Κατηγορία: 4.05 Ηλεκτρομαγνητισμός

Στο κύκλωμα του σχήματος δίνονται R₁ = 3Ω, R₂ = 6Ω, η πηγή ιδανική με ΗΕΔ Ε = 12V και το πηνίο ιδανικό με συντελεστή αυτεπαγωγής L = 0,3H.

i) Τη χρονική στιγμή t₀ = 0s κλείνουμε το διακόπτη δ και τον ανοίγουμε ακαριαία τη χρονική στιγμή t₁ = 1s. Δεδομένου ότι το χρονικό αυτό διάστημα είναι αρκετό για την αποκατάσταση του ρεύματος, βρείτε την ένταση του ρεύματος σε κάθε κλάδο του κυκλώματος και την αλγεβρική τιμή της ΗΕΔ αυτεπαγωγής στο πηνίο

α) τη χρονική στιγμή t = 0⁺s (ποσοτικά)

β) μια χρονική στιγμή 0s < t < 1s (ποιοτικά)

γ) τη χρονική στιγμή t = 1s (ποσοτικά)

ii) Μετά το άνοιγμα του διακόπτη και με δεδομένο ότι τη χρονική στιγμή t₂ = 2s έχει τελειώσει το φαινόμενο της αυτεπαγωγής, βρείτε την ένταση του ρεύματος σε κάθε κλάδο του κυκλώματος και την αλγεβρική τιμή της ΗΕΔ αυτεπαγωγής στο πηνίο

α) τη χρονική στιγμή t = 1⁺s (ποσοτικά)

β) Μια χρονική στιγμή 1s < t < 2s (ποιοτικά)

γ) τη χρονική στιγμή t = 2s (ποσοτικά)

iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με το χρόνο, που διαρρέει κάθε κλάδο του κυκλώματος πριν και μετά το άνοιγμα του διακόπτη.

iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ΗΕΔ αυτεπαγωγής στο πηνίο σε συνάρτηση με το χρόνο, πριν και μετά το άνοιγμα του διακόπτη.

v) Κάποια στιγμή t₁ όπου 0s < t₁ < 1s η ένταση του ρεύματος που δίνει η πηγή είναι i = 3A. Βρείτε τις ενεργειακές μετατροπές, υπολογίζοντας την ισχύ που ανταλλάσσει με το κύκλωμα κάθε δίπολο του κυκλώματος.

vi) Κάποια στιγμή t₁ όπου 1s < t₂ < 2s η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα είναι i₁ = 3A. Βρείτε τις ενεργειακές μετατροπές, υπολογίζοντας την ισχύ που ανταλλάσσει με το κύκλωμα κάθε δίπολο του κυκλώματος.

Απάντηση 

Απάντηση 

Η αντίσταση R = 3Ω, του διπλανού σχήματος βρίσκεται στο όριο υπερθέρμανσης και καταστροφής, όταν καταναλώνει ισχύ P = 27W. Με τον διακόπτη στη θέση 1, συνδέουμε την πηγή συνεχούς, που έχει εσωτερική αντίσταση r = 1Ω.

α) Ποια πρέπει να είναι η ΗΕΔ Ε_DC αυτής της πηγής;

Θέλουμε να μεταφέρουμε τον διακόπτη στη θέση 2, συνδέοντας πηγή εναλλασσόμενης τάσης, που προέρχεται από στρεφόμενο ορθογώνιο πλαίσιο, με διαστάσεις α = 30cm, β = 40cm, μέσα σε μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 0,01Τ κάθετα στον άξονα περιστροφής του. Το πλαίσιο έχει Ν = 1000 σπείρες και στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω = 10√2rad/s.

β) Κάποιος ισχυρίζεται ότι δεν πρέπει να το κάνουμε γιατί ο αντιστάτης θα λειώσει. Έχει δίκιο;

γ) Να γράψετε την εξίσωση i = f(t) του εναλλασσόμενου ρεύματος, που θα παρέχει αυτή η πηγή σε συνάρτηση με το χρόνο, αν την t₀ = 0s, i = 0A και το εμβαδικό διάνυσμα του πλαισίου είναι ομόρροπο με το διάνυσμα . Στη συνέχεια να την παραστήσετε γραφικά για μια περίοδο στο ίδιο σύστημα αξόνων με το αντίστοιχο ρεύμα I_DC, που παρέχει η πηγή συνεχούς.

δ) Ποιες χρονικές στιγμές στη διάρκεια της πρώτης ημιπεριόδου έχουμε i = I_AC; Σε τι ποσοστό του χρόνου μιας περιόδου αντιστοιχεί ο συνολικός χρόνος υπέρβασης του ορίου ρεύματος;

ε) Τι αλλαγές θα προτείνατε για την πηγή στρεφόμενου πλαισίου, ώστε να παρέχει την επιτρεπόμενη τάση στην αντίσταση;

στ) Αν υπολογίζαμε τη μέση ισχύ θα μπορούσαμε να εξετάσουμε αν κινδυνεύει να καταστραφεί ο αντιστάτης;

Απάντηση 

Απάντηση 

Σωματίδιο μάζας m = 10^-27kg και φορτίου q = 10^-19C εκτοξεύεται με ταχύτητα οριζόντιας διεύθυνσης και εισέρχεται στο σημείο Α, στο εσωτερικό οριζόντιου ρευματοφόρου σωληνοειδούς απείρου μήκους, όπως φαίνεται στο σχήμα, κάθετα στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου. Το μαγνητικό πεδίο κυκλικής διατομής, κέντρου Ο, έχει ακτίνα R = 0,2m και η γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της ταχύτητας με την ακτίνα ΟΑ είναι θ = π/6 rad. Το σωληνοειδές έχει n = 10⁴ σπείρες/m και διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι = 25/πΑ. Η τροχιά του σωματιδίου διέρχεται από το κέντρο Ο του κύκλου. Δίνεται μ₀/4π = 10^-7Ν/Α² και ότι στο εξωτερικό του σωληνοειδούς το μαγνητικό πεδίο είναι μηδενικό.

i) Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση της έντασης του ομογενούς μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του σωληνοειδούς.

ii) Ποιο πρέπει να είναι το μέτρο υ₀ της ταχύτητας του σωματιδίου;

iii) Ποια είναι η μεταβολή της ορμής του σωματιδίου στη διαδρομή ΑΟ;

iv) Πόσο χρόνο θα χρειαστεί το σωματίδιο για να διανύσει το τόξο ΑΟ;

v) Αν η ταχύτητα εισόδου του σωματιδίου στο μαγνητικό πεδίο διπλασιαστεί, ο χρόνος για να διανύσει το τόξο ΑΟ

α. θα διπλασιαστεί

β. θα υποδιπλασιαστεί

γ. θα παραμείνει σταθερός.

Δικαιολογείστε τη σωστή απάντηση.

Απάντηση 

Απάντηση 

Κίνηση αγωγού σε γραμμικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο

Μια ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους D = 0,5m, αντίστασης R = 5Ω και μάζας m = 0,24kg μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω σε δύο παράλληλους κατακόρυφους μεταλλικούς οδηγούς, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση L = 0,4m και ισαπέχουν από τα άκρα του αγωγού. Οι οδηγοί συνδέονται με πηγή, που περιέχει κατάλληλη ηλεκτρονική διάταξη ώστε να παρέχει στον αγωγό σταθερή τάση V = 16V.  Ο αγωγός συγκρατείται ακίνητος και όλο το σύστημα βρίσκεται μέσα σε ένα κάθετο στο επίπεδό του μαγνητικό πεδίο έντασης , που περιορίζεται σε μια ορθογώνια περιοχή, με τα όριά της να ισαπέχουν κατά d = 0,05m από τους κατακόρυφους οδηγούς, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0s, ο αγωγός αφήνεται ελεύθερος, ενώ ταυτόχρονα το μαγνητικό πεδίο αρχίζει να μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση: B(t) = 1+ 0,5t (S.I.) Δίνεται g = 10m/s², δεν λαμβάνονται υπόψη φαινόμενα επαγωγής και ο αγωγός κινείται συνεχώς υπό την επίδραση του μαγνητικού πεδίου.

i) Υπολογίστε την ένταση του ρεύματος, που διαρρέει τον αγωγό.

ii) Βρείτε την αλγεβρική τιμή της δύναμης Laplace που ασκείται στον αγωγό σε συνάρτηση με τον χρόνο. Τι κίνηση θα κάνει ο αγωγός;

iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνισταμένης δύναμης στον αγωγό σε συνάρτηση με το χρόνο από τη χρονική στιγμή t₀ = 0s, μέχρι τη χρονική στιγμή t₂ = 4s. Ποιo είναι το μέτρο της ταχύτητας του αγωγού τη χρονική στιγμή t₂; Ποιο είναι το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του αγωγού;

iv) Βρείτε την ισχύ κάθε δύναμης τη χρονική στιγμή t₃ = 1s και τον αντίστοιχο ρυθμό μεταβολής κινητικής ενέργειας.

Απάντηση 

Απάντηση 

Ένα πρωτόνιο p(m, +e), ένα δευτερόνιο d(2m, +e) και ένα ιόν He⁺² He(4m, +2e), αφού εισέλθουν με αμελητέα κινητική ενέργεια στο ίδιο σημείο Α, σχεδόν ταυτόχρονα, τη χρονική στιγμή t₀ = 0s, στην κατεύθυνση των δυναμικών γραμμών ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου έντασης και εύρους ΑΓ = d, επιταχύνονται και εξέρχονται από το πεδίο.

i) Να κατατάξετε τα σωματίδια κατά αύξουσα σειρά ως προς το ειδικό φορτίο τους λ = q/m

ii) Να κατατάξετε τα σωματίδια κατά αύξουσα σειρά ως προς

α) τη χρονική στιγμή της εξόδου

β) το μέτρο της ταχύτητας εξόδου

από το ηλεκτρικό πεδίο.

Τα σωματίδια στη συνέχεια εισέρχονται στη διεύθυνση άξονα Οx, κάθετα στις δυναμικές γραμμές οριζόντιου ομογενούς μαγνητικού πεδίου έντασης , που οριοθετείται από τον άξονα Ψ΄Ψ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα και καλύπτει αρκετή περιοχή, ώστε τα σωματίδια να εξέλθουν πάλι από τον άξονα Ψ΄Ψ.

iii) α) Να σχεδιάσετε την τροχιά που θα διαγράψει κάθε σωματίδιο.

β) Να κατατάξετε τα σωματίδια με βάση το χρονικό διάστημα παραμονής στο μαγνητικό πεδίο, κατά αύξουσα σειρά.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Θεωρούμε αμελητέα την αλληλεπίδραση μεταξύ των σωματιδίων και δεν υπάρχουν βαρυτικές δυνάμεις.

Απάντηση 

Απάντηση 

Διαθέτουμε δυο λεπτά σύρματα Σ₁ και Σ₂ πολύ μεγάλου μήκους. Τα κάμπτουμε ώστε να δημιουργήσουμε δυο αγωγούς, τους οποίους συνδέουμε σε σειρά όπως στο σχήμα 1. Ο αγωγός Σ που σχηματίζεται έχει ένα ημικύκλιο ακτίνας R και δυο ημιευθείες Αx, Γy. Όταν διαρρέει τον αγωγό Σ ρεύμα έντασης I, η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο κέντρο Ο του ημικυκλίου είναι B. Αποσυνδέουμε το σύστημα, κάμπτουμε εκ νέου τα σύρματα σε σχήμα ορθής γωνίας, τα τοποθετούμε όπως στο σχήμα 2 και τα τροφοδοτούμε με ρεύμα ίδιας έντασης Ι΄. Στο ευθύγραμμο τμήμα ΔΚ, που συνδέει τις κορυφές των ορθών γωνιών το σημείο Ο είναι μέσον με ΔΟ = ΟΚ = R. Αφού βρείτε τη φορά  του ρεύματος σε κάθε αγωγό, υπολογίστε ποια από τις παρακάτω είναι η τιμή της έντασης Ι΄, ώστε στο σημείο Ο το μαγνητικό πεδίο να έχει πάλι ένταση B.

α) Ι΄= 2πΙ

β) Ι΄= ½ ∙(π+2)Ι

γ) Ι΄= Ι

Απάντηση 

Απάντηση 

α) Χωρίς να κάνετε αριθμητικές πράξεις δώστε την εξίσωση υπολογισμού του μέτρου Β₁ της έντασης του μαγνητικού πεδίου, που δημιουργεί ο αγωγός Σ₁ στο σημείο Ο.

β) Δικαιολογείστε ποια είναι η φορά του ρεύματος i₂.

γ) Υπολογίστε την επίκεντρη γωνία φ του κυκλικού τόξου.

δ) Αν δίνονται R = 0,02m, μ₀/4π = 10^-7Ν/Α², γράψτε την εξίσωση της ευθείας του σχήματος 2 και υπολογίστε τις τιμές Β_Ο,αρχ και Β_Ο,τελ.

Απάντηση 

Απάντηση 

Δύο ευθύγραμμοι μεταλλικοί αγωγοί Σ1 και Σ2 αμελητέας αντίστασης, συγκολλούνται μεταξύ τους στο ένα τους άκρο και τοποθετούνται σε οριζόντιο τραπέζι ώστε να είναι ακλόνητοι, με τη γωνία xAy = 90⁰. Ένας τρίτος αγωγός Σ3 μήκους L = 2m, κινείται με σταθερή ταχύτητα και βρίσκεται κάθε στιγμή σε αγώγιμη επαφή με τους δύο σταθερούς αγωγούς, έτσι ώστε το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από τους τρεις αγωγούς να είναι ισοσκελές. Τη χρονική στιγμή t = 0s το μέσον Μ του αγωγού Σ3 διέρχεται από το σημείο Α. H ταχύτητα του αγωγού Σ3 έχει μέτρο υ = (√2/4)m/s, διεύθυνση παράλληλη προς τον αγωγό Σ1, όπως στο σχήμα και επιτυγχάνεται με την εξάσκηση κατάλληλης δύναμης . Κάθετα στο επίπεδο του τριγώνου διέρχονται οι δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου έντασης μέτρου Β = 1Τ .

α) Εξηγείστε γιατί δημιουργείται επαγωγικό ρεύμα στο τριγωνικό πλαίσιο που δημιουργείται από τους τρεις αγωγούς και προσδιορίστε τη φορά του.

β) Υπολογίστε την ΗΕΔ επαγωγής που αναπτύσσεται στο πλαίσιο σε συνάρτηση με το χρόνο και κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες, μέχρι τη χρονική στιγμή t₁ που θα χάσει ο αγωγός Σ3 την επαφή του με τους Σ1, Σ2.

γ) Αν η αντίσταση ανά μονάδα μήκους του πλαισίου είναι R^*= 0,125Ω/m, υπολογίστε το επαγωγικό ρεύμα που διαρρέει το πλαίσιο σε συνάρτηση με το χρόνο.

δ) Βρείτε τη χρονική εξίσωση της εξωτερικής δύναμης που ασκούμε για να κινείται ο αγωγός με σταθερή ταχύτητα.

ε) Βρείτε τη χρονική εξίσωση της παρεχόμενης ισχύος από τη δύναμη και από την αντίστοιχη γραφική παράσταση υπολογίστε το έργο της δύναμης μέχρι τη χρονική στιγμή t₁.

στ) Να βρείτε όλους τους μετασχηματισμούς της ενέργειας ανά μονάδα χρόνου και να επαληθεύσετε την Διατήρηση της Ενέργειας, μέχρι τη χρονική στιγμή t₁.

Απάντηση 

Απάντηση