Ο Ερμής είναι ο πλησιέστερος πλανήτης στον Ήλιο. Αυτό δημιουργεί ένα μεγάλο πρόβλημα αν θέλουμε να δημιουργήσουμε αποικία, αφού την ημέρα η θερμοκρασία είναι 430⁰C και το βράδυ πέφτει στους -180⁰C. Οι άποικοι φυσικά θα πρέπει να ζουν σε θόλους με κλιματισμό. Ας θεωρήσουμε ότι ένα κλιματιστικό μηχάνημα, λειτουργεί σαν ιδανική μηχανή Carnot και στο χώρο διαβίωσης δημιουργεί θερμοκρασία 20⁰C. Ο ρυθμός απώλειας ενέργειας από ή προς το περιβάλλον από τη μόνωση του θόλου είναι 0,5KJ/s για διαφορά θερμοκρασίας 1⁰C .

α) Ποιος είναι ο ρυθμός  απώλειας ενέργειας τη νύχτα και ποια η ισχύς της μηχανής Carnot, όταν λειτουργεί κατά τη διάρκεια της νύχτας;

β) Ποιος είναι ο ρυθμός  εισροής ενέργειας την ημέρα και ποια η ισχύς της μηχανής Carnot, όταν λειτουργεί κατά τη διάρκεια της ημέρας;

Απάντηση(Word)

Απάντηση(Pdf)

Κόβουμε ένα δίσκο μικρού πάχους, ακτίνας R = 1m κατά μήκος μιας διαμέτρου του ΑΒ. Παίρνουμε το ένα κομμάτι (Σ), μάζας Μ = 2kg και το στερεώνουμε, όπως στο σχήμα, με αβαρές νήμα, έτσι ώστε η διάμετρος ΑΒ να είναι κατακόρυφη. Αν γνωρίζουμε ότι το κέντρο μάζας του ημιδισκίου Σ, βρίσκεται πάνω στην οριζόντια ακτίνα ΟΓ, στο σημείο Κ, με  ΟΚ = d = 4R/3π, g = 10m/s² και η ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του που διέρχεται από το κέντρο του είναι Ι_δ(Ο) = 1/2 Μ_δR²

α) Σχεδιάστε τις δυνάμεις και υπολογίστε την τάση του νήματος.

β) Βρείτε τη δύναμη που ασκείται από το οριζόντιο επίπεδο, στο σημείο Β του ημιδισκίου.

γ) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής, που πρέπει να έχει το ημιδίσκιο Σ με το δάπεδο ώστε να μην ολισθαίνει;

Αν κόψουμε το νήμα παρατηρούμε ότι το ημιδίσκιο ξεκινά να κυλίεται χωρίς ολίσθηση, με το επίπεδό του να παραμένει κατακόρυφο.

δ) Ποια είναι η ροπή αδράνειάς του ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του που διέρχεται από το κέντρο μάζας του Κ;

ε) Ποια θα είναι η γωνιακή ταχύτητα του ημιδισκίου τη στιγμή που η διάμετρος ΑΒ γίνεται για πρώτη φορά οριζόντια;

στ) Ποια θα είναι τότε η στροφορμή του ημιδισκίου, ως προς τον οριζόντια άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο;

Απάντηση(Pdf)

Ένας κύλινδρος μάζας M = 6kg και ακτίνας R = 10cm ηρεμεί πάνω σε οριζόντια σανίδα ΑΒ μάζας m = 3kg. Ο συντελεστής στατικής τριβής ανάμεσα στον κύλινδρο και τη σανίδα είναι μ_s = 0,1. Τη χρονική στιγμή t =0, που το κέντρο μάζας του κυλίνδρου βρίσκεται στην κατακόρυφο που περνάει από το άκρο Α της σανίδας, ασκούμε στο κέντρο μάζας του κυλίνδρου οριζόντια σταθερή δύναμη μέτρου F = 5N. Παρατηρούμε ότι ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στη σανίδα. Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του I_cm = ½ MR² και g = 10m/s².

α) Σχεδιάστε τη στατική τριβή στο δίσκο και στη σανίδα εξηγώντας τη φορά τους. Τι κίνηση θα κάνει η σανίδα;

β) Βρείτε το μέτρο της στατικής τριβής που ασκείται στον κύλινδρο.

γ) Ποια είναι η μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης F, ώστε ο κύλινδρος να μην ολισθαίνει πάνω στη σανίδα;

δ) Υπολογίστε το μέτρο της επιτάχυνσης της σανίδας, της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου και της γωνιακής επιτάχυνσης του κυλίνδρου.

ε) Πότε θα φτάσει ο κύλινδρος στο άκρο Β της σανίδας και πόσες στροφές θα εκτελέσει;

στ) Ποιες ενεργειακές μετατροπές συμβαίνουν;

Το δάπεδο πάνω στο οποίο βρίσκεται η σανίδα θεωρείται λείο.

Απάντηση(Word)

Απάντηση(Pdf)

Στον πυθμένα των λιμνών συχνά παρατηρείται σχηματισμός φυσαλίδων αερίου CΗ₄. Έχοντας πυκνότητα μικρότερη από την πυκνότητα του νερού, ανέρχονται προς την επιφάνεια της λίμνης.

1. Ο όγκος αυτών των φυσαλίδων αυξάνεται κατά την άνοδο. Μπορείτε να εξηγήσετε το φαινόμενο;
2. Ένας δύτης – ερευνητής πήρε κάποιες μετρήσεις. Θερμοκρασία στον πυθμένα θ₁ = 17⁰C, θερμοκρασία στην επιφάνεια θ₂ = 27⁰C και ατμοσφαιρική πίεση p₂ = p₀ = 1∙10⁵N/m². Υπολόγισε επίσης ότι ο όγκος μιας φυσαλίδας τετραπλασιάζεται μέχρι την επιφάνεια της λίμνης. Βρήκε έτσι την πίεση κοντά στον πυθμένα. Πόσο;
3. Θεωρώντας την πυκνότητα του νερού ρ = 10³kg/m³, πόσο λέτε ότι κατάφερε να βρει το βάθος της θάλασσας;
4. Αν είχε θεωρήσει τη μεταβολή ισόθερμη πόσο % θα ήταν το σφάλμα του;

Θεωρείστε ότι η φυσαλίδα ανεβαίνει αργά, ώστε η πίεση και η θερμοκρασία στο εσωτερικό της προλαβαίνει να εξισώνεται με την πίεση του νερού εξωτερικά. Επίσης g = 10m/s².

Απάντηση(Pdf)

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί το σύστημα των σωμάτων Σ1(σανίδα) και Σ2(κύβος) του σχήματος, με μάζες m₁ = 3kg και m₂ = 2kg αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Ασκούμε στο Σ1 οριζόντια δύναμη και μελετάμε τη συμπεριφορά του συστήματος.Α) Αν μεταξύ των σωμάτων δεν εμφανίζεται τριβή, τι κίνηση θα εκτελέσει κάθε σώμα;
Β) Αν μεταξύ των σωμάτων υπάρχει τριβή, με συντελεστές τριβής μ = μ_σ = 0,3 ποια είναι η μέγιστη τιμή της κοινής επιτάχυνσης των δύο σωμάτων ώστε να μην υπάρξει ολίσθηση του σώματος Σ2, πάνω στο Σ1; Ποια είναι η αντίστοιχη μέγιστη τιμή στο μέτρο F της ασκούμενης δύναμης;
Γ) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, με μέτρο δύναμης F = 18N.
α) Τι κίνηση θα εκτελέσει κάθε σώμα;
β) Ποια θα είναι τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων;
γ) Να κάνετε στους ίδιους βαθμολογημένους άξονες, τις γραφικές παραστάσεις μετατόπισης – χρόνου για τα δύο σώματα από t₀ = 0, μέχρι t = 2s.
δ) Πόσο είναι το ελάχιστο μήκος της σανίδας Σ1, ώστε το σώμα Σ2 να παραμείνει πάνω της, μέχρι τη χρονική στιγμή t = 2s, αν η αρχική θέση του Σ2 είναι αυτή του σχήματος 1; Δίνεται η πλευρά του κύβου d = 0,5m.
Δίνεται g = 10m/s².

Απάντηση(Word)-Κατεβάστε το για σωστή εμφάνιση

Απάντηση (Pdf)

Θα παραθέσω μία άσκηση για την κίνηση του ήλιου μας στον γαλαξία, απλά για να δούμε τάξεις μεγέθους. Η πραγματικότητα είναι εξαιρετικά πολύπλοκη λόγω δύο δεδομένων.

Α) Ο γαλαξίας μας όπως ο ήλιος και οι αέριοι γίγαντες του ηλιακού μας συστήματος Δίας και Κρόνος που δεν είναι συμπαγή στερεά περιστρέφονται διαφορικά, δηλαδή περιστρέφονται ταχύτερα στον ισημερινό και πιο αργά όσο απομακρυνόμαστε απο αυτόν.

Β) Ένα σοβαρό πρόβλημα όμως είναι το γεγονός ότι οι ταχύτητες καθώς πλησιάζουμε στα όρια του γαλαξία μας είναι σημαντικά μεγαλύτερες απο τις αναμενόμενες όπως βλέπουμε στο παρακάτω διάγραμμα. Η κόκκινη γραμμή είναι οι μετρούμενες ταχύτητες και οι μπλέ διακεκομένες οι αναμενόμενες αν ο γαλαξίας μας αποτελούνταν μόνο απο συνηθισμένη βαρυονική ύλη.

Πάντως αν ο γαλαξίας μας αποτελούνταν μόνο απο βαρυονική ύλη θα είχε αυτοδιαλυθεί δεδομένου ότι τα αστέρια στις παρυφές του θα ήταν χαλαρά συνδεδεμένα βαρυτικά με τον πυρήνα. Η μόνη εξήγηση που προκρίνεται σήμερα για τα παραπάνω είναι η παρουσία σκοτεινής ύλης σε μία άλω γύρω απο τον πυρήνα και σε ποσοστό που αγγίζει το 90% της συνολικής μάζας. Η παρουσία σκοτεινής ύλης λύνει και άλλα ζητήματα όπως η συνοχή σμηνών και υπερσμηνών γαλαξιών καθώς και η  παρατηρούμενη εικόνα απο βαρυτικούς φακούς.Η σκοτεινή ύλη δεν εκπέμπει καμία ακτινοβολία σε κανένα μήκος κύματος εξ ου και αόρατη. Αλληλεπιδρά όμως βαρυτικά με τη βαρυονική ύλη. Ζητούμενο επομένως είναι να προσδιοριστεί η φύση της ή να βρεθεί κάτι άλλο στη θέση της. Μια μειοψηφία αστροφυσικών προτείνει μια τροποποιημένη Νευτώνεια βαρύτητα που θα απαντά στα παραπάνω ζητήματα. Όπως και να έχει η πιο οικεία μας δύναμη η βαρύτητα, μας δημιουργεί τα πιο σοβαρά προβλήματα(ας μην ξεχνάμε και την επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος), παρά το γεγονός ότι έχουμε δύο θεωρίες για τη βαρύτητα που και οι δύο είναι …σωστές. Ακολουθεί η άσκηση.

milky-way

Διαθέτουμε ένα στερεό το οποίο αποτελείται από μια ομογενή ράβδο ΟΚ, μήκους l=2m και μάζας m=15kg, και, έναν ομογενή δίσκο μάζας Μ=40kg και ακτίνας R=1m απόλυτα συνδεδεμένο με τη ράβδο, με το άκρο Κ της ράβδου να είναι και το κέντρο του δίσκου. Το στερεό S μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο Ο της ράβδου, ενώ συγκρατείται με την ράβδο σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.

i) Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το στερεό να περιστραφεί.

α) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του στερεού S, ως προς τον άξονα περιστροφής.

β) Να υπολογιστεί η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού S, καθώς και  η επιτάχυνση του κέντρου Κ του δίσκου.

ii) Κόβουμε και απομακρύνουμε τον μισό δίσκο, οπότε παίρνουμε το στερεό S₁, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.

α) Στηριζόμενοι στον ορισμό της ροπής αδράνειας, να υπολογίσετε  τη ροπή αδράνειας Ι₁ του στερεού S₁, ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο, εκμεταλλευόμενοι την ροπή αδράνειας του στερεού S.

β) Αν αφήσουμε το στερεό S₁ να κινηθεί ξανά, από την θέση που η ράβδος είναι οριζόντια, να υπολογιστούν η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού και η αρχική επιτάχυνση του σημείου Κ.

Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς δίσκου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο του Ι₁=1/2 ΜR² και η αντίστοιχη ροπή αδράνειας για την ομογενή ράβδο Ι₂= ml²/12 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Και αν πάρουμε το μισό δίσκο;

Η τροχαλία είναι μια απλή μηχανή, που μπορεί να βοηθήσει μια εργασία, με την αλλαγή διεύθυνσης ή της μείωσης του μέτρου της απαιτούμενης δύναμης. Χρησιμοποιώντας τη σταθερή (πάγια) τροχαλία Ρ1, την κινητή τροχαλία Ρ2 και δυο νήματα, πετυχαίνουμε αντίστοιχα τα παραπάνω. Το νήμα ν1 δένεται στο σώμα Α, περνάει από το αυλάκι της σταθερής τροχαλίας Ρ1, τυλίγεται γύρω από το αυλάκι της κινητής τροχαλίας Ρ2 και καταλήγει στον άξονα της σταθερής τροχαλίας Ρ1, σε ακλόνητο σημείο,  όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Το νήμα ν2 δένεται στο σώμα Σ και καταλήγει στον άξονα της κινητής τροχαλίας Ρ2.
Με αυτή τη διάταξη θέλουμε να σύρουμε το σώμα Σ, μάζας m_Σ = 400kg,  πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, γωνίας κλίσης  θ με ημθ = 0,6 και συνθ = 0,8. Το αντίβαρο Α που θα χρησιμοποιήσουμε έχει μάζα m_Α = 300kg, οι τροχαλίες είναι αμελητέας μάζας, δεν εμφανίζονται τριβές στους άξονές τους, τα νήματα αβαρή, μη εκτατά και δε γλιστράνε στα αυλάκια των τροχαλιών. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος Σ και του κεκλιμένου επιπέδου είναι μ = 0,5 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s².
i) Αν το αντίβαρο Α κατέλθει κατά Δx, το σώμα Σ μετατοπίζεται κατά
α) Δx                β) Δx/2             γ) 2Δx
Βρείτε και δικαιολογείστε τη σωστή απάντηση.
ii) Αν η επιτάχυνση με την οποία κατέρχεται το Α έχει μέτρο α, το σώμα Σ αποκτά επιτάχυνση μέτρου
α) α                  β) 2α                γ) α/2
Βρείτε και δικαιολογείστε τη σωστή απάντηση.
iii) Υπολογίστε το μέτρο της επιτάχυνσης κάθε σώματος.
iv) Ποιο είναι το μέτρο της τάσης κάθε νήματος;
v) Αν το σώμα Α απέχει αρχικά από το οριζόντιο έδαφος απόσταση h = 5m, ποιο θα είναι το μέτρο της ταχύτητας με την οποία θα χτυπήσει στο έδαφος;

Απάντηση(Word) (Κατεβάστε το για σωστή προβολή)

Απάντηση(Pdf)