Επαφή με τοίχο και κατάργηση δύναμης
Τα σώματα Α και Β του σχήματος με μάζες αντίστοιχα mΑ = m και mΒ = 2m αντίστοιχα, συνδέονται με ελατήριο σταθεράς k και τοποθετούνται σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με το Α εφαπτόμενο στον κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε οριζόντια δύναμη μέτρου F, που σπρώχνει το σώμα B προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το σύστημα να ισορροπεί και στο ελατήριο να έχει αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια U.
i) Το μέτρο της δύναμης F πρέπει να είναι
α) F = √(2kU) β) F = (1/2) √(2kU) γ) F = (3/2) √(2kU)
Τη χρονική στιγμή t0 = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη .
ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται κάποια χρονική στιγμή t1 όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό μήκος του.
iii) Α) Η χρονική στιγμή t1 είναι
α) t1 = π√(2m/k) β) t1 = 0,5π√(2m/k) γ) t1 = π√(m/k)
Β) Η ταχύτητα του σώματος Β τη χρονική στιγμή t1 έχει μέτρο
α) υmax = √(U/2m) β) υmax = √(2U/m) γ) υmax = √(U/m)
iv) Να αποδείξετε ότι το ελατήριο αποκτά τη μέγιστη δυναμική ενέργειά του κάποια χρονική στιγμή t2, όταν τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων εξισωθούν.
v) Η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα τη χρονική στιγμή t2 έχει μέτρο
α) u = √U/m β) u = (2/3) √U/m γ) u = (3/2) √U/m
vi) Η μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια U1 του ελατηρίου, μετά την απομάκρυνση του σώματος Α από τον τοίχο είναι:
α) U1 = U β) U1 = U/2 γ) U1 = U/3
20 ερωτήσεις στη φθίνουσα ταλάντωση
Σώμα μάζας m ηρεμεί κρεμασμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς D. Απομακρύνουμε το σώμα κατά x = d από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. Θετική φορά προς τα πάνω. Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, μικρής απόσβεσης, με δύναμη επαναφοράς F = –Dx και δύναμη απόσβεσης Fαπ = –bυ . Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομη δικαιολόγηση.
Επιλέγουμε το κατάλληλο καρότσι
Σε οριζόντιο δάπεδο είναι στερεωμένη μια λεία τροχιά σχήματος τεταρτοκυκλίου, κέντρου Ο. Το οριζόντιο τμήμα στο κάτω άκρο της τροχιάς συνδέεται ομαλά με την πάνω επιφάνεια ενός μικρού καροτσιού Κ (βλ. σχήμα). Πάνω στην τροχιά βρίσκεται ένα μικρό σώμα A, μάζας m1 = 4kg, το οποίο αφήνεται από την ηρεμία να ολισθήσει από ύψος h = R = 1,8 m πάνω από το οριζόντιο τμήμα της τροχιάς. Στο αριστερό άκρο του καροτσιού υπάρχει ένα σώμα B, μάζας m2 = 2kg. Τα σώματα A και B μπορούν να θεωρηθούν υλικά σημεία. Μετά την κρούση τους, τα A και B κολλάνε μεταξύ τους. Είναι γνωστό ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στα A, B και το καρότσι Κ είναι μ = 0,5, ενώ η τριβή στα αξονάκια των τροχών του καροτσιού θεωρείται αμελητέα.
Πάρτε g = 10 m/s².
α) α1) Να βρεθεί η κάθετη αντίδραση του τεταρτοκυκλίου, στο σώμα Α, στο ξεκίνημα της κίνησής του.
α2) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτηταςτου σώματος Α όταν φτάνει στην κατώτερη θέση του τεταρτοκυκλίου;
α3) Να βρεθεί η κάθετη αντίδραση του τεταρτοκυκλίου, στο σώμα Α, όταν φτάνει στην κατώτερη θέση του τεταρτοκυκλίου, οριακά πριν το διάνυσμα της ταχύτητάς του γίνει οριζόντιο.
β) Το μέτρο της κοινής ταχύτητας αμέσως μετά την κρούση των A και B, αν η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα.
γ) Τι κίνηση θα εκτελέσουν στη συνέχεια το συσσωμάτωμα Α+Β και το καρότσι Κ;
δ) Αν το καρότσι έχει μήκος L = 0,64m και τo συσσωμάτωμα Α+Β μόλις που δεν εγκαταλείπει το καρότσι, να βρεθεί η μάζα M του καροτσιού.
Δυο καμπύλες συντονισμού
Η σταθερά απόσβεσης θεωρείται πολύ μικρή.
α) Μπορείτε να εξηγήσετε ποιος παράγοντας επηρεάζει τη γωνιακή συχνότητα συντονισμού;
β) Αν το ελατήριο είχε σταθερά k = 100N/m, ποια είναι η μάζα που χρησιμοποιήθηκε σε κάθε πείραμα και ποιες είναι οι αντίστοιχες συχνότητες συντονισμού;
γ) Κάποιος μαθητής ισχυρίζεται ότι αν σε ένα σύστημα που βρίσκεται σε συντονισμό μειώσουμε την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, χωρίς να αλλάξουμε τη συχνότητα του διεγέρτη, το σύστημα δε θα είναι πια σε κατάσταση συντονισμού και το πλάτος της ταλάντωσης θα μειωθεί. Συμφωνείτε με αυτόν τον ισχυρισμό;
Ο πράκτορας 007 και η διατήρηση της ορμής…
Ο γνωστός Βρετανός πράκτορας 007, μάζας Μ = 80kg, κρατώντας βαλίτσα μάζας m = 5kg με απόρρητα έγγραφα, καταδιώκεται μέσα σε έναν ουρανοξύστη, από ομάδα μισθοφόρων του εχθρού και για να ξεφύγει ανεβαίνει στην ταράτσα του κτιρίου, που βρίσκεται σε ύψος Η = 180m από το έδαφος. Φτάνει στην άκρη της ταράτσας και καταστρώνει ένα παράτολμο σχέδιο. Πηδάει κατακόρυφα χωρίς αρχική ταχύτητα, γιατί έχει παρατηρήσει ότι υπάρχει μια πισίνα με νερό σε οριζόντια απόσταση d = 6m από την κατακόρυφη διεύθυνση της πτώσης. Ενώ βρίσκεται σε ύψος h = 100m από το έδαφος, εκτοξεύει οριζόντια ως προς το έδαφος τη βαλίτσα, με κατεύθυνση αντίθετη από αυτήν που βρίσκεται η πισίνα. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, όλα τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία, η εκτόξευση διαρκεί αμελητέο χρονικό διάστημα και η βαρυτική επιτάχυνση g = 10m/s2. Οι ταχύτητες αναφέρονται σε ακίνητο παρατηρητή.
α) Πόσο χρονικό διάστημα Δt1 θα πέφτει μέχρι να εκτοξεύσει τη βαλίτσα και ποιο θα είναι τότε το μέτρο της ταχύτητας πτώσης;
β) Γιατί ο πράκτορας θα πετάξει τη βαλίτσα;
γ) Βρείτε την ελάχιστη οριζόντια ταχύτητα , που πρέπει να αποκτήσει ο πράκτορας ώστε να πέσει οριακά στο νερό της πισίνας. Με ποιο μέτρο ταχύτητας vf θα χτυπήσει ο πράκτορας στην επιφάνεια του νερού;
δ) Βρείτε την ελάχιστη οριζόντια ταχύτητα , που πρέπει να έχει η βαλίτσα και υπολογίστε τη θέση του εδάφους που θα προσγειωθεί.
ε) Ποια είναι η μεταβολή της ορμής της βαλίτσας εξαιτίας της εκτόξευσης;
Από δυο στιγμιότυπα κύματος
Αρμονικό κύμα με μήκος κύματος λ διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταυτίζεται με τον άξονα x΄x κατά τη θετική φορά. Στο σχήμα έχουν σχεδιαστεί δύο στιγμιότυπα, στον θετικό ημιάξονα Οx, τις χρονικές στιγμές t0 = 0 και t1 = 0,5s.
α) Αν θέλουμε να γράψουμε την εξίσωση του κύματος, τι χρειάζεται να γνωρίζουμε; Έχει σημασία που βρίσκεται η πηγή του κύματος;
β) Γράψτε την εξίσωση του κύματος.
γ) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της φάσης για τα σημεία Κ και Λ του σχήματος.
δ) Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Κ και Λ σε μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή t ≥ t1;
Ένα δυαδικό σύστημα αστέρων νετρονίων
Ένας αστέρας νετρονίων είναι το υπέρπυκνο υπόλειμμα μετά από έκρηξη υπερκαινοφανούς (supernova), όταν ένα άστρο, με αρχική μάζα περίπου 8–20 φορές μεγαλύτερη από του Ήλιου, εξαντλήσει τα καύσιμά του. Αποτελείται κυρίως από νετρόνια, τα οποία συγκρατούνται από την ισχυρή πυρηνική δύναμη. Έχουν ανακαλυφθεί συστήματα από δυο αστέρες νετρονίων, που κινούνται γύρω από ένα κοινό κέντρο – το οποίο θα μάθετε στη Γ΄τάξη ότι λέγεται κέντρο μάζας – και έλκονται με τεράστιες βαρυτικές δυνάμεις.
Α) Στο σχήμα φαίνεται ένα δυαδικό σύστημα σφαιρικών αστέρων νετρονίων Α1 και A2, μαζών Μ1 και Μ2 αντίστοιχα, οι οποίοι εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση γύρω από το σημείο Ο, σαν να ήταν συνδεδεμένοι με μια αβαρή ράβδο Α1A2. Αν η τροχιακή ακτίνα R1 του αστέρα Α1 είναι μεγαλύτερη από την τροχιακή ακτίνα R2 του αστέρα A2, , η διάκεντρος είναι μήκους L, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την απάντησή σας.
α) Οι αστέρες έχουν κάθε στιγμή ίσες γωνιακές ταχύτητες και περιόδους.
β) Η γραμμική ταχύτητα του Α1 πρέπει να είναι μικρότερη από τη γραμμική ταχύτητα του Α2.
γ) Η μάζα του Α1 πρέπει να είναι μικρότερη από τη μάζα του Α2.
δ) Έχει αποδειχτεί ότι με την πάροδο του χρόνου το σύστημα χάνει ενέργεια εκπέμποντας βαρυτικά κύματα και οι αστέρες πλησιάζουν αργά μεταξύ τους. Υποθέτοντας ότι η τροχιά είναι κυκλική, η περίοδος μειώνεται.
Β) Ας κάνουμε και κάποιους υπολογισμούς. Αν Μ2 = 4Μ1 , η διάκεντρος των αστέρων είναι L = 0,2∙1018m και GM2 = 1026Nm2/kg, υπολογίστε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας κάθε αστέρα.
Προώθηση ελικοφόρου αεροπλάνου
Ένα ελαφρύ ελικοφόρο αεροπλάνο Cessna έχει μάζα M = 1200kg. Η έλικα έχει διάμετρο d = 2m, η πυκνότητα του αέρα θεωρείται ρ=1,25kg/m3 και το μέτρο της συνολικής δύναμης που μπορεί να ασκηθεί στο αεροπλάνο για την απογείωση είναι F = 3200N, θεωρουμένης σταθερής. Η ταχύτητα που απαιτείται για απογείωση έχει μέτρο περίπου υ = 32m/s (115,2km/h). Αγνοούμε αντίσταση αέρα, τριβές και αλλαγή μάζας αεροπλάνου λόγω μείωσης καυσίμου. Δίνεται 1,25π ≈ 4.
α) Από πού προέρχεται η προωστική δύναμη, που ασκείται στο αεροπλάνο; Δώστε δύο εξηγήσεις. Η μία να στηρίζεται στον 3ο Νόμο Newton και η άλλη στην Αρχή Διατήρησης της Ορμής.
β) Βρείτε τον μέσο ρυθμό μεταβολής της ορμής του αεροπλάνου και το χρονικό διάστημα που απαιτείται για την απογείωση.
γ) Ποιο είναι ελάχιστο μήκος του διαδρόμου απογείωσης που πρέπει να έχει το αεροδρόμιο;
δ) Υπολογίστε το μέτρο υα της ταχύτητας του ρεύματος αέρα, ως προς την έλικα και το ρυθμό εξώθησης της αντίστοιχης μάζας αέρα από την έλικα.
ε) Υπολογίστε το ρυθμό μεταβολής κινητικής ενέργειας του αέρα (ωφέλιμη ισχύς έλικα).
στ) Βρείτε τους λόγους
στ1) ωφέλιμης ισχύος προς την προωστική δύναμη.
στ2) ρυθμού εξώθησης μάζας αέρα προς την προωστική δύναμη.
Επαφή με τοίχο και κατάργηση δύναμης
Τα σώματα Α και Β του σχήματος με μάζες αντίστοιχα mΑ = m και mΒ = 2m αντίστοιχα, συνδέονται με ελατήριο σταθεράς k και τοποθετούνται σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με το Α εφαπτόμενο στον κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε οριζόντια δύναμη μέτρου F, που σπρώχνει το σώμα B προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το σύστημα να ισορροπεί και στο ελατήριο να έχει αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια U.
i) Το μέτρο της δύναμης F πρέπει να είναι
α) F = √(2kU) β) F = (1/2) √(2kU) γ) F = (3/2) √(2kU)
Τη χρονική στιγμή t0 = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη .
ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται κάποια χρονική στιγμή t1 όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό μήκος του.
iii) Α) Η χρονική στιγμή t1 είναι
α) t1 = π√(2m/k) β) t1 = 0,5π√(2m/k) γ) t1 = π√(m/k)
Β) Η ταχύτητα του σώματος Β τη χρονική στιγμή t1 έχει μέτρο
α) υmax = √(U/2m) β) υmax = √(2U/m) γ) υmax = √(U/m)
iv) Να αποδείξετε ότι το ελατήριο αποκτά τη μέγιστη δυναμική ενέργειά του κάποια χρονική στιγμή t2, όταν τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων εξισωθούν.
v) Η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα τη χρονική στιγμή t2 έχει μέτρο
α) u = √U/m β) u = (2/3) √U/m γ) u = (3/2) √U/m
vi) Η μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια U1 του ελατηρίου, μετά την απομάκρυνση του σώματος Α από τον τοίχο είναι:
α) U1 = U β) U1 = U/2 γ) U1 = U/3
