Ένα διαστημόπλοιο εκτοξεύεται από τη Γη με σκοπό να φτάσει στη Σελήνη. Υποθέτουμε ότι η Σελήνη περιφέρεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη και βρίσκεται βαθιά μέσα στη σφαίρα βαρυτικής επιρροής της Γης, οπότε αγνοούμε την επίδραση του Ήλιου.
Α΄μέρος: Η τροχιά parking και το παράθυρο εκτόξευσης
Μετά την εκτόξευση από την επιφάνεια της Γης, πρέπει να τοποθετήσουμε το διαστημόπλοιο σε μια κυκλική τροχιά (τροχιά parking) σε ύψος h = 200m γύρω από τη Γη, όπου θα περιφέρεται για να γίνουν τεχνικοί έλεγχοι. Κάποια κατάλληλη στιγμή θα πρέπει να πυροδοτηθούν οι κινητήρες. Η καύση αυτή ονομάζεται TLI (Trans‑Lunar Injection). Το διαστημόπλοιο θα ακολουθήσει μια ελλειπτική τροχιά (τροχιά μεταφοράς Hohmann) γύρω από τη Γη, με το περίγειό της στην τροχιά parking και το απόγειο στην τροχιά της Σελήνης. Παρατηρείστε και το σχήμα 1.
Δίνονται:
η βαρυτική παράμετρος Γης: μΓ = GMΓ ≈ 642 ⸱1011 m3/s2, η ακτίνα της Γης RΓ = 64⸱ 105m η περίοδος περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη TΣ = 28ημέρες και η περίοδος τροχιάς μεταφοράς Hohmann Τμ = 6ημέρες.
α) Ποια είναι η ταχύτητα υp του διαστημοπλοίου στην αρχική κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη;
β) Υπολογίστε την γωνία ΔθΣ που προσδιορίζει τη θέση της Σελήνης τη στιγμή της εκτόξευσης, για να γίνει η συνάντηση μετά από χρόνο πτήσης μισής περιόδου, στην τροχιά μεταφοράς.
Β΄μέρος: Το ταξίδι
Για να φτάσει το διαστημόπλοιο στη Σελήνη, πρέπει να μπει στην ελλειπτική τροχιά Hohmann, που είδαμε στο Α΄μέρος. Θέτει σε λειτουργία τους κινητήρες και κάνει μια μεγάλη καύση, μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα √126km/s ≈ 11,22km/s. Η τροχιά του τότε αλλάζει, μετατρέπεται σε τροχιά μεταφοράς Hohmann και το σημείο εκκίνησης είναι πλέον το περίγειο της ελλειπτικής αυτής τροχιάς (σχήμα 1). Δίνονται:
η βαρυτική παράμετρος της Γης μΓ = GMΓ ≈ 642 ⸱1011 m3/s2, η ακτίνα της Γης RΓ = 64⸱ 105m και η απόσταση από το σημείο εκκίνησης μέχρι την τροχιά της Σελήνης r = 60RΓ
α) Αν η μέση μάζα του διαστημοπλοίου είναι m = 103kg, βρείτε την αύξηση Δv της ταχύτητας και την ενέργεια που δαπανήθηκε καίγοντας το καύσιμο.
β) Με ποια ταχύτητα φτάνει το διαστημόπλοιο στην τροχιά της Σελήνης;
γ) Όταν το διαστημόπλοιο φτάσει στην τροχιά της Σελήνης ποιo από τα παρακάτω πρέπει να κάνει για να συλληφθεί από το βαρυτικό πεδίο της Σελήνης και να γίνει δορυφόρος της σε ύψος h = 200m από την επιφάνειά της;
i) Τίποτα. Η ταχύτητα που έχει είναι πολύ μικρή και θα γίνει ούτως ή άλλως δορυφόρος.
ii) Με αυτή την ταχύτητα θα προσπεράσει τη Σελήνη.
iii) Θα πρέπει να κάνει μια καύση, ώστε να αυξήσει την ταχύτητά του.
iv) Θα πρέπει να κάνει μια καύση, ώστε να μειώσει την ταχύτητά του.
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
Δίνονται: η ακτίνα της Σελήνης RΣ = 17⸱105km, η βαρυτική παράμετρος της Σελήνης μΣ ≈ 4,9⸱109m3/s2 και η ταχύτητα περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη υΣ = 1km/s.
