Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις δύο αρμονικά κύματα, με ίδιο πλάτος Α = 0,2m. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στο μέσο είναι υ = 2m/s και η συχνότητά τους είναι f = 2Ηz. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0, τα μέτωπα των δύο κυμάτων έχουν φτάσει στην αρχή Ο του άξονα Ox, όπως στο σχήμα. Τα κύματα συμβάλλουν και έχουμε δημιουργία στάσιμου κύματος πάνω στο ελαστικό μέσο.

i) Να αποδείξετε ότι στο σημείο Ο θα δημιουργηθεί κοιλία.

ii) Να γράψετε τις εξισώσεις των τρεχόντων και του στάσιμου κύματος.

iii) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων και να σχεδιάσετε τη μορφή του γραμμικού μέσου τις χρονικές στιγμές α) t₁ = 0,125s και β) t₂ = 0,25s.

iv) Κάποιος μαθητής αναρωτιέται πως είναι δυνατόν να σχηματιστεί και να επεκταθεί σταδιακά το στάσιμο κύμα, αφού οι δεσμοί δεν επιτρέπουν ροή ενέργειας. Τι θα μπορούσατε να απαντήσετε;

Τα σώματα Α και Β του σχήματος με μάζες αντίστοιχα m_Α = m και m_Β = 2m αντίστοιχα, συνδέονται με ελατήριο σταθεράς k και τοποθετούνται σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με το Α εφαπτόμενο στον κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε οριζόντια δύναμη μέτρου F, που σπρώχνει το σώμα B προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το σύστημα να ισορροπεί και στο ελατήριο να έχει αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια U.

i) Το μέτρο της δύναμης F πρέπει να είναι

α) F = √(2kU)               β) F = (1/2) √(2kU)                   γ) F = (3/2) √(2kU)

Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη .

ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται κάποια χρονική στιγμή t₁ όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό μήκος του.

iii) Α) Η χρονική στιγμή t₁ είναι

α) t₁ = π√(2m/k)                        β) t₁ = 0,5π√(2m/k)                    γ) t₁ = π√(m/k)

     Β) Η ταχύτητα του σώματος Β τη χρονική στιγμή t₁ έχει μέτρο

α) υ_max = √(U/2m)          β) υ_max = √(2U/m)                      γ) υ_max = √(U/m)

iv) Να αποδείξετε ότι το ελατήριο αποκτά τη μέγιστη δυναμική ενέργειά του κάποια χρονική στιγμή t₂, όταν τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων εξισωθούν.

v) Η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα τη χρονική στιγμή t₂ έχει μέτρο

α) u = √U/m                  β) u = (2/3) √U/m                      γ) u = (3/2) √U/m

vi) Η μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια U₁ του ελατηρίου, μετά την απομάκρυνση του σώματος Α από τον τοίχο είναι:

α) U₁ = U                      β) U₁ = U/2                               γ) U₁ = U/3

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σώμα μάζας m ηρεμεί κρεμασμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς D. Απομακρύνουμε το σώμα κατά x = d από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. Θετική φορά προς τα πάνω. Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, μικρής απόσβεσης, με δύναμη επαναφοράς F = –Dx και δύναμη απόσβεσης F_απ = –bυ . Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομη δικαιολόγηση.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Η σταθερά απόσβεσης θεωρείται πολύ μικρή.

α) Μπορείτε να εξηγήσετε ποιος παράγοντας επηρεάζει τη γωνιακή συχνότητα συντονισμού;

β) Αν το ελατήριο είχε σταθερά k = 100N/m, ποια είναι η μάζα που χρησιμοποιήθηκε σε κάθε πείραμα και ποιες είναι οι αντίστοιχες συχνότητες συντονισμού;

γ) Κάποιος μαθητής ισχυρίζεται ότι αν σε ένα σύστημα που βρίσκεται σε συντονισμό μειώσουμε την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, χωρίς να αλλάξουμε τη συχνότητα του διεγέρτη, το σύστημα δε θα είναι πια σε κατάσταση συντονισμού και το πλάτος της ταλάντωσης θα μειωθεί. Συμφωνείτε με αυτόν τον ισχυρισμό;

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Αρμονικό κύμα με μήκος κύματος λ διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταυτίζεται με τον άξονα x΄x κατά τη θετική φορά. Στο σχήμα έχουν σχεδιαστεί δύο στιγμιότυπα, στον θετικό ημιάξονα Οx, τις χρονικές στιγμές t₀ = 0 και t₁ = 0,5s.

α) Αν θέλουμε να γράψουμε την εξίσωση του κύματος, τι χρειάζεται να γνωρίζουμε; Έχει σημασία που βρίσκεται η πηγή του κύματος;

β) Γράψτε την εξίσωση του κύματος.

γ) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της φάσης για τα σημεία Κ και Λ του σχήματος.

δ) Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Κ και Λ σε μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή t ≥ t₁;

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Τα σώματα Α και Β του σχήματος με μάζες αντίστοιχα m_Α = m και m_Β = 2m αντίστοιχα, συνδέονται με ελατήριο σταθεράς k και τοποθετούνται σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με το Α εφαπτόμενο στον κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε οριζόντια δύναμη μέτρου F, που σπρώχνει το σώμα B προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το σύστημα να ισορροπεί και στο ελατήριο να έχει αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια U.

i) Το μέτρο της δύναμης F πρέπει να είναι

α) F = √(2kU)               β) F = (1/2) √(2kU)                   γ) F = (3/2) √(2kU)

Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη .

ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται κάποια χρονική στιγμή t₁ όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό μήκος του.

iii) Α) Η χρονική στιγμή t₁ είναι

α) t₁ = π√(2m/k)                        β) t₁ = 0,5π√(2m/k)                    γ) t₁ = π√(m/k)

     Β) Η ταχύτητα του σώματος Β τη χρονική στιγμή t₁ έχει μέτρο

α) υ_max = √(U/2m)          β) υ_max = √(2U/m)                      γ) υ_max = √(U/m)

iv) Να αποδείξετε ότι το ελατήριο αποκτά τη μέγιστη δυναμική ενέργειά του κάποια χρονική στιγμή t₂, όταν τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων εξισωθούν.

v) Η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα τη χρονική στιγμή t₂ έχει μέτρο

α) u = √U/m                  β) u = (2/3) √U/m                      γ) u = (3/2) √U/m

vi) Η μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια U₁ του ελατηρίου, μετά την απομάκρυνση του σώματος Α από τον τοίχο είναι:

α) U₁ = U                      β) U₁ = U/2                               γ) U₁ = U/3

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σώμα μάζας m ηρεμεί κρεμασμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς D. Απομακρύνουμε το σώμα κατά x = d από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. Θετική φορά προς τα πάνω. Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, μικρής απόσβεσης, με δύναμη επαναφοράς F = –Dx και δύναμη απόσβεσης F_απ = –bυ . Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομη δικαιολόγηση.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σώμα μάζας m συνδέεται σε ελατήριο σταθεράς k και το σύστημα τοποθετείται σε κεκλιμένο επίπεδο που μπορεί να αλλάζει γωνία κλίσης θ από 0 ως π/2 rad.

α) Δώστε μαθηματική έκφραση Δl₀ = f(θ) για την επιμήκυνση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με τη γωνία κλίσης και σχεδιάστε την αντίστοιχη γραφική παράσταση.
β) Απομακρύνουμε το σώμα κατά x₀ = Α από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
Ποιο ή ποια από τα παρακάτω φυσικά μεγέθη επηρεάζονται, αν επαναλαμβάνουμε το πείραμα αλλάζοντας την κλίση του επιπέδου;
β₁) περίοδος και γωνιακή συχνότητα
β₂) πλάτος, μέγιστη ταχύτητα, μέγιστη επιτάχυνση
β₃) αρχική φάση
β₄) ενέργεια ταλάντωσης
β₅) δυναμική ενέργεια ταλάντωσης
β₆) κινητική ενέργεια ταλάντωσης
β₇₎ δυναμική ενέργεια ελατηρίου
β₈) δυναμική ενέργεια βαρύτητας

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ένα σφαιρίδιο Σ μάζας m = 2kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού νήματος. Περνάμε το νήμα από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού,  προσδίδουμε στο σφαιρίδιο μια αρχική οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ₀ = 2m/s και ταυτόχρονα στο κάτω άκρο του Α, ασκούμε μια μεταβλητή κατακόρυφη δύναμη , ώστε το σημείο Α να αρχίσει να κατεβαίνει επιτάχυνση μέτρου α_r = 1m/s².

i) Αν η αρχική ακτίνα της τροχιάς του σφαιριδίου είναι R₀ = 6m, να γράψετε την εξίσωση που δίνει την ακτίνα της τροχιάς σε συνάρτηση με το χρόνο και να εξηγήσετε ποιοτικά τι είδος τροχιάς θα διαγράψει το σφαιρίδιο.

ii) Σχεδιάστε σε κάτοψη την τροχιά ποιοτικά και σε μια τυχαία θέση του σφαιριδίου σημειώστε πάνω στο σχήμα τα διανύσματα (ταχύτητα, τάση νήματος, στροφορμή ως προς το Ο). Μπορεί η τάση να είναι κάθετη στην ταχύτητα;

iii) Τη χρονική στιγμή t₁ = 2s η δύναμη που ασκούμε έχει μέτρο F = 6,5N.

α. Yπολογίστε για το σφαιρίδιο Σ την επιτάχυνση.

β. Aφού εξηγείστε την ύπαρξή της, υπολογίστε την κεντρομόλο επιτάχυνση.

iv) Κάποιος ισχυρίζεται ότι η ποσότητα L = m∙υ∙R εκφράζει κάθε χρονική στιγμή τη στροφορμή του σφαιριδίου ως προς το Ο. Συμφωνείτε με αυτό τον ισχυρισμό;

v) Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου τη χρονική στιγμή t₁= 2s.

vi) Βρείτε την τάση του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

vii) Ποιος είναι ο ρυθμός παραγωγής έργου από την δύναμη τη χρονική στιγμή t₁= 2s;

viii) Πόσο είναι το έργο της δύναμης από τη χρονική στιγμή της εκτόξευσης μέχρι τη χρονική στιγμή t₁;

Δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ νήματος (κατά το πέρασμά του από την τρύπα) και της επιφάνειας του τραπεζιού.

Συνέχεια 

Συνέχεια