοιχες μονάδες του αφαιρετέου. Αν σε κάθε τάξη οι μονάδες του μειωτέου είναι περισσότερες από εκείνες του αφαιρετέου τότε κάνουμε αφαιρέσεις σε κάθε τάξη χωριστά αρχίζοντας από δεξιά. Αν σε κάποια τάξη οι μονάδες του μειωτέου είναι λιγότερες από εκείνες του αφαιρετέου τότε δανειζόμαστε μια μονάδα από την αμέσως μεγαλύτερη τάξη. Έπειτα μετατρέπουμε τη μονάδα σε μονάδες της μικρότερης τάξης και τις προσθέτουμε στις μονάδες που είχε αρχικά η αντίστοιχη τάξη του μειωτέου. Τέλος κάνουμε αφαιρέσεις σε κάθε τάξη χωριστά.

Παράδειγμα:

8 ώρ. 15 λ.    γίνεται     7 ώρ. 75 λ.

3 ωρ. 30 λ                        3 ωρ. 30 λ

– ————–               –  —————

4 ωρ. 45 λ.

Όλα αυτά μπορείτε να τα δείτε με παραδείγματα στις  παρουσιάσεις που ακολουθούν:

[slideboom id=564439&w=425&h=370]

[slideboom id=560743&w=425&h=370]

Για να θυμηθούμε λίγο και τι κάνατε στην Δ’ τάξη

Για περισσότερη εξάσκηση κάνε κλικ στην εικόνα

Η ιστορία του αριθμού π έχει από όλα !!!

 

 

Η ιστορία αυτή αναφέρεται στον πιο διάσημο αριθμό. . . Τον αριθμό π.  Ναι, αυτού του περίεργου αριθμού του 3,14159…. Μη μου πείτε ότι δεν τον έχετε ξανακούσει!!!

 

 

Είναι ο αριθμός που όλες οι φυλές του κόσμου προσπάθησαν να υπολογίσουν. Βαβυλώνιοι, Εβραίοι,  Αιγύπτιοι,  Έλληνες,  Άραβες,  Ινδοί,  Κινέζοι,  Ευρωπαίοι,  Ιάπωνες,  Αμερικανοί. Του αριθμού που αφιερώνονται εδάφια στη βίβλο και σε αρχαίες κωμωδίες. Του αριθμού για τον οποίο δημιουργούνται ταινίες ως και ποιηματάκια απομνημόνευσης.

 

 

Τι είναι όμως ο αριθμός αυτός, πως προκύπτει;

 

Μετρήστε το μήκος του διπλανού κύκλου. Δηλαδή την περιφέρειά του. Η μέτρηση μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας

 

ένα σπάγκο τοποθετώντας τον γύρω – γύρω στον κύκλο. Μετά μετρήστε τη διάμετρο του κύκλου Διαιρέστε τα δύο αποτελέσματα που βρήκατε.  Το αποτέλεσμα είναι 3,14159….

 

 

Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήξετε για οποιονδήποτε κύκλο και αν σχεδιάσετε !!!!

 

 

Ο αριθμός αυτός είναι η πρώτη παγκόσμια σταθερά που ανακαλύφθηκε ποτέ !!.

 

 

Είναι ο αριθμός που παγκοσμίως συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα   π.

 

 

Είναι ένας διάσημος αριθμός που έχει και την γενέθλια μέρα του. Η 14 Μαρτίου κάθε χρόνο είναι η « pi day ». Εκείνη τη μέρα όλος ο κόσμος γιορτάζει το γεγονός ότι :

 

« η διάμετρος του κύκλου χωρά 3,14 περίπου φορές στο μήκος του κύκλου. »

Στην παραπάνω εικόνα βλέπουμε τα βασικά στοιχεία του κύκλου (έτσι για να θυμηθούμε λίγο αυτά που είπαμε στο μάθημα).

Όμως μεγαλύτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η ιστορία του αριθμού π διαμέσου των αιώνων.

 

Αν ταξιδέψουμε πίσω στο χρόνο θα δούμε ότι η ιστορία του αριθμού π ξεκινάει από την Βαβυλώνα όπου υπάρχουν πινακίδες που αναγράφεται ότι η επικρατούσα τιμή του π είναι 3 και 1/8.

 

Συνεχίζουμε στην Αίγυπτο όπου στον πάπυρο του Rind ή πάπυρο του Ames, (κείμενο του 1800 π.χ. περίπου), περιέχεται ένα πρόβλημα προσδιορισμού του εμβαδού ενός κυκλικού χωραφιού διαμέτρου 9 khet (μονάδα μέτρησης μήκους). Οι συμβουλές του γεωμέτρη της εποχής είναι οι εξής :

 

 

« Πάρε το 1/9 της διαμέτρου και αφαίρεσε το από τη διάμετρο. Τη διαφορά που θα βρεις ύψωσέ την στο τετράγωνο. Το αποτέλεσμα που θα βρεις είναι το εμβαδόν του αγρού».

 

Ανηφορίζοντας φθάνουμε προς την   Ιερουσαλήμ όπου σε απόσπασμα της βίβλου ( παλαιά διαθήκη, βασιλέων Γ’,7:23) αναφέρεται ένα κυκλικό θυσιαστήριο που είχε κατασκευαστεί στο ναό του Σολομώντα όπου ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο είναι 3 !!

 

«… καὶ ἐποίησε τὴν θάλασσαν δέκα ἐν πήχει ἀπὸ τοῦ χείλους αὐτῆς ἕως τοῦ χείλους αὐτῆς, στρογγύλον κύκλῳ τὸ αὐτό · πέντε ἐν πήχει τὸ ὕψος αὐτ ῆς, καὶ συνηγμένοι τρεῖς καὶ τριάκοντα ἐν πήχει ἐκύκλουν αὐτήν …»

 

Συνεχίζοντας προς τα πάνω … φθάνουμε στην Ελλάδα. Ο Αρχιμήδης παρατήρησε ότι αν διαιρέσουμε το μήκος οποιουδήποτε κύκλου με τη διάμετρό του, το πηλίκο είναι πάντοτε ο αριθμός 3,14, τον οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα π.

Ωστόσο, οι αρχαίοι Έλληνες ξέφυγαν από τις «χονδρικές» εκτιμήσεις των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων και έδωσαν επιστημονική μέθοδο για τον υπολογισμό του π. Το συνδύασαν με ένα από τα περίφημα «άλυτα» προβλήματα της Αρχαιότητας: με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δηλαδή την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη τετραγώνου που να έχει ίσο εμβαδόν με δοσμένο κύκλο. Έτσι στην Ελλάδα τα μαθηματικά φθάνουν στο απόγειό τους. Οι τιμές για τον αριθμό π, δεν αρκούν. Η ελληνική σκέψη απαιτεί κάθε τι να αιτιολογείται. Στο χώρο των μαθηματικών να αποδεικνύεται – να κατασκευάζεται με όσο το δυνατό λιγότερα μηχανικά μέσα (μόνο με διαβήτη και κανόνα).

 

• Πόσο όμως είναι τελικά το π;
• Μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κύκλου με τη βοήθεια ενός ισοδύναμου τετραγώνου;
• Κατασκευάζεται δηλαδή τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με αυτό ενός δεδομένου κύκλου; (τετραγωνισμός του κύκλου).

 

Όσο τα ερωτήματα αυτά δεν έβρισκαν απαντήσεις, ο τετραγωνισμός του κύκλου και όσοι προσπαθούσαν κάτι τέτοιο, αντιμετωπίζονταν ως οι άνθρωποι που κυνηγούσαν το αδύνατο, το άπιαστο…

 

Χαρακτηριστικό το απόσπασμα από τις όρνιθες του Αριστοφάνη που ο αστρονόμος Μέτων λέει :

 

«με το ορθό ραβδί αρχίζω να μετρώ ώστε να γίνει ο κύκλος τετράγωνος για χάρη σου˙ και στο κέντρο του θα είναι η αγορά στην οποία θα οδηγούν όλοι οι δρόμοι συγκλίνοντας στο κέντρο, όπως σ’ ένα αστέρι, που ενώ είναι κυκλοτερές στέλνει παντού ευθείες ακτίνες λαμπρές».

 

«Αλήθεια, ο άνθρωπος είναι Θαλής!»

 

Μετά τους Έλληνες σειρά έχουν οι   Ρωμαίοι … Ο αρχιτέκτονας Βιτρούβιος (1ος αι. π.χ.) αναφέρει πηγάδι κυκλικής  διατομής με διάμετρο 4 ποδών και περίμετρο 12 και 1/2 ποδών δίνοντας έτσι την τιμή του π=3,12.

 

Όμως και στην μακρινή Κίνα οι μαθηματικοί υπολόγιζαν … Ο Liu Hsiao (1 αι. μ.χ.) χρησιμοποιεί την τιμή π 3,1547  Ο αστρονόμος Wang Fan (219- 257 μ. Χ.) καταλήγει στο συμπέρασμα ότι « όταν μία περιφέρεια κύκλου έχει μήκος 142 τότε η διάμετρός της είναι 45». Η σχέση αυτή δίνει την τιμή π=3,156

 

Στις μακρινές Ινδίες στο θρησκευτικό έργο Sulva Sutra με αφορμή την κατασκευή βωμών για θρησκευτικές τελετές οι μαθηματικοί υπολόγιζαν και έγραφαν …  « Πρόσθεσε στο μισό της πλευράς του τετραγώνου το ένα τρίτο της διαφοράς ανάμεσα στο μισό της διαγωνίου και το μισό της πλευράς και θα βρεις την ακτίνα του κύκλου ίσου εμβαδού»  « Η διάμετρος του κύκλου που είναι ισοδύναμο με ένα τε τράγωνο είναι τα 8/10 της διαγωνίου του τετραγώνου».

 

Πιο κάτω στην Αραβία … Ο Mohammed ibn Musa ή Al Khwarizmi (-9 αιώνας μ. Χ), συγγραφέας του πολύ γνωστού μαθηματικού έργου Algebrve  Almocabelah , χρησιμοποιεί τις τιμές του π=3,14. Τις ίδιες τιμές χρησιμοποιούσαν και οι μαθηματικοί Tabit ibn Qurra (826-901 μ.Χ.) και ο Πέρσης μαθηματικός Al Birouni (973-1048 μ.Χ.).

 

Τι να πούμε για τους μαθηματικούς της Δύσης Fibonacci (122ο), Al Kashi(1430), Francois Viete (1593), ο John Wallis (1616-1703 ), Newton, James Gregory (1638- 1675), Leonard Euler ( 1707-1783), ……

Έτσι φτάνουμε στο 1947 όπου ο D.F.ferguson υπολογίζει 808 ψηφία χρησιμοποιώντας επιτραπέζιο υπολογιστή δουλεύοντας επί ένα χρόνο. Μετά γίνεται η έκρηξη … στο παιχνίδι μπαίνουν και οι μεγάλοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές. Στην αρχή εκατομμύρια και μετά δισεκατομμύρια ψηφία… Ένας ατελείωτος κατάλογος επιστημόνων,Ρώσοι – Αμερικάνοι – Ιάπωνες – Κινέζοι, κ.α., συναγωνίζονται για το ποιος θα βρει τα περισσότερα ψηφία του αριθμού π. Το 2010 0 Fabrice Bellard υπολόγισε 2,7 τρισεκατομμύρια ψηφία του π, χρησιμοποιώντας έναν απλό υπολογιστή. Εργάστηκε 131 ημέρες, ενώ χρειάστηκε 1 ΤΒ σκληρό δίσκο για να αποθηκεύσει το αποτέλεσμά του!

 

Όμως η ιστορία δεν σταματά εκεί! Οι Alexander J. Yee & Shigeru Kondo κατάφεραν να υπολογίσουν περί τα 5 τρισεκατομμύρια ψηφία του π.  Ο υπολογισμός των ψηφίων διήρκεσε 90 ημέρες αρχίζοντας στις 4 Μαΐου 2010.

Τον 20ο και 21ο αιώνα, μαθηματικοί και πληροφορικοί ανακάλυψαν νέες προσεγγίσεις που, όταν συνδυάζονται με την αυξημένη υπολογιστική ισχύ, επεκτείνουν τη δεκαδική απεικόνιση του π πάνω από 10 τρισεκατομμύρια (10¹³) ψηφία (2011).

Τελικά η αναζήτηση μάλλον δεν θα σταματήσει ποτέ!!!

 

Όμως τα καλύτερα είναι στο τέλος!

 

Για την απομνημόνευση των πρώτων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες, ανάμεσά τους και η παρακάτω φράση :

 

«Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι.»

 

Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της φράσης αυτή ς αντιστοιχεί σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του ιστορικού και περίφημου αριθμού     π = 3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6…

 

Για την Ιστορία : Οι 6 πρώτες λέξεις του παραπάνω επιγράμματος αποδίδονται στον Πλάτωνα, ενώ τις υπόλο ιπες 17 συνέταξε, ο Ν . Χατζηδάκης (1872 – 1942) Καθηγητής Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών.

 

Υπάρχουν και αντίστοιχα στιχάκια σε όλες τις γλώσσες του κόσμου όπως για παράδειγμα :

Στα Αγγλικά

How I wish I could recollect, of circle round, the exact relation Arkimedes learned

3,1415926535897    (Πόσο θα ‘θελα να θυμάμαι από τον στρογγυλό κύκλο την ακριβή σχέση που γνωρίζει ο Αρχιμήδης)

Στα Γαλλικά

 Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! Immortel Archimède, artiste ingénieur, Qui de ton jugement peut priser la valeur?

 

3,141592653587932384626 (Πώς μ’ αρέσει να διδάσκω αυτό το χρήσιμο στους σοφούς αριθμό. Αθάνατε Αρχιμήδη, καλλιτέχνη, μαθηματικέ, κατά τη γνώμη σου ποιος θα μπορούσε να υπολογίσει την αξία του;)

 

Στα Γερμανικά

Wie, o dies π macht ernstlich so viel en viele Müh

 

3,141592653     (Πώς, ώ αυτό το πι όντως δημιουργεί σε τόσο πολλούς τόσο μεγάλο πρόβλημα.)

 

Στα Ιταλικά

 Che n’ ebbe d’ utile Archimede da ustori vetri sua somma scoperta?

 

3,14159265358     (Τι καλό βρήκε ο Αρχιμήδης από τη μεγάλη του ανακάλυψη τα κάτοπτρα που πυρπολούν;)

 

Στα Πορτογαλικά

 Sim, é útil e fácil memorizar um número grato aos sábios.

 

3,1415926535   (Ναι, είναι χρήσιμο να απομνημονεύσεις έναν αριθμό χρήσιμο στους σοφούς.)

 

Στα Ρουμάνικα

 Aşa e bine a scrie renumitul şi utilul număr.

 

3,14159265   (Αυτός είναι ο τρόπος να γράψεις το φημισμένο και χρήσιμο αριθμό)

 

Στα Ρώσικα

Это я знаю и помню прекрасно

3,14159 (Αυτό το ξέρω και το θυμάμαι τέλεια.)

Δείτε μια πολύ ωραία παρουσίαση ενός μαθητή της β΄γυμνασίου

(αγνοήστε όσα δεν καταλαβαίνετε και κρατήστε όσα μάθαμε)

Βιβλιογραφία

“Η ιστορία του αριθμού π”, εκπ. Δούκα

“Η ιστορία του “, διπλωματική εργασία της Αρώνη Παρασκευής

“Ο αριθμός π”, Εκπαίδευση, διδασκαλία και μαθηματικά, ιστολόγιο του εκπαιδευτικού Ισιδώρου Γλαβά

“Μήκος κύκλου”, Ιστολόγιο Ποδήλατο (περιοδικό  ποικίλης ύλης για παιδιά)

Την ημέρα pi day κάποιοι φτιάχνουν ως και πίτες για τον αριθμό αυτό

 

 

Για τα πιο “μεγάλα” παιδιά, (μπαμπάδες και μαμάδες, αλλά και μεγαλύτερα αδέρφια)

 

περισσότερες πληροφορίες εδώ

 

 

Μερικά από αυτά τα ατέλειωτα δεκαδικά ψηφία έχουν μελοποιηθεί!

 

πατήστε εδώ

Απολαύστε τη μουσική και τραγούδια του αριθμού π

Σήμερα μιλήσαμε για τα είδη των τριγώνων με κριτήριο τις πλευρές τους.

• Σε κάθε σκαληνό τρίγωνο (ΑΒΓ), εκτός από τις πλευρές που είναι άνισες, είναι και οι τρεις γωνίες του επίσης άνισες (απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται και η μεγαλύτερη γωνία)

• Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο (ΔΕΖ), εκτός από τις δυο πλευρές που είναι ίσες, είναι και οι δυο προσκείμενες γωνίες σε αυτές επίσης ίσες (απέναντι από ίσες πλευρές υπάρχουν ίσες γωνίες)

• Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο (ΗΘΙ), εκτός από όλες τις πλευρές που είναι ίσες, είναι και οι τρεις γωνίες του επίσης ίσες (από 60 μοίρες η καθεμία)

Δες προσεκτικά την παρουσίαση

[slideboom id=537751&w=425&h=370]

Κάνε κλικ στην εικόνα για θεωρία και εξάσκηση

Ένα τρίγωνο ως προς τις γωνίες του μπορεί να είναι:

Οξυγώνιο, αν έχει και τις τρεις γωνίες του οξείες

Αμβλυγώνιο, αν έχει μια αμβλεία γωνία(και δυο οξείες)

Ορθογώνιο, αν έχει μία ορθή γωνία(και δυο οξείες)

κάνε κλικ για εξάσκηση εδώ