Κατηγορία: 4.01 Κρούσεις

Μια μικρή λεία σφαίρα Σ₁ μάζας m, κρέμεται από ακλόνητο σημείο Ο, μήκους l = 3,6m. Δεύτερη σφαίρα Σ₂ ίδιας μάζας m, αφήνεται ελεύθερη να πέσει παράλληλα στο νήμα, έτσι ώστε οριακά να μην αγγίζει το νήμα και η τροχιά της να τη φέρει σε θέση να συγκρουστεί ελαστικά και πλάγια με την Σ₁, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το διάστημα που διανύσει η σφαίρα Σ₂ πριν την κρούση είναι h = 1,8m, ενώ ξέρουμε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10m/s². Οι συνθήκες είναι τέτοιες που μετά την κρούση η κόκκινη  μπάλα κινείται οριζόντια.

α) Μπορεί το σύστημα να θεωρηθεί μονωμένο κατά τη διάρκεια της κρούσης;

β) Αν η ταχύτητα της σφαίρας Σ₂ αμέσως μετά την κρούση, σχηματίζει γωνία θ με τον ορίζοντα, με συνθ = 0,97, να υπολογίστε τα μέτρα |υ₁΄| και |υ₂΄|των ταχυτήτων των σφαιρών αμέσως μετά την κρούση.

γ) Ποιο είναι το μέτρο της τάσης του νήματος αμέσως μετά την κρούση και ποιο το μέγιστο ύψος από την αρχική θέση που θα ανέλθει το κέντρο μάζας της σφαίρας Σ₁;

δ) Πόσο πρέπει να είναι το μέτρο u₁΄ της ταχύτητας της σφαίρας Σ₁ μετά την κρούση, ώστε μόλις που να εκτελέσει ανακύκλωση;

Απάντηση 

Απάντηση 

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, βρίσκονται 3 ελαστικές σφαίρες Σ₁, Σ₂, Σ₃, ίδιας ακτίνας, με μάζες m₁ = 4m, m₂ = m, m₃ = 4m, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Εκτοξεύουμε τη μεσαία σφαίρα Σ₁ με οριζόντια ταχύτητα  προς τα δεξιά, έτσι ώστε να μην στρέφεται.

Α) Ο αριθμός των κεντρικών ελαστικών κρούσεων που θα συμβούν είναι

α) 2                              β) 3                              γ) 4

Β) Το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της Σ₁, μετά το πέρας των κρούσεων, είναι:

α) -18,25%                     β)-87,04%                     γ) -35,04%

Γ) Για να συμβεί το πολύ ο αριθμός των κρούσεων που υπολογίσατε στο ερώτημα (Α), η μέγιστη τιμή της μάζας m₃ της σφαίρας Σ₃ πρέπει να είναι:

α) m₃ = m                     β) m₃ = 4m                     γ) m₃ = 5m

Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση 

Απάντηση 

Όπως φαίνεται στο σχήμα, ένας λείος οριζόντιος κυκλικός οδηγός με ακτίνα R, στερεώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Οι δύο διακεκομμένες διάμετροι είναι κάθετες μεταξύ τους και τέμνουν τον οδηγό σε τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ. Μια σφαίρα Σ₂ με μάζα m₂, τοποθετείται στο σημείο Β και μια σφαίρα Σ₁ με μάζα m₂, εκτοξεύεται από το σημείο Α με ταχύτητα, μέτρου υ₀, εφαπτόμενη στον κύκλο και φορά που φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα Σ₁ κινείται στο τεταρτοκύκλιο ΑΒ και κάποια στιγμή συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη σφαίρα Σ₂. Ο χρόνος κρούσης είναι αμελητέος. Μετά την κρούση, οι σφαίρες κινούνται στο εσωτερικό του κυκλικού οδηγού και φτάνουν ταυτόχρονα στο σημείο Δ, όπου συγκρούονται ελαστικά για δεύτερη φορά. Οι διαστάσεις των σφαιρών είναι αμελητέες. Με θετική φορά, τη φορά της ταχύτητας της σφαίρας Σ₁ λίγο πριν την κρούση

i) A) Ο λόγος m/M των μαζών είναι

α) 1/3                           β) 1                  `           γ) 3

B) Οι αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων των σφαιρών Σ₁ και Σ₂ μετά την πρώτη κρούση είναι αντίστοιχα:

α) -υ₀ , +υ₀                    β) -υ₀/2, +υ₀/2               γ) -υ₀/3, +υ₀/3

Δικαιολογήστε την απάντησή σας

ii) Οι αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων των σφαιρών Σ₁ και Σ₂ μετά τη δεύτερη κρούση είναι αντίστοιχα:

α) +υ₀ , -υ₀                    β) +υ₀, 0                       γ) -υ₀, 0

Δικαιολογήστε την απάντησή σας

iii) Αν υ₀ = 3m/s, R = 2m να εξηγήσετε γιατί το φαινόμενο στη συνέχεια θα είναι περιοδικό και να υπολογίσετε τις χρονικές στιγμές των 5 πρώτων κρούσεων.

iv) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις του μέτρου της ταχύτητας, σε συνάρτηση του χρόνου και για τις δυο σφαίρες, μέχρι τη χρονική στιγμή της τρίτης κρούσης.

Θεωρείστε t₁ = 0s, τη στιγμή της 1ης κρούσης.

Απάντηση 

Απάντηση 

Μια μικρή σφαίρα μάζας m₁ = 1kg κινούμενη κατακόρυφα, συγκρούεται με το οριζόντιο ακλόνητο δάπεδο του ισόγειου εργαστηρίου ενός σχολείου, που είναι πακτωμένο στην επιφάνεια της Γης. Η ταχύτητα της σφαίρας πριν την κρούση έχει μέτρο |υ₁| = 6m/s και η κρούση ορίζεται ως ελαστική.

i) Να δώσετε τον ορισμό της ελαστικής κρούσης.

ii) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις, που αφορούν το φαινόμενο αυτής της κρούσης, ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομη εξήγηση.

α) Ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής.

β) Η ορμή της σφαίρας διατηρείται.

γ) Η ορμή του συστήματος σφαίρα – Γη διατηρείται.

δ) Η θεώρηση «ακλόνητο δάπεδο» είναι μια εξιδανίκευση, αφού δεν υπάρχει κάτι τέτοιο.

iii) Αν η Γη θεωρηθεί ακίνητη και η μάζα της είναι m₂ = 6 ∙10²⁴kg, υπολογίστε την ταχύτητα της Γης και της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. Χρησιμοποιείστε κομπιουτεράκι για ακρίβεια. Τι παρατηρείτε για τη χρήση του όρου «ακλόνητο δάπεδο»;

iv) Ποιο ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας μεταφέρθηκε στη Γη;

Απάντηση 

Απάντηση 

Λεία σφαίρα Σ₁ μάζας m₁, ακτίνας R, κινούμενη με ταχύτητα , κατά τη θετική φορά μιας ημιευθείας Αε, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ₂ μάζας m₂, ίδιας ακτίνας (σχήμα 1α).

α) Αν το ποσοστό της κινητικής ενέργειας, που μεταβιβάζει η σφαίρα Σ₁ στη σφαίρα Σ₂ είναι e% = 75% και η σφαίρα Σ₁ συνεχίζει να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα, βρείτε το λόγο λ = m₁/m₂ των μαζών.

β) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα έτσι ώστε οι σφαίρες Σ₁ και Σ₂ να συγκρουστούν πλάγια ελαστικά, όπως φαίνεται στο σχήμα 1β. Η ταχύτητα της Σ₁ είναι ίδια με αυτήν του πρώτου πειράματος, με μέτρο υ₁ = 10m/s και η απόσταση O₂K = d = 1,6R, όπου Ο₁Ο₂ η διάκεντρος των σφαιρών.

Υπολογίστε τις ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση και το ποσοστό e΄% της κινητικής ενέργειας, που μεταβιβάζει η σφαίρα Σ₁ στη σφαίρα Σ₂

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Οι δύο σφαίρες του σχήματος με μέτρα ταχυτήτων υ₁ και υ₂ (υ₁ > υ₂) αντίστοιχα, συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά.

Αν θέσουμε μ = m₁m₂/m₁+m₂, δείξτε ότι

α) Η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας έχει αντίστοιχα αλγεβρική τιμή:

Δp₁ = μ ∙ δυ, Δp₂ = -μ ∙ δυ

όπου με το συμβολισμό δυ αναφερόμαστε στην αλγεβρική τιμή της διαφοράς των ταχυτήτων των σφαιρών πριν την κρούση, δηλαδή δυ = υ₂ – υ₁

β) Η απώλεια Κινητικής Ενέργειας του συστήματος είναι:

Κ_απ = ½ μ (δυ)²

Απάντηση 

Απάντηση 

Λεία σφαίρα Σ1 μάζας m₁ = m, κινείται κατά τη θετική φορά ενός άξονα Χ΄Χ με ταχύτητα μέτρου υ₁= √2m/s. Δεύτερη επίσης λεία σφαίρα Σ2, μάζας m₂ = m/3, που κινείται κατά την αρνητική φορά του άξονα Χ΄Χ, με ταχύτητα μέτρου υ₂, συγκρούεται με την Σ1. Μετά την κρούση, η σφαίρα Σ1 κινείται με ταχύτητα μέτρου υ₁΄= υ₁/2 κατά την αρνητική φορά του άξονα Ψ΄Ψ ενώ η Σ2 κινείται με ταχύτητα μέτρου υ₂΄, υπό γωνία φ = 45⁰, ως προς τον θετικό ημιάξονα ΟΧ (βλέπετε σχήμα).

α) Υπολογίστε τις ταχύτητες υ₂ και υ₂΄ και της σφαίρας Σ2.

β) Η κρούση είναι ελαστική; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

γ) Αν m = 3kg, ποια είναι η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας;

Απάντηση

Μια σφαίρα Σ₁ μάζας m₁, κινείται οριζόντια με ταχύτητα  κατά τη θετική φορά ενός άξονα και συγκρούεται κεντρικά με δεύτερη ακίνητη σφαίρα Σ₂, μάζας m₂. Μετά την κρούση, η τελική ταχύτητα της σφαίρας Σ₂ είναι , δηλαδή η Σ₂ παίρνει την ταχύτητα της Σ₁.

Έστω e το κλάσμα της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ₁ πριν την κρούση, που παραμένει ως κινητική στο σύστημα μετά την κρούση.

i) Η μέγιστη τιμή του κλάσματος e_απ – απώλειας ενέργειας – πρέπει να είναι

α) 0,25              β) 0,75              γ) 0,8

ii) Για την τιμή της παραμέτρου e, που επιλέξατε ποιος είναι ο λόγος των μαζών των σφαιρών; Τριβές δεν υπάρχουν.

Απάντηση