Κατηγορία: 3.03 Βαρυτικό πεδίο

Ο ήλιος απέχει περίπου R = 25.000 έτη φωτός από το κέντρο του γαλαξία μας και ταξιδεύει περίπου σε κύκλο με περίοδο T_Η = 170.000.000 ετών. Η γη απέχει r = 8 λεπτά φωτός από τον ήλιο.

Μόνο από αυτά τα δεδομένα, βρείτε την κατά προσέγγιση βαρυτική μάζα Μ του γαλαξία σε μονάδες της μάζας του ήλιου. Για να βρείτε τη βαρυτική δύναμη στον ήλιο, θεωρείστε κατά προσέγγιση ότι όλη η μάζα του γαλαξία βρίσκεται στο κέντρο του. Άλλωστε στην εικόνα βλέπετε πόσο πυκνό σε άστρα είναι το γαλαξιακό κέντρο.

Απάντηση 

Απάντηση 

Ένας δορυφόρος περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη στο επίπεδο του Ισημερινού και μένει σε έκλειψη διαγράφοντας γωνία Δθ = 24⁰, όπως φαίνεται στο σχήμα.

(οι αποστάσεις είναι πλασματικές).

α) Σε ποιο ύψος από την επιφάνεια της Γης κινείται ο δορυφόρος;

β) Ποιο είναι το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας και η περίοδος του δορυφόρου;

γ) Αν θεωρήσουμε ακίνητη τη Γη, πόσο διαρκεί η έκλειψη;

δ) Η Γη όμως …γυρίζει. Ένας παρατηρητής στον Ισημερινό, βλέπει το δορυφόρο να διέρχεται από το ζενίθ του τόπου του στις 12 τα μεσάνυχτα. Πότε θα τον ξαναδεί σε αυτό το σημείο; Ο δορυφόρος γυρίζει με φορά από δυτικά προς ανατολικά.

Δίνεται ημ12⁰ = 0,2, η ακτίνα της Γης R_Γ = 6400km και g₀ = 10m/s².

Απάντηση 

Απάντηση 

A) Ας θεωρήσουμε ότι το σύμπαν αποτελείται από δύο μόνο σώματα. Τη Γη (μάζας Μ_Γ και ακτίνας R_Γ) και ένα σώμα – υλικό σημείο Σ (μάζας m << M_Γ ). Τα δύο σώματα αλληλεπιδρούν βαρυτικά, αλλά μπορούμε να λέμε ότι το Σ βρίσκεται στο βαρυτικό πεδίο της Γης, λόγω της τεράστιας μάζας της Γης.

Η Γη θεωρείται σφαιρική, ομογενής και ακίνητη (τίποτα από αυτά δεν ισχύει στην πραγματικότητα…).

Διαφυγή σε 

Διαφυγή σε 

Ένα διαστημικό λεωφορείο έχει δορυφοροποιηθεί, σε κυκλική τροχιά ύψους h = R/16 από την επιφάνεια της Γης, όπου R = 6400km η ακτίνα της Γης. Το επίπεδο της κυκλικής τροχιάς προσδιορίζεται από τους άξονες Χ΄X, Ψ΄Ψ όπως φαίνεται στο σχήμα.  Ο άξονας Χ΄Χ είναι εφαπτόμενος στην κυκλική τροχιά, ενώ ο άξονας Ψ΄Ψ διέρχεται από το κέντρο της Γης. Η μάζα του λεωφορείου είναι Μ = 128000kg και φέρει ως φορτίο, τεχνητό – υποψήφιο – δορυφόρο μάζας m = 2000kg. Κάποια στιγμή εκτοξεύεται ο τεχνητός δορυφόρος με ταχύτητα μέτρου υ_εκτ = 0,4m/s έχοντας τη διεύθυνση του άξονα Ζ΄Ζ. Ο μηχανισμός εκτόξευσης παραμένει ενεργοποιημένος, σε επαφή με το δορυφόρο, για χρονικό διάστημα Δt = 0,8s.

α) Ποια είναι η ταχύτητα του διαστημικού λεωφορείου πριν την απελευθέρωση του δορυφόρου;

β) Ποια είναι η ταχύτητα του διαστημικού λεωφορείου μετά την απελευθέρωση του δορυφόρου;

γ) Να υπολογιστεί το μέτρο της μέσης δύναμης που δέχτηκε ο δορυφόρος κατά την εκτόξευση.

δ) Πόση ενέργεια έδωσε ο μηχανισμός εκτόξευσης στο σύστημα;

Η Γη θεωρείται ακίνητη και σφαιρική. Η ένταση του πεδίου βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης είναι g₀ = 10N/kg.

Απάντηση 

Απάντηση 

Από το Kοσμοδρόμιο του Μπαϊκονούρ, η Ρωσική Διαστημική υπηρεσία προγραμμάτισε εκτόξευση πυραύλου μάζας m = 2∙10³kg, με σκοπό κάποια στιγμή να διαφύγει από το πεδίο βαρύτητας της Γης. Οι κινητήρες θα εκκινήσουν τον πύραυλο από την ηρεμία και θα λειτουργήσουν μέχρι ύψος h = R_Γ, όπου R_Γ = 6400km η ακτίνα της Γης, προσφέροντας σε αυτόν ενέργεια W_F = 89∙10⁶J, όπου F η προωστική δύναμη. Η τροχιά θα είναι κατακόρυφη. Οι υπολογισμοί από το κέντρο ελέγχου στη Γη, έδειξαν ότι σε αυτή τη θέση απαιτείται να γίνει διάσπαση του πυραύλου σε δύο τμήματα, Σ₁ και Σ₂. Το Σ₁, μάζας m₁ = 1,5∙10³kg, πρέπει να εκτοξευτεί σε διεύθυνση διερχόμενη από το κέντρο της Γης, ώστε το υπόλοιπο τμήμα Σ₂ του πυραύλου, μάζας  m₂, να συνεχίσει την κατακόρυφη πορεία του και να επιτύχει το στόχο της αποστολής. Δίνεται g₀ = 10N/kg και θεωρούμε μόνο το πεδίο βαρύτητας της Γης να επηρεάζει την κίνηση. Η Γη είναι σφαιρική και …ακίνητη.

α) Yπολογίστε την ταχύτητα του πυραύλου λίγο πριν τη διάσπαση.

β) Ποια είναι η ταχύτητα διαφυγής από το βαρυτικό πεδίο της Γης στο ύψος h;

γ) Ποια είναι η ταχύτητα με την οποία πρέπει να εκτοξευτεί το τμήμα Σ₁;

δ) Το τμήμα Σ₂ θα επιστρέψει στη Γη με μηδενική ταχύτητα κατά την προσγείωση. Για να γίνει αυτό θα χρησιμοποιηθούν ανασχετικοί πύραυλοι, για τα τελευταία 10√10 m της διαδρομής. Το μέτρο της δύναμης , που πρέπει να ασκηθεί για την επιτυχία του εγχειρήματος, είναι της μορφής F = a∙y, 0m ≤ y ≤ 10√10 m ,  όπου a θετική σταθερά. Προσδιορίστε την τιμή της σταθεράς a.

ε) (Ερώτημα για ανήσυχους μαθητές). Μια κάμερα πάνω στο τμήμα Σ₂ θα δείξει το Σ₁ να απομακρύνεται με φορά προς το κέντρο της Γης, δηλαδή κατά την αρνητική φορά. Γιατί;

Απάντηση 

Απάντηση 

Αφιερωμένη στον Ανδρέα Ριζόπουλο που έχει εντρυφήσει στη διαστημική. Άσκηση στους δορυφόρους σχετικά δύσκολη αλλά πολύ αναλυτικά δοσμένη και όχι όπως θα τη δίναμε σε ένα μάθημα αστρονομίας όπου οι βασικές έννοιες θα ήταν στην αντίστοιχη θεωρία. Η τοποθέτηση δορυφόρων σε τροχιά είναι απόφαση που συνδυάζει ένα μεγάλο πλήθος παραγόντων συμπεριλαμβανομένου και του κόστους. Ο διεθνής διαστημικός σταθμός κινείται σε ένα μέσο ύψος 400 km ώστε να μετριάζεται λίγο η κοσμική ακτινοβολία και να είναι ευκολότερα προσβάσιμος σε γήινες αποστολές. Το αρνητικό είναι ότι κινείται σε μία ζώνη με τα περισσότερα διαστημικά σκουπίδια και με σημαντική απώλεια ενέργειας λόγω αντίστασης του αέρα. Τα διαστημικά τηλεσκόπια κινούνται σε ακόμα χαμηλότερη τροχιά για να είναι εύκολη η επισκευή τους. Οι δορυφόροι internet κινούνται σε χαμηλές τροχιές ώστε να μην υπάρχει παραμόρφωση του σήματος λόγω χρονικής υστέρησης. Επίσης σχηματίζουν τους λεγόμενους αστερισμούς όπου 6 τουλάχιστον δορυφόροι τοποθετούνται σε αρκετές τροχιές παράλληλες μεταξύ τους και με κλίση ως προς τον ισημερινό. Ο λόγος είναι γρήγορο internet και παγκόσμια κάλυψη. Υπάρχει ένα μεγάλο πλήθος δορυφόρων με διάφορες αποστολές και διαφορετικά κάθε φορά κριτήρια επιλογής τροχιών. Ας δούμε μία απλή μορφή ενός αστερισμού.

H AΣΚΗΣΗ ΕΔΩ ή εδώ.

Θα παραθέσω μία άσκηση για την κίνηση του ήλιου μας στον γαλαξία, απλά για να δούμε τάξεις μεγέθους. Η πραγματικότητα είναι εξαιρετικά πολύπλοκη λόγω δύο δεδομένων.

Α) Ο γαλαξίας μας όπως ο ήλιος και οι αέριοι γίγαντες του ηλιακού μας συστήματος Δίας και Κρόνος που δεν είναι συμπαγή στερεά περιστρέφονται διαφορικά, δηλαδή περιστρέφονται ταχύτερα στον ισημερινό και πιο αργά όσο απομακρυνόμαστε απο αυτόν.

Β) Ένα σοβαρό πρόβλημα όμως είναι το γεγονός ότι οι ταχύτητες καθώς πλησιάζουμε στα όρια του γαλαξία μας είναι σημαντικά μεγαλύτερες απο τις αναμενόμενες όπως βλέπουμε στο παρακάτω διάγραμμα. Η κόκκινη γραμμή είναι οι μετρούμενες ταχύτητες και οι μπλέ διακεκομένες οι αναμενόμενες αν ο γαλαξίας μας αποτελούνταν μόνο απο συνηθισμένη βαρυονική ύλη.

Πάντως αν ο γαλαξίας μας αποτελούνταν μόνο απο βαρυονική ύλη θα είχε αυτοδιαλυθεί δεδομένου ότι τα αστέρια στις παρυφές του θα ήταν χαλαρά συνδεδεμένα βαρυτικά με τον πυρήνα. Η μόνη εξήγηση που προκρίνεται σήμερα για τα παραπάνω είναι η παρουσία σκοτεινής ύλης σε μία άλω γύρω απο τον πυρήνα και σε ποσοστό που αγγίζει το 90% της συνολικής μάζας. Η παρουσία σκοτεινής ύλης λύνει και άλλα ζητήματα όπως η συνοχή σμηνών και υπερσμηνών γαλαξιών καθώς και η  παρατηρούμενη εικόνα απο βαρυτικούς φακούς.Η σκοτεινή ύλη δεν εκπέμπει καμία ακτινοβολία σε κανένα μήκος κύματος εξ ου και αόρατη. Αλληλεπιδρά όμως βαρυτικά με τη βαρυονική ύλη. Ζητούμενο επομένως είναι να προσδιοριστεί η φύση της ή να βρεθεί κάτι άλλο στη θέση της. Μια μειοψηφία αστροφυσικών προτείνει μια τροποποιημένη Νευτώνεια βαρύτητα που θα απαντά στα παραπάνω ζητήματα. Όπως και να έχει η πιο οικεία μας δύναμη η βαρύτητα, μας δημιουργεί τα πιο σοβαρά προβλήματα(ας μην ξεχνάμε και την επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος), παρά το γεγονός ότι έχουμε δύο θεωρίες για τη βαρύτητα που και οι δύο είναι …σωστές. Ακολουθεί η άσκηση.

milky-way

Για να μεταφέρουμε έναν υποψήφιο δορυφόρο από την επιφάνεια της Γης σε ύψος h από αυτήν, απαιτείται να δαπανήσουμε ελάχιστο έργο w₁. Για να θέσουμε το δορυφόρο σε τροχιά απαιτείται επιπλέον ελάχιστο έργο w₂. Αν η ακτίνα της Γης είναι R και το ύψος h = R/2, το πηλίκο των έργων είναι

Βρείτε τη σωστή σχέση και δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Απάντηση(Word) (Για σωστή εμφάνιση πρέπει να το κατεβάσετε)

Απάντηση(Pdf)