Τα σώματα Α και Β του σχήματος με μάζες αντίστοιχα m_Α = m και m_Β = 2m αντίστοιχα, συνδέονται με ελατήριο σταθεράς k και τοποθετούνται σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με το Α εφαπτόμενο στον κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε οριζόντια δύναμη μέτρου F, που σπρώχνει το σώμα B προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το σύστημα να ισορροπεί και στο ελατήριο να έχει αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια U.

i) Το μέτρο της δύναμης F πρέπει να είναι

α) F = √(2kU)               β) F = (1/2) √(2kU)                   γ) F = (3/2) √(2kU)

Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη .

ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται κάποια χρονική στιγμή t₁ όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό μήκος του.

iii) Α) Η χρονική στιγμή t₁ είναι

α) t₁ = π√(2m/k)                        β) t₁ = 0,5π√(2m/k)                    γ) t₁ = π√(m/k)

     Β) Η ταχύτητα του σώματος Β τη χρονική στιγμή t₁ έχει μέτρο

α) υ_max = √(U/2m)          β) υ_max = √(2U/m)                      γ) υ_max = √(U/m)

iv) Να αποδείξετε ότι το ελατήριο αποκτά τη μέγιστη δυναμική ενέργειά του κάποια χρονική στιγμή t₂, όταν τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων εξισωθούν.

v) Η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα τη χρονική στιγμή t₂ έχει μέτρο

α) u = √U/m                  β) u = (2/3) √U/m                      γ) u = (3/2) √U/m

vi) Η μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια U₁ του ελατηρίου, μετά την απομάκρυνση του σώματος Α από τον τοίχο είναι:

α) U₁ = U                      β) U₁ = U/2                               γ) U₁ = U/3

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Τα σώματα Α και Β του σχήματος με μάζες αντίστοιχα m_Α = m και m_Β = 2m αντίστοιχα, συνδέονται με ελατήριο σταθεράς k και τοποθετούνται σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με το Α εφαπτόμενο στον κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε οριζόντια δύναμη μέτρου F, που σπρώχνει το σώμα B προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το σύστημα να ισορροπεί και στο ελατήριο να έχει αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια U.

i) Το μέτρο της δύναμης F πρέπει να είναι

α) F = √(2kU)               β) F = (1/2) √(2kU)                   γ) F = (3/2) √(2kU)

Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη .

ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται κάποια χρονική στιγμή t₁ όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό μήκος του.

iii) Α) Η χρονική στιγμή t₁ είναι

α) t₁ = π√(2m/k)                        β) t₁ = 0,5π√(2m/k)                    γ) t₁ = π√(m/k)

     Β) Η ταχύτητα του σώματος Β τη χρονική στιγμή t₁ έχει μέτρο

α) υ_max = √(U/2m)          β) υ_max = √(2U/m)                      γ) υ_max = √(U/m)

iv) Να αποδείξετε ότι το ελατήριο αποκτά τη μέγιστη δυναμική ενέργειά του κάποια χρονική στιγμή t₂, όταν τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων εξισωθούν.

v) Η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα τη χρονική στιγμή t₂ έχει μέτρο

α) u = √U/m                  β) u = (2/3) √U/m                      γ) u = (3/2) √U/m

vi) Η μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια U₁ του ελατηρίου, μετά την απομάκρυνση του σώματος Α από τον τοίχο είναι:

α) U₁ = U                      β) U₁ = U/2                               γ) U₁ = U/3

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σώμα μάζας m συνδέεται σε ελατήριο σταθεράς k και το σύστημα τοποθετείται σε κεκλιμένο επίπεδο που μπορεί να αλλάζει γωνία κλίσης θ από 0 ως π/2 rad.

α) Δώστε μαθηματική έκφραση Δl₀ = f(θ) για την επιμήκυνση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με τη γωνία κλίσης και σχεδιάστε την αντίστοιχη γραφική παράσταση.
β) Απομακρύνουμε το σώμα κατά x₀ = Α από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
Ποιο ή ποια από τα παρακάτω φυσικά μεγέθη επηρεάζονται, αν επαναλαμβάνουμε το πείραμα αλλάζοντας την κλίση του επιπέδου;
β₁) περίοδος και γωνιακή συχνότητα
β₂) πλάτος, μέγιστη ταχύτητα, μέγιστη επιτάχυνση
β₃) αρχική φάση
β₄) ενέργεια ταλάντωσης
β₅) δυναμική ενέργεια ταλάντωσης
β₆) κινητική ενέργεια ταλάντωσης
β₇₎ δυναμική ενέργεια ελατηρίου
β₈) δυναμική ενέργεια βαρύτητας

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Θέτουμε σε απλή αρμονική ταλάντωση, δυο σώματα Σ₁ και Σ₂ με ίσες μάζες m₁ = m₂ = m. Στο σχήμα φαίνονται τα αντίστοιχα διαγράμματα p → x (ορμής – θέσης), όπου A₁ = 2A₂ και p_max,1 = p_max,2

 i) Γιατί έχουν αυτή τη μορφή οι γραφικές παραστάσεις p → x;

ii) Ο λόγος ω₁/ω₂ των γωνιακών συχνοτήτων είναι

α) 4     β) 2      γ) 1/2

iii) Ο λόγος Ε₁/Ε₂ των ενεργειών ταλάντωσης είναι

α) 1      β) 1/2   γ) 1/4

iv) Αν η αρχική φάση και των δυο ταλαντώσεων είναι μηδέν, να κάνετε ποιοτικά σε κοινούς άξονες τις γραφικές παραστάσεις

x → t, p → t, U → t, K → t από 0 ≤ t ≤ T₁

Απάντηση 

Απάντηση 

Υλικό σημείο μάζας m = 1kg, εκτελεί αρμονική ταλάντωση με εξίσωση x = 0,5∙ημ(10t) (S.I.)

Α) Αν είναι απλή αρμονική ταλάντωση:

i) Βρείτε τις χρονικές εξισώσεις υ(t), a(t), ΣF(t), K(t), U(t), E_T(t), P_ΣF(t)

ii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις

α) K(t), U(t), E_T(t) σε ένα διάγραμμα και

β) σε ένα άλλο διάγραμμα την P_ΣF(t)

από t₀ = 0s, ως t₁ = π/5 s

iii) Υπολογίστε το έργο της συνισταμένης δύναμης από t₀ = 0s, ως t₁ = π/10 s

Β) Αν είναι εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης της μορφής
F = -2υ (S.I.) και γωνιακής ιδιοσυχνότητας ω₀ = 8 rad/s:

Συνέχεια 

Θέμα Α

Ένα σώμα μάζας m εκτελεί α.α.τ. σε οριζόντιο λείο δάπεδο και κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης η μέγιστη επιτάχυνση που επιτυγχάνει έχει μέτρο a_max. Αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α, η ενέργεια της ταλάντωσης είναι:

α) Ε = ½ ma_maxA           β) Ε = ma_maxA               γ) Ε = ¼ ma_maxA

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογείστε την επιλογή σας.

Θέμα Β

Ένα σώμα μάζας m = 0,25kg είναι στερεωμένο στην κορυφή ενός κατακόρυφου ελατηρίου που είναι αγκυρωμένο στο πάτωμα. Το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι l₀ = 8cm και το μήκος του ελατηρίου όταν το σώμα βρίσκεται σε ισορροπία είναι l₁ = 5,5cm. Όταν το σώμα ηρεμεί στη θέση ισορροπίας του, του δίνεται ένα απότομο χτύπημα προς τα κάτω με σφυρί, έτσι ώστε η αρχική του ταχύτητα να έχει μέτρο υ₀ = 0,4m/s.

i) Σε ποιο μέγιστο ύψος πάνω από το δάπεδο υψώνεται κάθε φορά το σώμα; Το ελατήριο φτάνει στο φυσικό του μήκος κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης; Ποια ελάχιστη αρχική ταχύτητα πρέπει να δοθεί στο σώμα ώστε το ελατήριο να φτάνει οριακά το φυσικό του μήκος;

ii) Πόσος χρόνος χρειάζεται για να φτάσει το σώμα στο μέγιστο ύψος του για πρώτη φορά;

iii) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της αλγεβρικής τιμής της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση για μια περίοδο.

iv) Να βρείτε σε συνάρτηση με την απομάκρυνση, τις εξισώσεις: Ενέργειας ταλάντωσης, Δυναμικής Ενέργειας ταλάντωσης, Κινητικής Ενέργειας, Βαρυτικής Δυναμικής Ενέργειας (με επίπεδο αναφοράς τη θέση ισορροπίας) και Δυναμικής Ενέργειας ελατηρίου.

v) Να κάνετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις Ενέργειας ταλάντωσης, Δυναμικής Ενέργειας ταλάντωσης, Κινητικής Ενέργειας, Βαρυτικής Δυναμικής Ενέργειας (με επίπεδο αναφοράς τη θέση ισορροπίας) και Δυναμικής Ενέργειας ελατηρίου, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση. Δίνεται g = 10m/s².

Συνέχεια στο γκισέ 

Συνέχεια στο γκισέ 

Σώμα Σ μάζας  Μ = 4kg, ισορροπεί ακίνητο, δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k = 400N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο στο ταβάνι. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0, εκτοξεύουμε το σώμα με αρχική ταχύτητα υ₀, κατακόρυφη προς τα πάνω, οπότε αυτό εκτελεί α.α.τ. πλάτους Α = 0,5m.

i) Υπολογίστε την περίοδο της ταλάντωσης και το μέτρο της ταχύτητας εκτόξευσης.

ii) Γράψτε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας αυτής της ταλάντωσης. Θεωρείστε θετική φορά του άξονα της κίνησης προς τα πάνω.

iii) Να γίνει η γραφική παράσταση του ρυθμού μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο,  για μια περίοδο της κίνησης.

iv) Κάποια στιγμή που το σώμα κατέρχεται, το ελατήριο είναι συσπειρωμένο και το σύστημα ελατήριο-σώμα έχει αποθηκεύσει δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης U_ελ = 18J. Με μια εσωτερική έκρηξη, που διαρκεί αμελητέο χρόνο, το σώμα Σ διασπάται σε δύο κομμάτια Σ₁ και Σ₂ μαζών m₁ και m₂ με m₂ = 3m₁. Το Σ₁ παραμένει κολλημένο στο ελατήριο και ακινητοποιείται στιγμιαία, ενώ το Σ₂ εκτοξεύεται προς τα κάτω με ταχύτητα υ₂ .
Να υπολογίσετε:
α) την ταχύτητα του σώματος Σ λίγο πριν τη διάσπαση.
β) την ταχύτητα του σώματος Σ₂ αμέσως μετά τη διάσπαση.
γ) το ποσοστό αύξησης της κινητικής ενέργειας του συστήματος εξαιτίας της διάσπασης.
v) Το σώμα Σ₁ εκτελεί νέα α.α.τ. Γράψτε την εξίσωση της αλγεβρικής τιμής της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας εκ νέου t₀ = 0, τη στιγμή της διάσπασης και κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση για μια περίοδο.

Απάντηση 

Απάντηση