ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ και όχι μόνο…

Δύο βάρκες Β₁ και Β₂ ίσης μάζας Μ ακουμπούν η μία με την άλλη όπως στο σχήμα ακίνητες στην ήρεμη λίμνη. Ένας άνθρωπος Α μάζας m, πηδά από την Β₁ στη Β₂ και μετά πηδά πίσω στη Β₁.  Αν η αντίσταση του νερού είναι αμελητέα, θετική φορά προς τα δεξιά,

i) Να διερευνήσετε το φαινόμενο που εξελίσσεται σε κάθε άλμα του ανθρώπου, μελετώντας την ταχύτητα που αποκτά κάθε βάρκα. O λόγος των ταχυτήτων που θα αποκτήσουν τελικά οι βάρκες B₁, B₂ θα είναι

α) υ₁ / υ₂ = – Μ / (Μ+m)            β) υ₁ / υ₂ = – (Μ+m) / m                         γ) υ₁ / υ₂ = -Μ /m

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογείστε την.

ii) Να γενικεύσετε το αποτέλεσμα στην περίπτωση που ο άνθρωπος Α πραγματοποιεί Ν το πλήθος άλματα προς τη βάρκα Β₂ και Ν το πλήθος άλματα προς τη βάρκα Β₁.

Απάντηση 

Στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k = 100N/m, που το πάνω άκρο του είναι ακλόνητα δεμένο στο ταβάνι, είναι προσαρμοσμένο σώμα, μάζας m = 1kg και ισορροπεί ακίνητο. Απομακρύνουμε το σώμα κατά A₀ = 2m, από τη θέση ισορροπίας και το αφήνουμε ελεύθερο, χωρίς αρχική ταχύτητα. Εκτός από τη δύναμη επαναφοράς F=-kx , υπάρχει δύναμη τριβής αντίθετη της ταχύτητας της μορφής F=-bυ .Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με σταθερά απόσβεσης b = 2kg/s, η οποία θεωρείται «μικρή» για τις συνθήκες του προβλήματος.

Η συνέχεια…

Απάντηση 

Δύο μικρές μπάλες Α και Β, μάζας m_A = 3kg και m_B = 1kg, αντίστοιχα, συνδέονται με άκαμπτη αβαρή ράβδο, μήκους L = 2m και ηρεμούν πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ξαφνικά εκτοξεύουμε τη σφαίρα Α με ταχύτητα μέτρου υ₀ = 4m/s, με διεύθυνση κάθετη στη ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήμα.
i) Υπολογίστε
α) την ορμή του συστήματος και
β) τη στροφορμή του συστήματος ως προς το κέντρο μάζας του C που βρίσκεται σε απόσταση r = 0,5m από τη μπάλα Α.
ii) Βρείτε τις ταχύτητες των Α και Β τη χρονική στιγμή t₁ , που η ράβδος έχει περιστραφεί κατά 180⁰.
iii) Τη χρονική στιγμή t₁ υπολογίστε επίσης το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω και το μέτρο υ_C της ταχύτητας του κέντρου μάζας C του συστήματος.
iv) Για καθηγητές:
Βρείτε τις συντεταγμένες x, y θέσης της μπάλας Α, τη χρονική στιγμή t₁.
Τη χρονική στιγμή t₀ = 0s, που εκτοξεύτηκε, είχε x = 0m, y = +0,5m.

Απάντηση 

Μια ομογενής λεπτή ράβδος ΑΓ μάζας M και μήκους L, συνδέεται μέσω ενός μη εκτατού νήματος σε ένα ελατήριο σταθεράς k. Το νήμα περνά πάνω από μια πολύ μικρή και λεία τροχαλία στερεωμένη στο P . Η ράβδος είναι ελεύθερη να στρέφεται χωρίς τριβή περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Α, με ΡΑ = α, σε όλο το γωνιακό εύρος 0 ≤ θ ≤ π.  Αν ΡΓ = d = 0, το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.
Το σύστημα βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο και ισορροπεί. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g και L < a (ώστε αν η ΑΓ γίνει κατακόρυφη να μη «βρίσκει» στην τροχαλία).
Η ράβδος ισορροπεί (ευσταθώς), αν

α) kα = Μg                   β) kα = Μg/2                 γ) kα = 2Mg

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την δικαιολογήσετε. Προφανώς τα δεδομένα  L, d δε θα χρειαστούν στην τελική σχέση. Επίσης θεωρείται γνωστός ο νόμος των ημιτόνων.

Απάντηση

Απάντηση

Ένα σημειακό ηλεκτρικό φορτίο q₁ = +q δημιουργεί στο σημείο Ρ του χώρου ηλεκτρικό πεδίο, έντασης   και δυναμικού V₁. Η απόσταση του Ρ από το φορτίο είναι r (σχήμα 1).
i) Το μέτρο της έντασης και η τιμή του δυναμικού συνδέονται με τη σχέση
α) V₁ = E₁∙r      β) V₁ = E₁∙r²     γ) V₁ = E₁/r
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Κρατώντας ακίνητο το φορτίο q₁, ένα δεύτερο ηλεκτρικό φορτίο q₂ = +q, τοποθετείται και συγκρατείται ακίνητο, όπως φαίνεται στο σχήμα 2. Στο σημείο Ρ η ένταση γίνεται  και το δυναμικό V.
ii) Για το μέτρο της έντασης ισχύει
α) Ε > Ε₁          β) Ε = Ε₁          γ) Ε < Ε₁
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

iii) Για το δυναμικό ισχύει
α) V = 0            β) V = √2 V₁     γ) V =2V₁
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

iv) Κάποιος ισχυρίζεται ότι πάνω στην ευθεία που συνδέει τα δύο φορτία, υπάρχει σημείο Σ, που η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και το δυναμικό είναι μηδέν. Συμφωνείτε με αυτή την άποψη; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

v) Θα μπορούσαμε να μηδενίσουμε την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια του συστήματος, αν τοποθετούσαμε στο μέσον της απόστασης των δύο φορτίων
α) ένα αρνητικό σημειακό φορτίο q₃ =-2q
β) ένα αρνητικό σημειακό φορτίο q₃ =-q/4
γ) ένα θετικό σημειακό φορτίο q₃ =+2q
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Απάντηση 

Απάντηση 

Σε μια ταινία περιπέτειας, ο πρωταγωνιστής Hawkeye – δεινός τοξότης – φτάνει μπροστά από τον περιστρεφόμενο ακτινωτό τροχό ενός αεραγωγού και έχει στόχο να περάσει ένα λεπτό βέλος στην άλλη πλευρά. Ο τροχός έχει οκτώ ακτινωτά ευθύγραμμα πτερύγια και κάθε ένα έχει μήκος R = 30cm. Κάθε πτερύγιο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, αμελητέου πάχους και πλάτους l = 6cm, με το επίπεδό τους κάθετο στο επίπεδο του τροχού. Ο τροχός στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα κάθετο στο επίπεδό του, με σταθερή συχνότητα f = 2,5Hz. To βέλος μήκους d = 24cm θα πρέπει να κινηθεί παράλληλα με τον άξονα περιστροφής και να διαπεράσει κάθετα το επίπεδο του τροχού, χωρίς να χτυπήσει κάποιο από τα πτερύγια. Η κίνησή του θεωρείται ευθύγραμμη ομαλή.

(α) Υπολογίστε την περίοδο και τα μέτρα της γωνιακής ταχύτητας και κεντρομόλου επιτάχυνσης ενός οποιουδήποτε σημείου της περιφέρειας του τροχού και σχεδιάστε στο σχήμα τα αντίστοιχα διανύσματα.

(β) Ποιο είναι το ελάχιστο μέτρο υ της ταχύτητας εισόδου, που πρέπει να έχει το βέλος;

(γ) Αν η αρχική απόσταση του βέλους από τον τροχό είναι s = 1,2m και τη στιγμή που εκτοξεύεται έχει απέναντί του πτερύγιο, τι θα συναντήσει φτάνοντας στον τροχό;

(δ) Έχει σημασία, πού θα περάσει οριακά το βέλος, ανάμεσα στον άξονα και την περιφέρεια του τροχού; Αν ναι, πού είναι το καλύτερο σημείο;

Απάντηση