Η ράβδος περιστρέφεται, αναγκάζοντας τη μπάλα να κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ, σε έναν οριζόντιο κύκλο ακτίνας R. Τα νήματα έχουν το καθένα μήκος L συνδέονται τη ράβδο με δακτυλίους που περιστρέφονται ελεύθερα χωρίς τριβές γύρω από τη ράβδο. Κάθε νήμα είναι τεντωμένο και σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο.

α) Σχεδιάστε στη σφαίρα τις δυνάμεις και το διάνυσμα της κεντρομόλου επιτάχυνσης.

β) Πάρτε πάνω στη σφαίρα ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων Χ΄X οριζόντιο και Ψ΄Ψ κατακόρυφο και γράψτε τις δύο εξισώσεις στο S.I., που προκύπτουν από την εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα στη σφαίρα, για κάθε άξονα. Δίνονται: m = 3kg, L = 1,60m, θ = 60° , g = 10m/s² και υ = 8 m/s.

γ) Βρείτε το μέτρο κάθε τάσης νήματος. Ήταν αναμενόμενο το αποτέλεσμα;

Απάντηση 

Απάντηση 

Στο λάστιχο ενός τροχού αυτοκινήτου έχει σφηνώσει ένα χαλίκι Λ, μάζας m =10g. Η διάμετρος του ελαστικού είναι δ = 15,8 inch ≈ 40cm, το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα υ = 72km/h και ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση.

i) Αν ο τροχός θεωρηθεί επίπεδος δίσκος, ποια είναι η στροφορμή του χαλικιού ως προς το κέντρο Ο του τροχού; Σχεδιάστε το διάνυσμα. Αν το αυτοκίνητο κινείται προς την Ανατολή, ποιον προσανατολισμό έχει το διάνυσμα;

ii) α) Ποια είναι η στροφορμή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ περιστροφής του δίσκου;

β) Θεωρείστε ένα σημείο Α του άξονα, που απέχει από το Ο απόσταση ΟΑ = 15cm. Υπολογίστε τη στροφορμή του χαλικιού ως προς αυτό το σημείο και σχεδιάστε το διάνυσμά της. Τι συμπεραίνετε; Η στροφορμή είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα;

iii) Υπολογίστε την προβολή του διανύσματος του ερωτήματος (iiβ), πάνω στον άξονα Z΄Z. Τι παρατηρείτε;

iv) Κάποια στιγμή t₁, που το χαλίκι διέρχεται από την ανώτερη θέση, χάνει την επαφή του με το λάστιχο και εκτοξεύεται οριζόντια. Για τη χρονική στιγμή t₁ + dt, όπου dt → 0, χαρακτηρίστε παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

α) Το χαλίκι δεν κάνει πλέον κυκλική κίνηση, άρα αμέσως μετά την εκτόξευση η στροφορμή του μηδενίζεται.

β) Δεν έχει στροφορμή ένα υλικό σημείο, που εκτελεί μεταφορική κίνηση.

γ) Η στροφορμή του χαλικιού δεν «χάνεται» ξαφνικά, έτσι αμέσως μετά την αποκόλληση είναι ίδια με αμέσως πριν.

v) Τη χρονική στιγμή t₁ χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

α) Η στροφορμή του χαλικιού είναι 0,04kgm²/s.

β) Η στροφορμή του χαλικιού ως προς το σημείο Ο ή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ είναι 0,04kgm²/s.

γ) Η στροφορμή του χαλικιού ως προς το σημείο Ο ή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ έχει μέτρο 0,04kgm²/s.

δ) Η στροφορμή του χαλικιού, ως προς ένα τυχαίο σημείο Γ του εδάφους, που βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με το χαλίκι, έχει μέτρο 0,16kgm²/s.

vi) Τι κίνηση θα κάνει το χαλίκι μέχρι να φτάσει στο έδαφος και ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του ως προς το σημείο Γ του εδάφους, όταν βρίσκεται σε ύψος h = R από το έδαφος; Δίνεται g = 10m/s.²

Απάντηση 

Απάντηση 

Μετά από μια έκρηξη στο διαστημόπλοιό τους δυο αστροναύτες Α1 και Α2 με ίσες μάζες m₁ = m₂ = 80kg βρέθηκαν στο βαθύ διάστημα, να κρατιούνται στα άκρα μιας ράβδου αμελητέας μάζας, μήκους d₁ = 3m, περιστρεφόμενοι με γωνιακή ταχύτητα  ω₁ = 2rad/s, όπως φαίνεται στο σχήμα.

α) Αφού εξηγήσετε ποια είναι η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που εκτελεί κάθε αστροναύτης,

υπολογίστε τη στροφορμή του κάθε αστροναύτη και τη στροφορμή του συστήματος, ως προς το κέντρο μάζας C του συστήματος.

Κάποια στιγμή αποφάσισαν να πλησιάσουν ο ένας τον άλλο, οπότε τραβώντας ο καθένας τη ράβδο προς το μέρος του, διήνυσαν ταυτόχρονα, απόσταση d = 1m ο καθένας.

β) Τι τροχιά διαγράφει κάθε αστροναύτης ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή;

γ) Υπολογίστε την νέα γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.

δ) Υπολογίστε τη μεταβολή της στροφορμής του κάθε αστροναύτη.

ε) Υπολογίστε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Πως εξηγείται αυτή η μεταβολή;

Θεωρούμε τους αστροναύτες υλικά σημεία και αμελητέα κάθε βαρυτική έλξη.

Απάντηση 

Απάντηση