Ένα σώμα Σ, θεωρούμενο υλικό σημείο μάζας m = 1kg, που μπορεί να κινείται κατά μήκος ενός άξονα Χ΄Χ, δέχεται μια συντηρητική δύναμη της οποίας η αλγεβρική τιμή είναι F = -Dx, δηλαδή εξαρτάται μόνο από τη θέση x του σώματος (είναι ανάλογη με αυτή). Η δύναμη αυτή έχει σαν αποτέλεσμα στο σώμα (σύστημα) να αντιστοιχεί δυναμική ενέργεια

U = 50x² (S.I.)

Τη χρονική στιγμή t₀ = 0s, το σώμα ηρεμεί στη θέση x₀ = 0m του άξονα.

α) Γιατί το σώμα μπορεί να χαρακτηριστεί ως απλός αρμονικός ταλαντωτής; Ποια είναι η σταθερά επαναφοράς;

β) Αφήνοντας ελεύθερο το σώμα, θα κινηθεί εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντωση;

γ) Αν ακαριαία εκτοξεύσουμε το σώμα προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα, με ταχύτητα αλγεβρικής τιμής υ₀ = -2m/s, να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης δυναμικής ενέργειας, που δόθηκε.

δ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης και να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες.

ε) Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης, ενέργειας ταλάντωσης και κινητικής ενέργειας, σε συνάρτηση με τη θέση x στους ίδιους βαθμολογημένους άξονες.

Απάντηση 

Απάντηση 

Ένας Έλληνας αστροναύτης, που βρίσκεται στον I.S.S., σε τροχιά γύρω από τη Γη, πειραματίζεται με διάταξη αποτελούμενη από δύο μικρές σφαίρες, καθεμία μάζας m, συνδεδεμένες με άκαμπτη ομογενή ράβδο ΑΒ, αμελητέας μάζας και μήκους l. Ο αστροναύτης έχει επίσης ένα μικρό σβώλο πηλού μάζας m, τον οποίο μπορεί να εκτοξεύσει με ταχύτητα μέτρου v₀​. Η διάταξη είναι αρχικά ακίνητη. Ο αστροναύτης θεωρεί δεδομένο ότι:

Η στροφορμή ενός υλικού σημείου ως προς σημείο Ο έχει μέτρο L = p⸱r_┴, όπου p το μέτρο της ορμής του και r_┴ η κάθετη απόσταση της διεύθυνσης της ορμής από το σημείο Ο.​

Σε μονωμένο σύστημα η συνολική στροφορμή διατηρείται.

Ένα ελεύθερο στερεό περιστρέφεται μόνο αν διαθέτει μη μηδενική στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας του.

Στις επόμενες ερωτήσεις να εκφράσετε τις απαντήσεις σας συναρτήσει των m,  v₀,  l.

α) Ο πηλός εκτοξεύεται κάθετα στη ράβδο και προσκολλάται στο μέσον Κ της ράβδου (σχήμα 1).

i) Να ερευνήσετε αν το σύστημα θα περιστραφεί.

ii) Πόση είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος;

β) Ο πηλός εκτοξεύεται κάθετα στη ράβδο και προσκολλάται τώρα στο δεξί άκρο B της ράβδου (σχήμα 2).

i) Ο αστροναύτης βρήκε έναν τρόπο να εντοπίσει πειραματικά τη θέση του κέντρου μάζας Λ του συστήματος, μετά την κρούση, παρά το ό,τι βρίσκεται σε συνθήκες έλλειψης βαρύτητας. Τι λέτε ότι έκανε;

ii) Πως θα εύρισκε το κέντρο μάζας αν ήταν στη Γη;

iii) Να ερευνήσετε αν το σύστημα θα περιστραφεί μετά την κρούση.

iv) Ποια ταχύτητα θα αποκτήσει το κέντρο μάζας μετά την κρούση;

v) Βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος μετά την κρούση.

vi) Υπολογίστε τα μέτρα των ταχυτήτων των άκρων Α και Β της ράβδου, αμέσως μετά την κρούση.

vii) Ποια είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος;

Απάντηση 

Απάντηση 

Ένα σφαιρίδιο Σ μάζας m = 2kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού νήματος. Περνάμε το νήμα από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού,  προσδίδουμε στο σφαιρίδιο μια αρχική οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ₀ = 2m/s και ταυτόχρονα στο κάτω άκρο του Α, ασκούμε μια μεταβλητή κατακόρυφη δύναμη , ώστε το σημείο Α να αρχίσει να κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ_r = 1m/s.

i) Αν η αρχική ακτίνα της τροχιάς του σφαιριδίου είναι R₀ = 6m, να γράψετε την εξίσωση που δίνει την τυχαία ακτίνα R της τροχιάς σε συνάρτηση με το χρόνο και να εξηγήσετε ποιοτικά τι είδος τροχιάς θα διαγράψει το σφαιρίδιο.

ii) Σχεδιάστε σε κάτοψη την τροχιά ποιοτικά και σε μια τυχαία θέση του σφαιριδίου σημειώστε πάνω στο σχήμα τα διανύσματα (ταχύτητα, τάση νήματος, στροφορμή ως προς το Ο).

iii) Κάποιος ισχυρίζεται ότι η ποσότητα L = m∙υ∙R εκφράζει κάθε χρονική στιγμή τη στροφορμή του σφαιριδίου ως προς το Ο. Συμφωνείτε με αυτό τον ισχυρισμό;

iv) Εξηγείστε γιατί αυξάνεται συνεχώς το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου.

v) Μπορεί η τάση του νήματος να είναι κάθετη στην ταχύτητα;

vi) Τη χρονική στιγμή t₁ = 2s η δύναμη που ασκούμε έχει μέτρο F = 4,5N. Εκείνη τη στιγμή:

α. Υπολογίστε για το σφαιρίδιο Σ την επιτάχυνση.

β. Υπολογίστε την ταχύτητα του σφαιριδίου.

γ. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σφαιριδίου;

vii) Πόσο είναι το έργο της δύναμης από τη χρονική στιγμή της εκτόξευσης μέχρι τη χρονική στιγμή t₁;

viii) – Για καθηγητές: Υπολογίστε την ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς.

ix) – Για καθηγητές: Βρείτε την τάση του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

Δεν αναπτύσσεται τριβή κατά το πέρασμα του νήματος από την τρύπα.

Απάντηση 

Απάντηση 

Μια ομογενής σανίδα AB μήκους L = 4m, έχει βάρος 20Ν και ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ασκούμε σταθερή κατακόρυφη δύναμη μέτρου F, κάθετα στη σανίδα, στο άκρο της Α και παρατηρούμε ότι εξακολουθεί να ισορροπεί.

α) Μπορεί το σημείο Δ, που ασκείται η (συνισταμένη) αντίδραση του δαπέδου στη σανίδα, να βρίσκεται αριστερά του μέσου Μ της σανίδας;

β) Δείξτε ότι η θέση d ως προς το Α, του σημείου Δ, που ασκείται η (συνισταμένη) αντίδραση του δαπέδου, δίνεται από τη σχέση d = 40 / (20 – F)  (S.I.).

γ) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης F, που απαιτείται για να ανυψωθεί η σανίδα;

Απάντηση 

Απάντηση 

Στην κάτοψη του σχήματος, βλέπουμε δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁ = 10kg και m₂ = 5kg αντίστοιχα, συνδεδεμένα μεταξύ τους με ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους L = 0,3m, τοποθετημένα κατά μήκος μιας διαμέτρου περιστρεφόμενης τράπεζας. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ της τράπεζας και του Σ₁ είναι μ₁ = 0,5, ενώ δεν υπάρχει τριβή μεταξύ του Σ₂​ και της τράπεζας. Η τράπεζα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 10rad/sec γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο της Ο. Τα σώματα είναι τοποθετημένα κατά μήκος της διαμέτρου της τράπεζας εκατέρωθεν του κέντρου O, έτσι ώστε το Σ₁ να βρίσκεται σε απόσταση R₁ = 0,12m από το O. Παρατηρείται ότι οι μάζες είναι σε ηρεμία ως προς έναν παρατηρητή πάνω στην περιστρεφόμενη τράπεζα.
i) Να βρείτε το μέτρο της τάσης του νήματος.
ii) Να εξηγήσετε ποια πρέπει να είναι η φορά της στατικής τριβής στο Σ₁​ και να υπολογίσετε το μέτρο της. Η οριακή τριβή του Σ₁ με την τράπεζα επαρκεί για την περιστροφή του συστήματος;
iii) Ποια πρέπει να είναι η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα της περιστρεφόμενης τράπεζας ώστε οι μάζες να μη γλιστρήσουν από αυτή τη θέση;
iv) Πώς πρέπει να τοποθετηθούν οι μάζες με το νήμα να παραμένει τεντωμένο, ώστε να μην ασκείται δύναμη τριβής στο Σ₁​;
Δίνεται g = 10m/s²

Απάντηση 

Απάντηση 

Ο δίσκος του σχήματος κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο, παραμένοντας σε επαφή με τις δύο οριζόντιες σανίδες Σ₁ και Σ₂, πάνω στις οποίες κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Η σανίδα Σ₂ ολισθαίνει πάνω στο λείο δάπεδο, κινούμενη προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου υ₂ = 2v, ενώ η σανίδα Σ₁ κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου υ₁ = v.

i) Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου έχει

α) μέτρο ω = 2v/3R και φορά προς τον αναγνώστη

β) μέτρο ω = 3v/R και φορά προς τη σελίδα

γ) μέτρο ω = 3v/2R και φορά προς τον αναγνώστη

ii) Η ταχύτητα του κέντρου Ο του δίσκου έχει μέτρο

α) υ_cm = v/2                   β) υ_cm = v                      γ) υ_cm = 2v

Απάντηση 

Απάντηση 

Δύο σφαίρες Α και Β ίσης μάζας είναι δεμένες με δυο νήματα (1) και (2) όπως στο σχήμα, με μήκη L₁ = L₂ = L. Το νήμα (1) έχει το ένα άκρο του δεμένο σε ακλόνητο σημείο Ο. Οι σφαίρες περιφέρονται αντιωρολογιακά, σε οριζόντιο κύκλο γύρω από το σημείο O, με σταθερές γωνιακές ταχύτητες, ώστε και τα δυο νήματα να παραμένουν τεντωμένα.

i) Ο λόγος |υ₁| / |υ₂| των μέτρων των γραμμικών ταχυτήτων των σφαιρών Α και Β είναι

α. ½                  β. 1                  γ. 2

ii) Ο λόγος |α_κ1| / |α_κ2| των μέτρων των κεντρομόλων επιταχύνσεων είναι

α. ½                  β. 1                  γ. 2

iii) Ο λόγος |Τ₁| / |Τ₂| των μέτρων των τάσεων των νημάτων (1) και (2) αντίστοιχα είναι

α. 2                  β. 3/4                γ. 3/2

iv) Να σχεδιάστε τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και των γραμμικών ταχυτήτων των σφαιρών.

Απάντηση 

Απάντηση 

Προσομοίωση

To στερεό ΟΑM του σχήματος έχει δημιουργηθεί από δύο ράβδους ίδιας μάζας και διατομής, που έχουν συγκολληθεί στο σημείο Α σε γωνία 90⁰. Τοποθετείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγμή περιστρέφεται γύρω από άξονα, κάθετο στο επίπεδό του, που διέρχεται από το άκρο του Ο όπως φαίνεται στο σχήμα. Στη θέση που φαίνεται δίνονται: το μήκος OΑ = 10cm, η γωνία (ΑΟΜ) = φ = 60⁰, το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου |ω| = 0,5 rad/s και το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου |α_γων| = 0,2 rad/s². Τα διανύσματα αυτά φαίνονται στο σχήμα.

Α. Χαρακτηρίστε το είδος της κίνησης.

Β. Να βρείτε το μέτρο και να σχεδιάσετε για το άκρο Μ της ράβδου,

i) την ταχύτητα

ii) την κεντρομόλο επιτάχυνση

iii) την επιτρόχια επιτάχυνση

iv) την επιτάχυνση

Γ. Μπορείτε να βρείτε το κέντρο μάζας C; Στη συνέχεια υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητάς του και σχεδιάστε την.

Απάντηση 

Απάντηση 

Δύο υλικά σημεία Α και Β εκτελούν ομαλές κυκλικές κινήσεις, κινούμενα αντιωρολογιακά,  στις τροχιές που φαίνονται στο σχήμα. Το Α κινείται στον εξωτερικό κύκλο (Ο₁, R), ενώ το Β κινείται στον εσωτερικό  κύκλο (Ο₂, R/2). Ο μικρός κύκλος εφάπτεται στον μεγάλο σε σημείο Σ, που ανήκει στη διάκεντρο Ο₁Ο₂. Θεωρούμε ως t₀ = 0s τη χρονική στιγμή που για το Α, θ_Α,0 = 0 rad ενώ για το Β, θ_Β,0 = π/2 rad, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα μέτρα των γραμμικών ταχυτήτων συνδέονται με τη σχέση υ_Α = 4υ_Β.

Ποια χρονική στιγμή τα δυο υλικά σημεία θα συναντηθούν (συγκρουστούν) στο σημείο Σ;

α. π/2ω_Β                        β. 2π/ω_Β                        γ. ποτέ δε θα συναντηθούν

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση δικαιολογώντας την απάντησή σας.

Απάντηση 

Απάντηση