Ένα σφαιρίδιο Σ μάζας m = 2kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού νήματος. Περνάμε το νήμα από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού,  προσδίδουμε στο σφαιρίδιο μια αρχική οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ₀ = 2m/s και ταυτόχρονα στο κάτω άκρο του Α, ασκούμε μια μεταβλητή κατακόρυφη δύναμη , ώστε το σημείο Α να αρχίσει να κατεβαίνει επιτάχυνση μέτρου α_r = 1m/s².

i) Αν η αρχική ακτίνα της τροχιάς του σφαιριδίου είναι R₀ = 6m, να γράψετε την εξίσωση που δίνει την ακτίνα της τροχιάς σε συνάρτηση με το χρόνο και να εξηγήσετε ποιοτικά τι είδος τροχιάς θα διαγράψει το σφαιρίδιο.

ii) Σχεδιάστε σε κάτοψη την τροχιά ποιοτικά και σε μια τυχαία θέση του σφαιριδίου σημειώστε πάνω στο σχήμα τα διανύσματα (ταχύτητα, τάση νήματος, στροφορμή ως προς το Ο). Μπορεί η τάση να είναι κάθετη στην ταχύτητα;

iii) Τη χρονική στιγμή t₁ = 2s η δύναμη που ασκούμε έχει μέτρο F = 6,5N.

α. Yπολογίστε για το σφαιρίδιο Σ την επιτάχυνση.

β. Aφού εξηγείστε την ύπαρξή της, υπολογίστε την κεντρομόλο επιτάχυνση.

iv) Κάποιος ισχυρίζεται ότι η ποσότητα L = m∙υ∙R εκφράζει κάθε χρονική στιγμή τη στροφορμή του σφαιριδίου ως προς το Ο. Συμφωνείτε με αυτό τον ισχυρισμό;

v) Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου τη χρονική στιγμή t₁= 2s.

vi) Βρείτε την τάση του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

vii) Ποιος είναι ο ρυθμός παραγωγής έργου από την δύναμη τη χρονική στιγμή t₁= 2s;

viii) Πόσο είναι το έργο της δύναμης από τη χρονική στιγμή της εκτόξευσης μέχρι τη χρονική στιγμή t₁;

Δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ νήματος (κατά το πέρασμά του από την τρύπα) και της επιφάνειας του τραπεζιού.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ένα σφαιρίδιο Σ μάζας m = 2kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού νήματος. Περνάμε το νήμα από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού,  προσδίδουμε στο σφαιρίδιο μια αρχική οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ₀ = 2m/s και ταυτόχρονα στο κάτω άκρο του Α, ασκούμε μια μεταβλητή κατακόρυφη δύναμη , ώστε το σημείο Α να αρχίσει να κατεβαίνει επιτάχυνση μέτρου α_r = 1m/s².

i) Αν η αρχική ακτίνα της τροχιάς του σφαιριδίου είναι R₀ = 6m, να γράψετε την εξίσωση που δίνει την ακτίνα της τροχιάς σε συνάρτηση με το χρόνο και να εξηγήσετε ποιοτικά τι είδος τροχιάς θα διαγράψει το σφαιρίδιο.

ii) Σχεδιάστε σε κάτοψη την τροχιά ποιοτικά και σε μια τυχαία θέση του σφαιριδίου σημειώστε πάνω στο σχήμα τα διανύσματα (ταχύτητα, τάση νήματος, στροφορμή ως προς το Ο). Μπορεί η τάση να είναι κάθετη στην ταχύτητα;

iii) Τη χρονική στιγμή t₁ = 2s η δύναμη που ασκούμε έχει μέτρο F = 6,5N.

α. Yπολογίστε για το σφαιρίδιο Σ την επιτάχυνση.

β. Aφού εξηγείστε την ύπαρξή της, υπολογίστε την κεντρομόλο επιτάχυνση.

iv) Κάποιος ισχυρίζεται ότι η ποσότητα L = m∙υ∙R εκφράζει κάθε χρονική στιγμή τη στροφορμή του σφαιριδίου ως προς το Ο. Συμφωνείτε με αυτό τον ισχυρισμό;

v) Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου τη χρονική στιγμή t₁= 2s.

vi) Βρείτε την τάση του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

vii) Ποιος είναι ο ρυθμός παραγωγής έργου από την δύναμη τη χρονική στιγμή t₁= 2s;

viii) Πόσο είναι το έργο της δύναμης από τη χρονική στιγμή της εκτόξευσης μέχρι τη χρονική στιγμή t₁;

Δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ νήματος (κατά το πέρασμά του από την τρύπα) και της επιφάνειας του τραπεζιού.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Δύο μικρές όμοιες σφαίρες Α και Β μάζας m, είναι στερεωμένες στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους d, δημιουργώντας έτσι το σώμα S₁, το οποίο ηρεμεί σε οριζόντια διεύθυνση. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται ελεύθερα γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από άρθρωση στο μέσον της Ο. Μια άλλη σφαίρα Γ μάζας επίσης m αφήνεται ελεύθερη από ύψος h κατακόρυφα πάνω από τη σφαίρα Β και συγκρούεται με αυτήν κεντρικά και πλαστικά. Δημιουργείται έτσι ένα στερεό S₂ , που στρέφεται περί το σημείο Ο. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται dt → 0 και επίπεδο αναφοράς βαρυτικής δυναμικής ενέργειας παίρνουμε το οριζόντιο επίπεδο της ράβδου ΑΒ.

  i) Η στροφορμή του συστήματος, ως προς το σημείο Ο, αμέσως πριν την κρούση έχει μέτρο

Απάντηση 

Απάντηση 

Στο λάστιχο ενός τροχού αυτοκινήτου έχει σφηνώσει ένα χαλίκι Λ, μάζας m =10g. Η διάμετρος του ελαστικού είναι δ = 15,8 inch ≈ 40cm, το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα υ = 72km/h και ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση.

i) Αν ο τροχός θεωρηθεί επίπεδος δίσκος, ποια είναι η στροφορμή του χαλικιού ως προς το κέντρο Ο του τροχού; Σχεδιάστε το διάνυσμα. Αν το αυτοκίνητο κινείται προς την Ανατολή, ποιον προσανατολισμό έχει το διάνυσμα;

ii) α) Ποια είναι η στροφορμή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ περιστροφής του δίσκου;

β) Θεωρείστε ένα σημείο Α του άξονα, που απέχει από το Ο απόσταση ΟΑ = 15cm. Υπολογίστε τη στροφορμή του χαλικιού ως προς αυτό το σημείο και σχεδιάστε το διάνυσμά της. Τι συμπεραίνετε; Η στροφορμή είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα;

iii) Υπολογίστε την προβολή του διανύσματος του ερωτήματος (iiβ), πάνω στον άξονα Z΄Z. Τι παρατηρείτε;

iv) Κάποια στιγμή t₁, που το χαλίκι διέρχεται από την ανώτερη θέση, χάνει την επαφή του με το λάστιχο και εκτοξεύεται οριζόντια. Για τη χρονική στιγμή t₁ + dt, όπου dt → 0, χαρακτηρίστε παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

α) Το χαλίκι δεν κάνει πλέον κυκλική κίνηση, άρα αμέσως μετά την εκτόξευση η στροφορμή του μηδενίζεται.

β) Δεν έχει στροφορμή ένα υλικό σημείο, που εκτελεί μεταφορική κίνηση.

γ) Η στροφορμή του χαλικιού δεν «χάνεται» ξαφνικά, έτσι αμέσως μετά την αποκόλληση είναι ίδια με αμέσως πριν.

v) Τη χρονική στιγμή t₁ χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

α) Η στροφορμή του χαλικιού είναι 0,04kgm²/s.

β) Η στροφορμή του χαλικιού ως προς το σημείο Ο ή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ είναι 0,04kgm²/s.

γ) Η στροφορμή του χαλικιού ως προς το σημείο Ο ή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ έχει μέτρο 0,04kgm²/s.

δ) Η στροφορμή του χαλικιού, ως προς ένα τυχαίο σημείο Γ του εδάφους, που βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με το χαλίκι, έχει μέτρο 0,16kgm²/s.

vi) Τι κίνηση θα κάνει το χαλίκι μέχρι να φτάσει στο έδαφος και ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του ως προς το σημείο Γ του εδάφους, όταν βρίσκεται σε ύψος h = R από το έδαφος; Δίνεται g = 10m/s.²

Απάντηση 

Απάντηση 

Μετά από μια έκρηξη στο διαστημόπλοιό τους δυο αστροναύτες Α1 και Α2 με ίσες μάζες m₁ = m₂ = 80kg βρέθηκαν στο βαθύ διάστημα, να κρατιούνται στα άκρα μιας ράβδου αμελητέας μάζας, μήκους d₁ = 3m, περιστρεφόμενοι με γωνιακή ταχύτητα  ω₁ = 2rad/s, όπως φαίνεται στο σχήμα.

α) Αφού εξηγήσετε ποια είναι η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που εκτελεί κάθε αστροναύτης,

υπολογίστε τη στροφορμή του κάθε αστροναύτη και τη στροφορμή του συστήματος, ως προς το κέντρο μάζας C του συστήματος.

Κάποια στιγμή αποφάσισαν να πλησιάσουν ο ένας τον άλλο, οπότε τραβώντας ο καθένας τη ράβδο προς το μέρος του, διήνυσαν ταυτόχρονα, απόσταση d = 1m ο καθένας.

β) Τι τροχιά διαγράφει κάθε αστροναύτης ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή;

γ) Υπολογίστε την νέα γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.

δ) Υπολογίστε τη μεταβολή της στροφορμής του κάθε αστροναύτη.

ε) Υπολογίστε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Πως εξηγείται αυτή η μεταβολή;

Θεωρούμε τους αστροναύτες υλικά σημεία και αμελητέα κάθε βαρυτική έλξη.

Απάντηση 

Απάντηση 

Δύο μικρές μπάλες Α και Β, μάζας m_A = 3kg και m_B = 1kg, αντίστοιχα, συνδέονται με άκαμπτη αβαρή ράβδο, μήκους L = 2m και ηρεμούν πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ξαφνικά εκτοξεύουμε τη σφαίρα Α με ταχύτητα μέτρου υ₀ = 4m/s, με διεύθυνση κάθετη στη ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήμα.
i) Υπολογίστε
α) την ορμή του συστήματος και
β) τη στροφορμή του συστήματος ως προς το κέντρο μάζας του C που βρίσκεται σε απόσταση r = 0,5m από τη μπάλα Α.
ii) Βρείτε τις ταχύτητες των Α και Β τη χρονική στιγμή t₁ , που η ράβδος έχει περιστραφεί κατά 180⁰.
iii) Τη χρονική στιγμή t₁ υπολογίστε επίσης το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω και το μέτρο υ_C της ταχύτητας του κέντρου μάζας C του συστήματος.
iv) Για καθηγητές:
Βρείτε τις συντεταγμένες x, y θέσης της μπάλας Α, τη χρονική στιγμή t₁.
Τη χρονική στιγμή t₀ = 0s, που εκτοξεύτηκε, είχε x = 0m, y = +0,5m.

Απάντηση 

 

Κόβουμε ένα δίσκο μικρού πάχους, ακτίνας R = 1m κατά μήκος μιας διαμέτρου του ΑΒ. Παίρνουμε το ένα κομμάτι (Σ), μάζας Μ = 2kg και το στερεώνουμε, όπως στο σχήμα, με αβαρές νήμα, έτσι ώστε η διάμετρος ΑΒ να είναι κατακόρυφη. Αν γνωρίζουμε ότι το κέντρο μάζας του ημιδισκίου Σ, βρίσκεται πάνω στην οριζόντια ακτίνα ΟΓ, στο σημείο Κ, με  ΟΚ = d = 4R/3π, g = 10m/s² και η ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του που διέρχεται από το κέντρο του είναι Ι_δ(Ο) = 1/2 Μ_δR²

α) Σχεδιάστε τις δυνάμεις και υπολογίστε την τάση του νήματος.

β) Βρείτε τη δύναμη που ασκείται από το οριζόντιο επίπεδο, στο σημείο Β του ημιδισκίου.

γ) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής, που πρέπει να έχει το ημιδίσκιο Σ με το δάπεδο ώστε να μην ολισθαίνει;

Αν κόψουμε το νήμα παρατηρούμε ότι το ημιδίσκιο ξεκινά να κυλίεται χωρίς ολίσθηση, με το επίπεδό του να παραμένει κατακόρυφο.

δ) Ποια είναι η ροπή αδράνειάς του ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του που διέρχεται από το κέντρο μάζας του Κ;

ε) Ποια θα είναι η γωνιακή ταχύτητα του ημιδισκίου τη στιγμή που η διάμετρος ΑΒ γίνεται για πρώτη φορά οριζόντια;

στ) Ποια θα είναι τότε η στροφορμή του ημιδισκίου, ως προς τον οριζόντια άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο;

 

Απάντηση(Pdf)