«Κύριε Sulu πάρε μας από δω. Δώσε ¼ φωτεινής ταχύτητας». Με αυτή την εντολή στον πιλότο του, ο Κυβερνήτης Kirk του διαστημοπλοίου USS Enterprise, έθεσε το πλοίο του σε τελική ταχύτητα υ = c/4 , όπου c = 3∙10⁸m/s η ταχύτητα του φωτός. Η μετάβαση κράτησε 60s.

α) Ποιο είναι το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σκάφους, αν η μάζα του θεωρηθεί m = 2∙10⁹kg;

β) Καταλαβαίνουμε γιατί θα πρέπει το σκάφος να διαθέτει «αδρανειακούς αποσβεστήρες»; (δεν έχουν εφευρεθεί ακόμα … αλλά σε μια σειρά SciFi με το Enterprise, είναι βασικό εξάρτημα). Δηλαδή να δημιουργείται ένα πεδίο δυνάμεων, για να εκμηδενίσει την επίδραση στα σώματα των επιβατών και του εξοπλισμού, της τεράστιας δύναμης που απαιτείται για την επιτάχυνσή του διαστημοπλοίου;

γ) Πειράματα του στρατού των Υπερδυνάμεων έχουν δείξει ότι ο άνθρωπος μπορεί να επιβιώσει οριακά σε 10g επιτάχυνση, για μικρό χρονικό διάστημα. Αν ο Kirk κλείσει τους αποσβεστήρες αδράνειας, πόσο χρόνο πρέπει το Enterprise να επιταχύνει με 10g, ακολουθώντας την εντολή του Κυβερνήτη; Δίνεται g = 10m/s²

Απάντηση 

Απάντηση 

Θέτουμε σε απλή αρμονική ταλάντωση, δυο σώματα Σ₁ και Σ₂ με ίσες μάζες m₁ = m₂ = m. Στο σχήμα φαίνονται τα αντίστοιχα διαγράμματα p → x (ορμής – θέσης), όπου A₁ = 2A₂ και p_max,1 = p_max,2

 i) Γιατί έχουν αυτή τη μορφή οι γραφικές παραστάσεις p → x;

ii) Ο λόγος ω₁/ω₂ των γωνιακών συχνοτήτων είναι

α) 4     β) 2      γ) 1/2

iii) Ο λόγος Ε₁/Ε₂ των ενεργειών ταλάντωσης είναι

α) 1      β) 1/2   γ) 1/4

iv) Αν η αρχική φάση και των δυο ταλαντώσεων είναι μηδέν, να κάνετε ποιοτικά σε κοινούς άξονες τις γραφικές παραστάσεις

x → t, p → t, U → t, K → t από 0 ≤ t ≤ T₁

Απάντηση 

Απάντηση 

Δύο μικρές όμοιες σφαίρες Α και Β μάζας m, είναι στερεωμένες στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους d, δημιουργώντας έτσι το σώμα S₁, το οποίο ηρεμεί σε οριζόντια διεύθυνση. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται ελεύθερα γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από άρθρωση στο μέσον της Ο. Μια άλλη σφαίρα Γ μάζας επίσης m αφήνεται ελεύθερη από ύψος h κατακόρυφα πάνω από τη σφαίρα Β και συγκρούεται με αυτήν κεντρικά και πλαστικά. Δημιουργείται έτσι ένα στερεό S₂ , που στρέφεται περί το σημείο Ο. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται dt → 0 και επίπεδο αναφοράς βαρυτικής δυναμικής ενέργειας παίρνουμε το οριζόντιο επίπεδο της ράβδου ΑΒ.

  i) Η στροφορμή του συστήματος, ως προς το σημείο Ο, αμέσως πριν την κρούση έχει μέτρο

Απάντηση 

Απάντηση 

Η ράβδος περιστρέφεται, αναγκάζοντας τη μπάλα να κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ, σε έναν οριζόντιο κύκλο ακτίνας R. Τα νήματα έχουν το καθένα μήκος L συνδέονται τη ράβδο με δακτυλίους που περιστρέφονται ελεύθερα χωρίς τριβές γύρω από τη ράβδο. Κάθε νήμα είναι τεντωμένο και σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο.

α) Σχεδιάστε στη σφαίρα τις δυνάμεις και το διάνυσμα της κεντρομόλου επιτάχυνσης.

β) Πάρτε πάνω στη σφαίρα ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων Χ΄X οριζόντιο και Ψ΄Ψ κατακόρυφο και γράψτε τις δύο εξισώσεις στο S.I., που προκύπτουν από την εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα στη σφαίρα, για κάθε άξονα. Δίνονται: m = 3kg, L = 1,60m, θ = 60° , g = 10m/s² και υ = 8 m/s.

γ) Βρείτε το μέτρο κάθε τάσης νήματος. Ήταν αναμενόμενο το αποτέλεσμα;

Απάντηση 

Απάντηση 

Στο λάστιχο ενός τροχού αυτοκινήτου έχει σφηνώσει ένα χαλίκι Λ, μάζας m =10g. Η διάμετρος του ελαστικού είναι δ = 15,8 inch ≈ 40cm, το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα υ = 72km/h και ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση.

i) Αν ο τροχός θεωρηθεί επίπεδος δίσκος, ποια είναι η στροφορμή του χαλικιού ως προς το κέντρο Ο του τροχού; Σχεδιάστε το διάνυσμα. Αν το αυτοκίνητο κινείται προς την Ανατολή, ποιον προσανατολισμό έχει το διάνυσμα;

ii) α) Ποια είναι η στροφορμή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ περιστροφής του δίσκου;

β) Θεωρείστε ένα σημείο Α του άξονα, που απέχει από το Ο απόσταση ΟΑ = 15cm. Υπολογίστε τη στροφορμή του χαλικιού ως προς αυτό το σημείο και σχεδιάστε το διάνυσμά της. Τι συμπεραίνετε; Η στροφορμή είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα;

iii) Υπολογίστε την προβολή του διανύσματος του ερωτήματος (iiβ), πάνω στον άξονα Z΄Z. Τι παρατηρείτε;

iv) Κάποια στιγμή t₁, που το χαλίκι διέρχεται από την ανώτερη θέση, χάνει την επαφή του με το λάστιχο και εκτοξεύεται οριζόντια. Για τη χρονική στιγμή t₁ + dt, όπου dt → 0, χαρακτηρίστε παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

α) Το χαλίκι δεν κάνει πλέον κυκλική κίνηση, άρα αμέσως μετά την εκτόξευση η στροφορμή του μηδενίζεται.

β) Δεν έχει στροφορμή ένα υλικό σημείο, που εκτελεί μεταφορική κίνηση.

γ) Η στροφορμή του χαλικιού δεν «χάνεται» ξαφνικά, έτσι αμέσως μετά την αποκόλληση είναι ίδια με αμέσως πριν.

v) Τη χρονική στιγμή t₁ χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

α) Η στροφορμή του χαλικιού είναι 0,04kgm²/s.

β) Η στροφορμή του χαλικιού ως προς το σημείο Ο ή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ είναι 0,04kgm²/s.

γ) Η στροφορμή του χαλικιού ως προς το σημείο Ο ή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ έχει μέτρο 0,04kgm²/s.

δ) Η στροφορμή του χαλικιού, ως προς ένα τυχαίο σημείο Γ του εδάφους, που βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με το χαλίκι, έχει μέτρο 0,16kgm²/s.

vi) Τι κίνηση θα κάνει το χαλίκι μέχρι να φτάσει στο έδαφος και ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του ως προς το σημείο Γ του εδάφους, όταν βρίσκεται σε ύψος h = R από το έδαφος; Δίνεται g = 10m/s.²

Απάντηση 

Απάντηση 

Μετά από μια έκρηξη στο διαστημόπλοιό τους δυο αστροναύτες Α1 και Α2 με ίσες μάζες m₁ = m₂ = 80kg βρέθηκαν στο βαθύ διάστημα, να κρατιούνται στα άκρα μιας ράβδου αμελητέας μάζας, μήκους d₁ = 3m, περιστρεφόμενοι με γωνιακή ταχύτητα  ω₁ = 2rad/s, όπως φαίνεται στο σχήμα.

α) Αφού εξηγήσετε ποια είναι η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που εκτελεί κάθε αστροναύτης,

υπολογίστε τη στροφορμή του κάθε αστροναύτη και τη στροφορμή του συστήματος, ως προς το κέντρο μάζας C του συστήματος.

Κάποια στιγμή αποφάσισαν να πλησιάσουν ο ένας τον άλλο, οπότε τραβώντας ο καθένας τη ράβδο προς το μέρος του, διήνυσαν ταυτόχρονα, απόσταση d = 1m ο καθένας.

β) Τι τροχιά διαγράφει κάθε αστροναύτης ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή;

γ) Υπολογίστε την νέα γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.

δ) Υπολογίστε τη μεταβολή της στροφορμής του κάθε αστροναύτη.

ε) Υπολογίστε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Πως εξηγείται αυτή η μεταβολή;

Θεωρούμε τους αστροναύτες υλικά σημεία και αμελητέα κάθε βαρυτική έλξη.

Απάντηση 

Απάντηση 

ο δίσκος Α κυλίεται ομαλά χωρίς να ολισθαίνει γύρω από τον δίσκο Β, ο οποίος συγκρατείται ακίνητος. Μετά από πόσες στροφές του δίσκου Α, θα βρεθεί αυτός στην αρχική του θέση;

α. 3/2                β. 3                  γ. 6                   δ. 9/2                            ε. 9

ΠΡΟΣΟΧΗ! Στις απαντήσεις που δόθηκαν δεν υπάρχει η σωστή!

Σωστή απάντηση 

Σωστή απάντηση 

Λεία σφαίρα Σ₁ μάζας m₁, ακτίνας R, κινούμενη με ταχύτητα , κατά τη θετική φορά μιας ημιευθείας Αε, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ₂ μάζας m₂, ίδιας ακτίνας (σχήμα 1α).

α) Αν το ποσοστό της κινητικής ενέργειας, που μεταβιβάζει η σφαίρα Σ₁ στη σφαίρα Σ₂ είναι e% = 75% και η σφαίρα Σ₁ συνεχίζει να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα, βρείτε το λόγο λ = m₁/m₂ των μαζών.

β) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα έτσι ώστε οι σφαίρες Σ₁ και Σ₂ να συγκρουστούν πλάγια ελαστικά, όπως φαίνεται στο σχήμα 1β. Η ταχύτητα της Σ₁ είναι ίδια με αυτήν του πρώτου πειράματος, με μέτρο υ₁ = 10m/s και η απόσταση O₂K = d = 1,6R, όπου Ο₁Ο₂ η διάκεντρος των σφαιρών.

Υπολογίστε τις ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση και το ποσοστό e΄% της κινητικής ενέργειας, που μεταβιβάζει η σφαίρα Σ₁ στη σφαίρα Σ₂

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Υλικό σημείο Ρ κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με σταθερή ταχύτητα υ. Την κίνηση παρακολουθεί παρατηρητής, που βρίσκεται στην αρχή Ο του συστήματος ΧΟΨ ορθογωνίων αξόνων, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Η τροχιά του Ρ τέμνει τον άξονα ΟΨ στο σημείο (0, α) και η απόσταση του Ρ από το Ο καθορίζεται από το διάνυσμα θέσης r.

α) Γιατί το υλικό σημείο Ρ έχει γωνιακή ταχύτητα ;

β) Να αποδείξετε ότι το μέτρο της, είναι ω = υ α / r²

Συνέχεια 

Συνέχεια