Σώμα μάζας m = 1kg ηρεμεί σε κεκλιμένο επίπεδο, γωνίας κλίσης θ = 30⁰, δεμένο στο κάτω άκρο ελατηρίου, το πάνω άκρο του οποίου είναι ακλόνητο. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0s, θέτουμε το σώμα σε απλή αρμονική ταλάντωση, ώστε το διάγραμμα της φάσης της ταλάντωσης να είναι αυτό που φαίνεται στο σχήμα.

Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι  U_ελ,max = 1,125J.

1) Τι πληροφορίες παίρνουμε άμεσα από το διάγραμμα φ → t που δόθηκε για την ταλάντωση;

2) Αφού δικαιολογήσετε γιατί στην κάτω ακραία θέση το ελατήριο έχει τη μέγιστη δυναμική του ενέργεια, βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης.

3) Nα γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της θέσης και της ταχύτητας και να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, σε βαθμολογημένους άξονες.

4) Βρείτε τους ρυθμούς μεταβολής δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης και ελατηρίου, τη χρονική στιγμή t₁ = π/60 s. Ποια φυσική σημασία έχουν τα πρόσημα;

Απάντηση 

Απάντηση 

Τα σώματα Α και Β του σχήματος με μάζες αντίστοιχα m_Α = m και m_Β = 2m αντίστοιχα, συνδέονται με ελατήριο σταθεράς k και τοποθετούνται σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με το Α εφαπτόμενο στον κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε οριζόντια δύναμη μέτρου F, που σπρώχνει το σώμα B προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το σύστημα να ισορροπεί και στο ελατήριο να έχει αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια U.

i) Το μέτρο της δύναμης F πρέπει να είναι

α) F = √(2kU)               β) F = (1/2) √(2kU)                   γ) F = (3/2) √(2kU)

Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη .

ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται κάποια χρονική στιγμή t₁ όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό μήκος του.

iii) Α) Η χρονική στιγμή t₁ είναι

α) t₁ = π√(2m/k)                        β) t₁ = 0,5π√(2m/k)                    γ) t₁ = π√(m/k)

     Β) Η ταχύτητα του σώματος Β τη χρονική στιγμή t₁ έχει μέτρο

α) υ_max = √(U/2m)          β) υ_max = √(2U/m)                      γ) υ_max = √(U/m)

iv) Να αποδείξετε ότι το ελατήριο αποκτά τη μέγιστη δυναμική ενέργειά του κάποια χρονική στιγμή t₂, όταν τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων εξισωθούν.

v) Η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα τη χρονική στιγμή t₂ έχει μέτρο

α) u = √U/m                  β) u = (2/3) √U/m                      γ) u = (3/2) √U/m

vi) Η μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια U₁ του ελατηρίου, μετά την απομάκρυνση του σώματος Α από τον τοίχο είναι:

α) U₁ = U                      β) U₁ = U/2                               γ) U₁ = U/3

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σώμα μάζας m ηρεμεί κρεμασμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς D. Απομακρύνουμε το σώμα κατά x = d από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. Θετική φορά προς τα πάνω. Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, μικρής απόσβεσης, με δύναμη επαναφοράς F = –Dx και δύναμη απόσβεσης F_απ = –bυ . Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομη δικαιολόγηση.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Η σταθερά απόσβεσης θεωρείται πολύ μικρή.

α) Μπορείτε να εξηγήσετε ποιος παράγοντας επηρεάζει τη γωνιακή συχνότητα συντονισμού;

β) Αν το ελατήριο είχε σταθερά k = 100N/m, ποια είναι η μάζα που χρησιμοποιήθηκε σε κάθε πείραμα και ποιες είναι οι αντίστοιχες συχνότητες συντονισμού;

γ) Κάποιος μαθητής ισχυρίζεται ότι αν σε ένα σύστημα που βρίσκεται σε συντονισμό μειώσουμε την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, χωρίς να αλλάξουμε τη συχνότητα του διεγέρτη, το σύστημα δε θα είναι πια σε κατάσταση συντονισμού και το πλάτος της ταλάντωσης θα μειωθεί. Συμφωνείτε με αυτόν τον ισχυρισμό;

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Τα σώματα Α και Β του σχήματος με μάζες αντίστοιχα m_Α = m και m_Β = 2m αντίστοιχα, συνδέονται με ελατήριο σταθεράς k και τοποθετούνται σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με το Α εφαπτόμενο στον κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε οριζόντια δύναμη μέτρου F, που σπρώχνει το σώμα B προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το σύστημα να ισορροπεί και στο ελατήριο να έχει αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια U.

i) Το μέτρο της δύναμης F πρέπει να είναι

α) F = √(2kU)               β) F = (1/2) √(2kU)                   γ) F = (3/2) √(2kU)

Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη .

ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται κάποια χρονική στιγμή t₁ όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό μήκος του.

iii) Α) Η χρονική στιγμή t₁ είναι

α) t₁ = π√(2m/k)                        β) t₁ = 0,5π√(2m/k)                    γ) t₁ = π√(m/k)

     Β) Η ταχύτητα του σώματος Β τη χρονική στιγμή t₁ έχει μέτρο

α) υ_max = √(U/2m)          β) υ_max = √(2U/m)                      γ) υ_max = √(U/m)

iv) Να αποδείξετε ότι το ελατήριο αποκτά τη μέγιστη δυναμική ενέργειά του κάποια χρονική στιγμή t₂, όταν τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων εξισωθούν.

v) Η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα τη χρονική στιγμή t₂ έχει μέτρο

α) u = √U/m                  β) u = (2/3) √U/m                      γ) u = (3/2) √U/m

vi) Η μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια U₁ του ελατηρίου, μετά την απομάκρυνση του σώματος Α από τον τοίχο είναι:

α) U₁ = U                      β) U₁ = U/2                               γ) U₁ = U/3

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σώμα μάζας m ηρεμεί κρεμασμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς D. Απομακρύνουμε το σώμα κατά x = d από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. Θετική φορά προς τα πάνω. Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, μικρής απόσβεσης, με δύναμη επαναφοράς F = –Dx και δύναμη απόσβεσης F_απ = –bυ . Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομη δικαιολόγηση.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σώμα μάζας m συνδέεται σε ελατήριο σταθεράς k και το σύστημα τοποθετείται σε κεκλιμένο επίπεδο που μπορεί να αλλάζει γωνία κλίσης θ από 0 ως π/2 rad.

α) Δώστε μαθηματική έκφραση Δl₀ = f(θ) για την επιμήκυνση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με τη γωνία κλίσης και σχεδιάστε την αντίστοιχη γραφική παράσταση.
β) Απομακρύνουμε το σώμα κατά x₀ = Α από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
Ποιο ή ποια από τα παρακάτω φυσικά μεγέθη επηρεάζονται, αν επαναλαμβάνουμε το πείραμα αλλάζοντας την κλίση του επιπέδου;
β₁) περίοδος και γωνιακή συχνότητα
β₂) πλάτος, μέγιστη ταχύτητα, μέγιστη επιτάχυνση
β₃) αρχική φάση
β₄) ενέργεια ταλάντωσης
β₅) δυναμική ενέργεια ταλάντωσης
β₆) κινητική ενέργεια ταλάντωσης
β₇₎ δυναμική ενέργεια ελατηρίου
β₈) δυναμική ενέργεια βαρύτητας

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Όπως φαίνεται δεξιά, έχουμε ως δεδομένα:

• μάζα ταλαντωτή m = 2kg,
• σταθερά επαναφοράς k = 36N/m,
• σταθερά απόσβεσης b = 12kg/s.

Ο ταλαντωτής τη χρονική στιγμή t₀ = 0s, έχει αρχική απομάκρυνση A₀ = 0,4m και αρχική ταχύτητα υ₀ = 0m/s.

α) Υπολογίστε την γωνιακή ιδιοσυχνότητα ω₀ και την ιδιοπερίοδο Τ₀ της αντίστοιχης αμείωτης ταλάντωσης. Από το διάγραμμα βρείτε πόση είναι η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης. Τι συμπεραίνετε για τη σχέση μεταξύ τους;

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Θέτουμε σε απλή αρμονική ταλάντωση, δυο σώματα Σ₁ και Σ₂ με ίσες μάζες m₁ = m₂ = m. Στο σχήμα φαίνονται τα αντίστοιχα διαγράμματα p → x (ορμής – θέσης), όπου A₁ = 2A₂ και p_max,1 = p_max,2

 i) Γιατί έχουν αυτή τη μορφή οι γραφικές παραστάσεις p → x;

ii) Ο λόγος ω₁/ω₂ των γωνιακών συχνοτήτων είναι

α) 4     β) 2      γ) 1/2

iii) Ο λόγος Ε₁/Ε₂ των ενεργειών ταλάντωσης είναι

α) 1      β) 1/2   γ) 1/4

iv) Αν η αρχική φάση και των δυο ταλαντώσεων είναι μηδέν, να κάνετε ποιοτικά σε κοινούς άξονες τις γραφικές παραστάσεις

x → t, p → t, U → t, K → t από 0 ≤ t ≤ T₁

Απάντηση 

Απάντηση 

Υλικό σημείο μάζας m = 1kg, εκτελεί αρμονική ταλάντωση με εξίσωση x = 0,5∙ημ(10t) (S.I.)

Α) Αν είναι απλή αρμονική ταλάντωση:

i) Βρείτε τις χρονικές εξισώσεις υ(t), a(t), ΣF(t), K(t), U(t), E_T(t), P_ΣF(t)

ii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις

α) K(t), U(t), E_T(t) σε ένα διάγραμμα και

β) σε ένα άλλο διάγραμμα την P_ΣF(t)

από t₀ = 0s, ως t₁ = π/5 s

iii) Υπολογίστε το έργο της συνισταμένης δύναμης από t₀ = 0s, ως t₁ = π/10 s

Β) Αν είναι εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης της μορφής
F = -2υ (S.I.) και γωνιακής ιδιοσυχνότητας ω₀ = 8 rad/s:

Συνέχεια