To στερεό ΟΑM του σχήματος έχει δημιουργηθεί από δύο ράβδους ίδιας μάζας και διατομής, που έχουν συγκολληθεί στο σημείο Α σε γωνία 90⁰. Τοποθετείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγμή περιστρέφεται γύρω από άξονα, κάθετο στο επίπεδό του, που διέρχεται από το άκρο του Ο όπως φαίνεται στο σχήμα. Στη θέση που φαίνεται δίνονται: το μήκος OΑ = 10cm, η γωνία (ΑΟΜ) = φ = 60⁰, το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου |ω| = 0,5 rad/s και το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου |α_γων| = 0,2 rad/s². Τα διανύσματα αυτά φαίνονται στο σχήμα.

Α. Χαρακτηρίστε το είδος της κίνησης.

Β. Να βρείτε το μέτρο και να σχεδιάσετε για το άκρο Μ της ράβδου,

i) την ταχύτητα

ii) την κεντρομόλο επιτάχυνση

iii) την επιτρόχια επιτάχυνση

iv) την επιτάχυνση

Γ. Μπορείτε να βρείτε το κέντρο μάζας C; Στη συνέχεια υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητάς του και σχεδιάστε την.

Απάντηση 

Απάντηση 

Δύο υλικά σημεία Α και Β εκτελούν ομαλές κυκλικές κινήσεις, κινούμενα αντιωρολογιακά,  στις τροχιές που φαίνονται στο σχήμα. Το Α κινείται στον εξωτερικό κύκλο (Ο₁, R), ενώ το Β κινείται στον εσωτερικό  κύκλο (Ο₂, R/2). Ο μικρός κύκλος εφάπτεται στον μεγάλο σε σημείο Σ, που ανήκει στη διάκεντρο Ο₁Ο₂. Θεωρούμε ως t₀ = 0s τη χρονική στιγμή που για το Α, θ_Α,0 = 0 rad ενώ για το Β, θ_Β,0 = π/2 rad, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα μέτρα των γραμμικών ταχυτήτων συνδέονται με τη σχέση υ_Α = 4υ_Β.

Ποια χρονική στιγμή τα δυο υλικά σημεία θα συναντηθούν (συγκρουστούν) στο σημείο Σ;

α. π/2ω_Β                        β. 2π/ω_Β                        γ. ποτέ δε θα συναντηθούν

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση δικαιολογώντας την απάντησή σας.

Απάντηση 

Απάντηση 

Μια λεία σφαίρα Σ₁, μάζας m, κινείται κατά τη θετική φορά ενός άξονα Χ΄Χ, με ταχύτητα μέτρου υ₀ όπως φαίνεται στο σχήμα και συγκρούεται πλάγια, ταυτόχρονα, με δύο σφαίρες Σ₂ και Σ₃, όμοιες με την Σ_1. Οι Σ_2, Σ₃ είναι ακίνητες και εφάπτονται, ενώ η διάκεντρος Ο₂Ο₃ έχει τη διεύθυνση του άξονα Ψ΄Ψ.

α) Να αποδείξετε ότι αμέσως μετά την κρούση, η σφαίρα Σ₁ θα κινηθεί κατά τη διεύθυνση του άξονα Χ, ενώ οι σφαίρες Σ₂ και Σ₃ θα εκτοξευτούν κατά τις διευθύνσεις των διακέντρων Ο₁Ο₂ και Ο₁Ο₃ αντίστοιχα.

β) Αν η ταχύτητες των σφαιρών Σ₂ και Σ₃ έχουν μέτρα v₂ = v₃ = v = 2√3m/s , υπολογίστε τα μέτρα υ₀ και v₁ των ταχυτήτων της σφαίρας Σ₁ πριν και μετά την κρούση.

Απάντηση 

Απάντηση 

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκονται τρεις σφαίρες Α, Β, Γ ίδιας ακτίνας, όπως φαίνονται στο σχήμα. Οι μάζες των σφαιρών είναι  m₁ = m, m₂ = k⸳m (k > 0), m₃ = 4m αντίστοιχα. Εκτοξεύουμε την Α οριζόντια προς τα δεξιά, με ταχύτητα μέτρου υ₀, ώστε να συγκρουστεί κεντρικά και ελαστικά με τη σφαίρα Β. Στη συνέχεια η Β συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη Γ.
i) Για να αποκτήσει η σφαίρα Γ τη μέγιστη δυνατή τιμή στο μέτρο της ταχύτητάς της μετά την κρούση με τη Β, πρέπει η σταθερά k να έχει τιμή
α) 1                  β) 2                  γ) 4
Βρείτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογείστε την.
Για την τιμή του k, που βρήκατε
ii) να υπολογίσετε τις τελικές αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων των σφαιρών, σε συνάρτηση με την υ₀.
iii) πόσες κρούσεις θα γίνουν;

Απάντηση 

Απάντηση 

Προσομοίωση

 

1. Στο διπλανό σχήμα έχει παρασταθεί μια κεντρική ελαστική κρούση μεταξύ δυο σφαιρών.

Ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι το αποτέλεσμα της κρούσης αυτής; Θετική φορά προς τα δεξιά.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σφαίρα Α μάζας m₁ = 1kg, κινούμενη με ταχύτητα υ₁ = +4m/s, συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β μάζας m₂ = 3kg. Θεωρούμε προφανώς θετική τη φορά κίνησης της σφαίρας Α.

α) Υπολογίστε τις ταχύτητες των σφαιρών αμέσως μετά την κρούση. Τι κίνηση έκαναν οι σφαίρες κατά τη διάρκεια της κρούσης;

β) Βρείτε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της Α, που πήρε η Β. Εξηγείστε το αποτέλεσμα ποιοτικά.

γ) Βρείτε το ποσοστό του μέτρου της ορμής της Α, που πήρε η Β. Εξηγείστε το αποτέλεσμα ποιοτικά.

δ) Αφού εξηγήσετε γιατί η κινητική ενέργεια του συστήματος, δεν είναι συνεχώς σταθερή υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της.

ε) Να κάνετε ποιοτικά σε συνάρτηση με το χρόνο, στο ίδιο διάγραμμα, τις γραφικές παραστάσεις των ταχυτήτων των σφαιρών, κατά τη διάρκεια του φαινομένου.

Απάντηση 

Απάντηση 

Σε κάποια περιοχή το έδαφος είναι καμπύλο, έχοντας κατακόρυφη τομή παραβολή, με εξίσωση y = 0,1x² (S.I.) στο σύστημα αξόνων xOy του σχήματος. Από ένα σημείο του άξονα Οy με τεταγμένη y₀ = -h = -10m εκτοξεύουμε οριζόντια μικρή σφαίρα, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀ = 5m/s.

α) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση της σφαίρας.

β) Γράψτε την εξίσωση τροχιάς της σφαίρας.

γ) Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α του εδάφους που θα χτυπήσει η σφαίρα.

δ) Υπολογίστε την ταχύτητα με την οποία θα χτυπήσει.

Δίνεται g = 10m/s².

Απάντηση 

Απάντηση 

Α. Παίρνουμε έναν τροχό (π.χ. ποδηλάτου) μάζας m και ακτίνας R, με τον άξονά του ΑΒ οριζόντιο. Κρεμάμε το άκρο Α του άξονα, από το κάτω άκρο νήματος ΣΓ (το νήμα φέρει άγκιστρο στο Σ), που το πάνω άκρο του Γ είναι στερεωμένο στο ταβάνι. Το άλλο άκρο Β του άξονα το κρατάμε με το χέρι μας, ώστε ο άξονας ΑΒ να είναι οριζόντιος, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Αν απομακρύνουμε το χέρι μας τι νομίζετε ότι θα συμβεί;

Β. Κρατάμε τον τροχό οριζόντιο με το χέρι μας και τον θέτουμε σε ιδιοπεριστροφή με κάποια αρκετά μεγάλη γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω. Τον αφήνουμε ελεύθερο και τότε παρατηρούμε ότι

α) ο άξονας ΑΒ διατηρείται οριζόντιος και ο τροχός δεν ανατρέπεται

β) Το σύστημα άξονας ΑΒ – τροχός, περιστρέφεται περί κατακόρυφο άξονα, που έχει φορέα το νήμα ΣΓ.

Β1. Θυμηθείτε την κίνηση ενός δορυφόρου της Γης. Υπάρχει κάποιο κοινό στοιχείο, με την κίνηση που μελετάμε;

Β2. Να αποδείξετε ότι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής γύρω από το κατακόρυφο νήμα έχει μέτρο

Ω = mgr / L, όπου L η ιδιοστροφορμή (spin) του δίσκου.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σε λεία οριζόντια επιφάνεια, βρίσκονται δυο σφαίρες Α και Β, ίδιας διαμέτρου, με μάζες m₁ και m₂ αντίστοιχα. Η σφαίρα Α έχει ταχύτητα μέτρου υ₀ προς τα δεξιά, έχοντας τη διεύθυνση της διακέντρου των σφαιρών, ενώ η Β είναι ακίνητη σε σημείο Ο. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0, οι σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Μετά την κρούση και οι δύο σφαίρες κινούνται προς τα δεξιά. Σε κάποιο σημείο Ρ του δαπέδου βρίσκεται κατακόρυφος τοίχος. Στο παραπάνω διάγραμμα φαίνεται η θέση κάθε σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά την κρούση.

α) Να εξηγήσετε τη μορφή του διαγράμματος. Τι εκφράζει η παράμετρος d;

β) Να αποδείξετε ότι η κρούση της σφαίρας Β με τον τοίχο είναι ελαστική.

γ) Να βρείτε το λόγο m₁ / m₂ των μαζών.

δ) Αν δίνεται υ₀ = 3m/s και d = 6m, να κάνετε σε βαθμολογημένους άξονες το διάγραμμα υ → t για τις δυο σφαίρες, από t₀ ως t₁.

Απάντηση 

Απάντηση