ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ και όχι μόνο…

Ένα διαστημόπλοιο εκτοξεύεται από τη Γη με σκοπό να φτάσει στη Σελήνη. Υποθέτουμε ότι η Σελήνη περιφέρεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη και βρίσκεται βαθιά μέσα στη σφαίρα βαρυτικής επιρροής της Γης, οπότε αγνοούμε την επίδραση του Ήλιου.

Α΄μέρος: Η τροχιά parking και το παράθυρο εκτόξευσης

Μετά την εκτόξευση από την επιφάνεια της Γης, πρέπει να τοποθετήσουμε το διαστημόπλοιο σε μια κυκλική τροχιά (τροχιά parking) σε ύψος h = 200m γύρω από τη Γη, όπου θα περιφέρεται για να γίνουν τεχνικοί έλεγχοι. Κάποια κατάλληλη στιγμή θα πρέπει να πυροδοτηθούν οι κινητήρες. Η καύση αυτή ονομάζεται TLI (Trans‑Lunar Injection). Το διαστημόπλοιο θα  ακολουθήσει μια ελλειπτική τροχιά (τροχιά μεταφοράς Hohmann) γύρω από τη Γη, με το περίγειό της στην τροχιά parking και το απόγειο στην τροχιά της Σελήνης. Παρατηρείστε και το σχήμα 1.
Δίνονται:
η βαρυτική παράμετρος Γης: μ_Γ = GM_Γ ≈ 64² ⸱10¹¹ m³/s², η ακτίνα της Γης R_Γ = 64⸱ 10⁵m η περίοδος περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη T_Σ = 28ημέρες και η περίοδος τροχιάς μεταφοράς Hohmann Τ_μ = 6ημέρες.
α) Ποια είναι η ταχύτητα υ_p του διαστημοπλοίου στην αρχική κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη;
β) Υπολογίστε την γωνία Δθ_Σ που προσδιορίζει τη θέση της Σελήνης τη στιγμή της εκτόξευσης, για να γίνει η συνάντηση μετά από χρόνο πτήσης μισής περιόδου, στην τροχιά μεταφοράς.

 Β΄μέρος: Το ταξίδι

Για να φτάσει το διαστημόπλοιο στη Σελήνη, πρέπει να μπει στην ελλειπτική τροχιά Hohmann, που είδαμε στο Α΄μέρος. Θέτει σε λειτουργία τους κινητήρες και κάνει μια μεγάλη καύση, μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα √126km/s ≈ 11,22km/s. Η τροχιά του τότε αλλάζει, μετατρέπεται σε τροχιά μεταφοράς Hohmann και το σημείο εκκίνησης είναι πλέον το περίγειο της ελλειπτικής αυτής τροχιάς (σχήμα 1). Δίνονται:
η βαρυτική παράμετρος της Γης μ_Γ = GM_Γ ≈ 64² ⸱10¹¹ m³/s², η ακτίνα της Γης R_Γ = 64⸱ 10⁵m και η απόσταση από το σημείο εκκίνησης μέχρι την τροχιά της Σελήνης r = 60R_Γ
α) Αν η μέση μάζα του διαστημοπλοίου είναι m = 10³kg, βρείτε την αύξηση Δv της ταχύτητας και την ενέργεια που δαπανήθηκε καίγοντας το καύσιμο.
β) Με ποια ταχύτητα φτάνει το διαστημόπλοιο στην τροχιά της Σελήνης;
γ) Όταν το διαστημόπλοιο φτάσει στην τροχιά της Σελήνης ποιo από τα παρακάτω πρέπει να κάνει για να συλληφθεί από το βαρυτικό πεδίο της Σελήνης και να γίνει δορυφόρος της σε ύψος h = 200m από την επιφάνειά της;
i) Τίποτα. Η ταχύτητα που έχει είναι πολύ μικρή και θα γίνει ούτως ή άλλως δορυφόρος.
ii) Με αυτή την ταχύτητα θα προσπεράσει τη Σελήνη.
iii) Θα πρέπει να κάνει μια καύση, ώστε να αυξήσει την ταχύτητά του.
iv) Θα πρέπει να κάνει μια καύση, ώστε να μειώσει την ταχύτητά του.
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
Δίνονται: η ακτίνα της Σελήνης R_Σ = 17⸱10⁵km, η βαρυτική παράμετρος της Σελήνης μ_Σ ≈ 4,9⸱10⁹m³/s² και η ταχύτητα περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη υ_Σ = 1km/s.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις δύο αρμονικά κύματα, με ίδιο πλάτος Α = 0,2m. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στο μέσο είναι υ = 2m/s και η συχνότητά τους είναι f = 2Ηz. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0, τα μέτωπα των δύο κυμάτων έχουν φτάσει στην αρχή Ο του άξονα Ox, όπως στο σχήμα. Τα κύματα συμβάλλουν και έχουμε δημιουργία στάσιμου κύματος πάνω στο ελαστικό μέσο.

i) Να αποδείξετε ότι στο σημείο Ο θα δημιουργηθεί κοιλία.

ii) Να γράψετε τις εξισώσεις των τρεχόντων και του στάσιμου κύματος.

iii) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων και να σχεδιάσετε τη μορφή του γραμμικού μέσου τις χρονικές στιγμές α) t₁ = 0,125s και β) t₂ = 0,25s.

iv) Κάποιος μαθητής αναρωτιέται πως είναι δυνατόν να σχηματιστεί και να επεκταθεί σταδιακά το στάσιμο κύμα, αφού οι δεσμοί δεν επιτρέπουν ροή ενέργειας. Τι θα μπορούσατε να απαντήσετε;

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Τα σώματα Α και Β του σχήματος με μάζες αντίστοιχα m_Α = m και m_Β = 2m αντίστοιχα, συνδέονται με ελατήριο σταθεράς k και τοποθετούνται σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με το Α εφαπτόμενο στον κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε οριζόντια δύναμη μέτρου F, που σπρώχνει το σώμα B προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το σύστημα να ισορροπεί και στο ελατήριο να έχει αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια U.

i) Το μέτρο της δύναμης F πρέπει να είναι

α) F = √(2kU)               β) F = (1/2) √(2kU)                   γ) F = (3/2) √(2kU)

Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη .

ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται κάποια χρονική στιγμή t₁ όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό μήκος του.

iii) Α) Η χρονική στιγμή t₁ είναι

α) t₁ = π√(2m/k)                        β) t₁ = 0,5π√(2m/k)                    γ) t₁ = π√(m/k)

     Β) Η ταχύτητα του σώματος Β τη χρονική στιγμή t₁ έχει μέτρο

α) υ_max = √(U/2m)          β) υ_max = √(2U/m)                      γ) υ_max = √(U/m)

iv) Να αποδείξετε ότι το ελατήριο αποκτά τη μέγιστη δυναμική ενέργειά του κάποια χρονική στιγμή t₂, όταν τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων εξισωθούν.

v) Η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα τη χρονική στιγμή t₂ έχει μέτρο

α) u = √U/m                  β) u = (2/3) √U/m                      γ) u = (3/2) √U/m

vi) Η μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια U₁ του ελατηρίου, μετά την απομάκρυνση του σώματος Α από τον τοίχο είναι:

α) U₁ = U                      β) U₁ = U/2                               γ) U₁ = U/3

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σώμα μάζας m ηρεμεί κρεμασμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς D. Απομακρύνουμε το σώμα κατά x = d από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. Θετική φορά προς τα πάνω. Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, μικρής απόσβεσης, με δύναμη επαναφοράς F = –Dx και δύναμη απόσβεσης F_απ = –bυ . Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομη δικαιολόγηση.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σε οριζόντιο δάπεδο είναι στερεωμένη μια λεία τροχιά σχήματος τεταρτοκυκλίου, κέντρου Ο. Το οριζόντιο τμήμα στο κάτω άκρο της τροχιάς συνδέεται ομαλά με την πάνω επιφάνεια ενός μικρού καροτσιού Κ (βλ. σχήμα). Πάνω στην τροχιά βρίσκεται ένα μικρό σώμα A, μάζας m₁ = 4kg, το οποίο αφήνεται από την ηρεμία να ολισθήσει από ύψος h = R = 1,8 m πάνω από το οριζόντιο τμήμα της τροχιάς. Στο αριστερό άκρο του καροτσιού υπάρχει ένα σώμα B, μάζας m₂ = 2kg. Τα σώματα A και B μπορούν να θεωρηθούν υλικά σημεία. Μετά την κρούση τους, τα A και B κολλάνε μεταξύ τους. Είναι γνωστό ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στα A, B και το καρότσι Κ είναι μ = 0,5, ενώ η τριβή στα αξονάκια των τροχών του καροτσιού θεωρείται αμελητέα.
Πάρτε g = 10 m/s².
α) α₁) Να βρεθεί η κάθετη αντίδραση του τεταρτοκυκλίου, στο σώμα Α, στο ξεκίνημα της κίνησής του.
α₂) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτηταςτου σώματος Α όταν φτάνει στην κατώτερη θέση του τεταρτοκυκλίου;
α₃) Να βρεθεί η κάθετη αντίδραση του τεταρτοκυκλίου, στο σώμα Α, όταν φτάνει στην κατώτερη θέση του τεταρτοκυκλίου, οριακά πριν το διάνυσμα της ταχύτητάς του γίνει οριζόντιο.
β) Το μέτρο της κοινής ταχύτητας αμέσως μετά την κρούση των A και B, αν η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα.
γ) Τι κίνηση θα εκτελέσουν στη συνέχεια το συσσωμάτωμα Α+Β και το καρότσι Κ;
δ) Αν το καρότσι έχει μήκος L = 0,64m και τo συσσωμάτωμα Α+Β μόλις που δεν εγκαταλείπει το καρότσι, να βρεθεί η μάζα M του καροτσιού.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Η σταθερά απόσβεσης θεωρείται πολύ μικρή.

α) Μπορείτε να εξηγήσετε ποιος παράγοντας επηρεάζει τη γωνιακή συχνότητα συντονισμού;

β) Αν το ελατήριο είχε σταθερά k = 100N/m, ποια είναι η μάζα που χρησιμοποιήθηκε σε κάθε πείραμα και ποιες είναι οι αντίστοιχες συχνότητες συντονισμού;

γ) Κάποιος μαθητής ισχυρίζεται ότι αν σε ένα σύστημα που βρίσκεται σε συντονισμό μειώσουμε την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, χωρίς να αλλάξουμε τη συχνότητα του διεγέρτη, το σύστημα δε θα είναι πια σε κατάσταση συντονισμού και το πλάτος της ταλάντωσης θα μειωθεί. Συμφωνείτε με αυτόν τον ισχυρισμό;

Συνέχεια 

Συνέχεια