Δύο μικρές όμοιες σφαίρες Α και Β μάζας m, είναι στερεωμένες στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους d, δημιουργώντας έτσι το σώμα S₁, το οποίο ηρεμεί σε οριζόντια διεύθυνση. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται ελεύθερα γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από άρθρωση στο μέσον της Ο. Μια άλλη σφαίρα Γ μάζας επίσης m αφήνεται ελεύθερη από ύψος h κατακόρυφα πάνω από τη σφαίρα Β και συγκρούεται με αυτήν κεντρικά και πλαστικά. Δημιουργείται έτσι ένα στερεό S₂ , που στρέφεται περί το σημείο Ο. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται dt → 0 και επίπεδο αναφοράς βαρυτικής δυναμικής ενέργειας παίρνουμε το οριζόντιο επίπεδο της ράβδου ΑΒ.

  i) Η στροφορμή του συστήματος, ως προς το σημείο Ο, αμέσως πριν την κρούση έχει μέτρο

Απάντηση 

Απάντηση 

Στο λάστιχο ενός τροχού αυτοκινήτου έχει σφηνώσει ένα χαλίκι Λ, μάζας m =10g. Η διάμετρος του ελαστικού είναι δ = 15,8 inch ≈ 40cm, το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα υ = 72km/h και ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση.

i) Αν ο τροχός θεωρηθεί επίπεδος δίσκος, ποια είναι η στροφορμή του χαλικιού ως προς το κέντρο Ο του τροχού; Σχεδιάστε το διάνυσμα. Αν το αυτοκίνητο κινείται προς την Ανατολή, ποιον προσανατολισμό έχει το διάνυσμα;

ii) α) Ποια είναι η στροφορμή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ περιστροφής του δίσκου;

β) Θεωρείστε ένα σημείο Α του άξονα, που απέχει από το Ο απόσταση ΟΑ = 15cm. Υπολογίστε τη στροφορμή του χαλικιού ως προς αυτό το σημείο και σχεδιάστε το διάνυσμά της. Τι συμπεραίνετε; Η στροφορμή είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα;

iii) Υπολογίστε την προβολή του διανύσματος του ερωτήματος (iiβ), πάνω στον άξονα Z΄Z. Τι παρατηρείτε;

iv) Κάποια στιγμή t₁, που το χαλίκι διέρχεται από την ανώτερη θέση, χάνει την επαφή του με το λάστιχο και εκτοξεύεται οριζόντια. Για τη χρονική στιγμή t₁ + dt, όπου dt → 0, χαρακτηρίστε παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

α) Το χαλίκι δεν κάνει πλέον κυκλική κίνηση, άρα αμέσως μετά την εκτόξευση η στροφορμή του μηδενίζεται.

β) Δεν έχει στροφορμή ένα υλικό σημείο, που εκτελεί μεταφορική κίνηση.

γ) Η στροφορμή του χαλικιού δεν «χάνεται» ξαφνικά, έτσι αμέσως μετά την αποκόλληση είναι ίδια με αμέσως πριν.

v) Τη χρονική στιγμή t₁ χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

α) Η στροφορμή του χαλικιού είναι 0,04kgm²/s.

β) Η στροφορμή του χαλικιού ως προς το σημείο Ο ή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ είναι 0,04kgm²/s.

γ) Η στροφορμή του χαλικιού ως προς το σημείο Ο ή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ έχει μέτρο 0,04kgm²/s.

δ) Η στροφορμή του χαλικιού, ως προς ένα τυχαίο σημείο Γ του εδάφους, που βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με το χαλίκι, έχει μέτρο 0,16kgm²/s.

vi) Τι κίνηση θα κάνει το χαλίκι μέχρι να φτάσει στο έδαφος και ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του ως προς το σημείο Γ του εδάφους, όταν βρίσκεται σε ύψος h = R από το έδαφος; Δίνεται g = 10m/s.²

Απάντηση 

Απάντηση 

Μετά από μια έκρηξη στο διαστημόπλοιό τους δυο αστροναύτες Α1 και Α2 με ίσες μάζες m₁ = m₂ = 80kg βρέθηκαν στο βαθύ διάστημα, να κρατιούνται στα άκρα μιας ράβδου αμελητέας μάζας, μήκους d₁ = 3m, περιστρεφόμενοι με γωνιακή ταχύτητα  ω₁ = 2rad/s, όπως φαίνεται στο σχήμα.

α) Αφού εξηγήσετε ποια είναι η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που εκτελεί κάθε αστροναύτης,

υπολογίστε τη στροφορμή του κάθε αστροναύτη και τη στροφορμή του συστήματος, ως προς το κέντρο μάζας C του συστήματος.

Κάποια στιγμή αποφάσισαν να πλησιάσουν ο ένας τον άλλο, οπότε τραβώντας ο καθένας τη ράβδο προς το μέρος του, διήνυσαν ταυτόχρονα, απόσταση d = 1m ο καθένας.

β) Τι τροχιά διαγράφει κάθε αστροναύτης ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή;

γ) Υπολογίστε την νέα γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.

δ) Υπολογίστε τη μεταβολή της στροφορμής του κάθε αστροναύτη.

ε) Υπολογίστε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Πως εξηγείται αυτή η μεταβολή;

Θεωρούμε τους αστροναύτες υλικά σημεία και αμελητέα κάθε βαρυτική έλξη.

Απάντηση 

Απάντηση 

ο δίσκος Α κυλίεται ομαλά χωρίς να ολισθαίνει γύρω από τον δίσκο Β, ο οποίος συγκρατείται ακίνητος. Μετά από πόσες στροφές του δίσκου Α, θα βρεθεί αυτός στην αρχική του θέση;

α. 3/2                β. 3                  γ. 6                   δ. 9/2                            ε. 9

ΠΡΟΣΟΧΗ! Στις απαντήσεις που δόθηκαν δεν υπάρχει η σωστή!

Σωστή απάντηση 

Σωστή απάντηση 

Λεία σφαίρα Σ₁ μάζας m₁, ακτίνας R, κινούμενη με ταχύτητα , κατά τη θετική φορά μιας ημιευθείας Αε, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ₂ μάζας m₂, ίδιας ακτίνας (σχήμα 1α).

α) Αν το ποσοστό της κινητικής ενέργειας, που μεταβιβάζει η σφαίρα Σ₁ στη σφαίρα Σ₂ είναι e% = 75% και η σφαίρα Σ₁ συνεχίζει να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα, βρείτε το λόγο λ = m₁/m₂ των μαζών.

β) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα έτσι ώστε οι σφαίρες Σ₁ και Σ₂ να συγκρουστούν πλάγια ελαστικά, όπως φαίνεται στο σχήμα 1β. Η ταχύτητα της Σ₁ είναι ίδια με αυτήν του πρώτου πειράματος, με μέτρο υ₁ = 10m/s και η απόσταση O₂K = d = 1,6R, όπου Ο₁Ο₂ η διάκεντρος των σφαιρών.

Υπολογίστε τις ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση και το ποσοστό e΄% της κινητικής ενέργειας, που μεταβιβάζει η σφαίρα Σ₁ στη σφαίρα Σ₂

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Οι δύο σφαίρες του σχήματος με μέτρα ταχυτήτων υ₁ και υ₂ (υ₁ > υ₂) αντίστοιχα, συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά.

Αν θέσουμε μ = m₁m₂/m₁+m₂, δείξτε ότι

α) Η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας έχει αντίστοιχα αλγεβρική τιμή:

Δp₁ = μ ∙ δυ, Δp₂ = -μ ∙ δυ

όπου με το συμβολισμό δυ αναφερόμαστε στην αλγεβρική τιμή της διαφοράς των ταχυτήτων των σφαιρών πριν την κρούση, δηλαδή δυ = υ₂ – υ₁

β) Η απώλεια Κινητικής Ενέργειας του συστήματος είναι:

Κ_απ = ½ μ (δυ)²

Απάντηση 

Απάντηση 

Οι δύο σφαίρες του σχήματος με μέτρα ταχυτήτων υ₁ και υ₂ (υ₁ > υ₂) αντίστοιχα, συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά.

Αν θέσουμε μ = m₁m₂/m₁+m₂, δείξτε ότι

α) Η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας έχει αντίστοιχα αλγεβρική τιμή:

Δp₁ = μ ∙ δυ, Δp₂ = -μ ∙ δυ

όπου με το συμβολισμό δυ αναφερόμαστε στην αλγεβρική τιμή της διαφοράς των ταχυτήτων των σφαιρών πριν την κρούση, δηλαδή δυ = υ₂ – υ₁

β) Η απώλεια Κινητικής Ενέργειας του συστήματος είναι:

Κ_απ = ½ μ (δυ)²

Απάντηση 

Απάντηση 

Θέματα & Λύσεις