Μια ομογενής σανίδα AB μήκους L = 4m, έχει βάρος 20Ν και ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ασκούμε σταθερή κατακόρυφη δύναμη μέτρου F, κάθετα στη σανίδα, στο άκρο της Α και παρατηρούμε ότι εξακολουθεί να ισορροπεί.

α) Μπορεί το σημείο Δ, που ασκείται η (συνισταμένη) αντίδραση του δαπέδου στη σανίδα, να βρίσκεται αριστερά του μέσου Μ της σανίδας;

β) Δείξτε ότι η θέση d ως προς το Α, του σημείου Δ, που ασκείται η (συνισταμένη) αντίδραση του δαπέδου, δίνεται από τη σχέση d = 40 / (20 – F)  (S.I.).

γ) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης F, που απαιτείται για να ανυψωθεί η σανίδα;

Απάντηση 

Απάντηση 

Στην κάτοψη του σχήματος, βλέπουμε δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁ = 10kg και m₂ = 5kg αντίστοιχα, συνδεδεμένα μεταξύ τους με ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους L = 0,3m, τοποθετημένα κατά μήκος μιας διαμέτρου περιστρεφόμενης τράπεζας. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ της τράπεζας και του Σ₁ είναι μ₁ = 0,5, ενώ δεν υπάρχει τριβή μεταξύ του Σ₂​ και της τράπεζας. Η τράπεζα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 10rad/sec γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο της Ο. Τα σώματα είναι τοποθετημένα κατά μήκος της διαμέτρου της τράπεζας εκατέρωθεν του κέντρου O, έτσι ώστε το Σ₁ να βρίσκεται σε απόσταση R₁ = 0,12m από το O. Παρατηρείται ότι οι μάζες είναι σε ηρεμία ως προς έναν παρατηρητή πάνω στην περιστρεφόμενη τράπεζα.
i) Να βρείτε το μέτρο της τάσης του νήματος.
ii) Να εξηγήσετε ποια πρέπει να είναι η φορά της στατικής τριβής στο Σ₁​ και να υπολογίσετε το μέτρο της. Η οριακή τριβή του Σ₁ με την τράπεζα επαρκεί για την περιστροφή του συστήματος;
iii) Ποια πρέπει να είναι η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα της περιστρεφόμενης τράπεζας ώστε οι μάζες να μη γλιστρήσουν από αυτή τη θέση;
iv) Πώς πρέπει να τοποθετηθούν οι μάζες με το νήμα να παραμένει τεντωμένο, ώστε να μην ασκείται δύναμη τριβής στο Σ₁​;
Δίνεται g = 10m/s²

Απάντηση 

Απάντηση 

Ο δίσκος του σχήματος κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο, παραμένοντας σε επαφή με τις δύο οριζόντιες σανίδες Σ₁ και Σ₂, πάνω στις οποίες κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Η σανίδα Σ₂ ολισθαίνει πάνω στο λείο δάπεδο, κινούμενη προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου υ₂ = 2v, ενώ η σανίδα Σ₁ κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου υ₁ = v.

i) Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου έχει

α) μέτρο ω = 2v/3R και φορά προς τον αναγνώστη

β) μέτρο ω = 3v/R και φορά προς τη σελίδα

γ) μέτρο ω = 3v/2R και φορά προς τον αναγνώστη

ii) Η ταχύτητα του κέντρου Ο του δίσκου έχει μέτρο

α) υ_cm = v/2                   β) υ_cm = v                      γ) υ_cm = 2v

Απάντηση 

Απάντηση 

Δύο σφαίρες Α και Β ίσης μάζας είναι δεμένες με δυο νήματα (1) και (2) όπως στο σχήμα, με μήκη L₁ = L₂ = L. Το νήμα (1) έχει το ένα άκρο του δεμένο σε ακλόνητο σημείο Ο. Οι σφαίρες περιφέρονται αντιωρολογιακά, σε οριζόντιο κύκλο γύρω από το σημείο O, με σταθερές γωνιακές ταχύτητες, ώστε και τα δυο νήματα να παραμένουν τεντωμένα.

i) Ο λόγος |υ₁| / |υ₂| των μέτρων των γραμμικών ταχυτήτων των σφαιρών Α και Β είναι

α. ½                  β. 1                  γ. 2

ii) Ο λόγος |α_κ1| / |α_κ2| των μέτρων των κεντρομόλων επιταχύνσεων είναι

α. ½                  β. 1                  γ. 2

iii) Ο λόγος |Τ₁| / |Τ₂| των μέτρων των τάσεων των νημάτων (1) και (2) αντίστοιχα είναι

α. 2                  β. 3/4                γ. 3/2

iv) Να σχεδιάστε τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και των γραμμικών ταχυτήτων των σφαιρών.

Απάντηση 

Απάντηση 

Προσομοίωση

To στερεό ΟΑM του σχήματος έχει δημιουργηθεί από δύο ράβδους ίδιας μάζας και διατομής, που έχουν συγκολληθεί στο σημείο Α σε γωνία 90⁰. Τοποθετείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγμή περιστρέφεται γύρω από άξονα, κάθετο στο επίπεδό του, που διέρχεται από το άκρο του Ο όπως φαίνεται στο σχήμα. Στη θέση που φαίνεται δίνονται: το μήκος OΑ = 10cm, η γωνία (ΑΟΜ) = φ = 60⁰, το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου |ω| = 0,5 rad/s και το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου |α_γων| = 0,2 rad/s². Τα διανύσματα αυτά φαίνονται στο σχήμα.

Α. Χαρακτηρίστε το είδος της κίνησης.

Β. Να βρείτε το μέτρο και να σχεδιάσετε για το άκρο Μ της ράβδου,

i) την ταχύτητα

ii) την κεντρομόλο επιτάχυνση

iii) την επιτρόχια επιτάχυνση

iv) την επιτάχυνση

Γ. Μπορείτε να βρείτε το κέντρο μάζας C; Στη συνέχεια υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητάς του και σχεδιάστε την.

Απάντηση 

Απάντηση 

Δύο υλικά σημεία Α και Β εκτελούν ομαλές κυκλικές κινήσεις, κινούμενα αντιωρολογιακά,  στις τροχιές που φαίνονται στο σχήμα. Το Α κινείται στον εξωτερικό κύκλο (Ο₁, R), ενώ το Β κινείται στον εσωτερικό  κύκλο (Ο₂, R/2). Ο μικρός κύκλος εφάπτεται στον μεγάλο σε σημείο Σ, που ανήκει στη διάκεντρο Ο₁Ο₂. Θεωρούμε ως t₀ = 0s τη χρονική στιγμή που για το Α, θ_Α,0 = 0 rad ενώ για το Β, θ_Β,0 = π/2 rad, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα μέτρα των γραμμικών ταχυτήτων συνδέονται με τη σχέση υ_Α = 4υ_Β.

Ποια χρονική στιγμή τα δυο υλικά σημεία θα συναντηθούν (συγκρουστούν) στο σημείο Σ;

α. π/2ω_Β                        β. 2π/ω_Β                        γ. ποτέ δε θα συναντηθούν

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση δικαιολογώντας την απάντησή σας.

Απάντηση 

Απάντηση 

Μια λεία σφαίρα Σ₁, μάζας m, κινείται κατά τη θετική φορά ενός άξονα Χ΄Χ, με ταχύτητα μέτρου υ₀ όπως φαίνεται στο σχήμα και συγκρούεται πλάγια, ταυτόχρονα, με δύο σφαίρες Σ₂ και Σ₃, όμοιες με την Σ_1. Οι Σ_2, Σ₃ είναι ακίνητες και εφάπτονται, ενώ η διάκεντρος Ο₂Ο₃ έχει τη διεύθυνση του άξονα Ψ΄Ψ.

α) Να αποδείξετε ότι αμέσως μετά την κρούση, η σφαίρα Σ₁ θα κινηθεί κατά τη διεύθυνση του άξονα Χ, ενώ οι σφαίρες Σ₂ και Σ₃ θα εκτοξευτούν κατά τις διευθύνσεις των διακέντρων Ο₁Ο₂ και Ο₁Ο₃ αντίστοιχα.

β) Αν η ταχύτητες των σφαιρών Σ₂ και Σ₃ έχουν μέτρα v₂ = v₃ = v = 2√3m/s , υπολογίστε τα μέτρα υ₀ και v₁ των ταχυτήτων της σφαίρας Σ₁ πριν και μετά την κρούση.

Απάντηση 

Απάντηση 

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκονται τρεις σφαίρες Α, Β, Γ ίδιας ακτίνας, όπως φαίνονται στο σχήμα. Οι μάζες των σφαιρών είναι  m₁ = m, m₂ = k⸳m (k > 0), m₃ = 4m αντίστοιχα. Εκτοξεύουμε την Α οριζόντια προς τα δεξιά, με ταχύτητα μέτρου υ₀, ώστε να συγκρουστεί κεντρικά και ελαστικά με τη σφαίρα Β. Στη συνέχεια η Β συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη Γ.
i) Για να αποκτήσει η σφαίρα Γ τη μέγιστη δυνατή τιμή στο μέτρο της ταχύτητάς της μετά την κρούση με τη Β, πρέπει η σταθερά k να έχει τιμή
α) 1                  β) 2                  γ) 4
Βρείτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογείστε την.
Για την τιμή του k, που βρήκατε
ii) να υπολογίσετε τις τελικές αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων των σφαιρών, σε συνάρτηση με την υ₀.
iii) πόσες κρούσεις θα γίνουν;

Απάντηση 

Απάντηση 

Προσομοίωση

 

1. Στο διπλανό σχήμα έχει παρασταθεί μια κεντρική ελαστική κρούση μεταξύ δυο σφαιρών.

Ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι το αποτέλεσμα της κρούσης αυτής; Θετική φορά προς τα δεξιά.

Συνέχεια 

Συνέχεια