Δύο μικρές όμοιες σφαίρες Α και Β μάζας m, είναι στερεωμένες στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους d, δημιουργώντας έτσι το σώμα S₁, το οποίο ηρεμεί σε οριζόντια διεύθυνση. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται ελεύθερα γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από άρθρωση στο μέσον της Ο. Μια άλλη σφαίρα Γ μάζας επίσης m αφήνεται ελεύθερη από ύψος h κατακόρυφα πάνω από τη σφαίρα Β και συγκρούεται με αυτήν κεντρικά και πλαστικά. Δημιουργείται έτσι ένα στερεό S₂ , που στρέφεται περί το σημείο Ο. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται dt → 0 και επίπεδο αναφοράς βαρυτικής δυναμικής ενέργειας παίρνουμε το οριζόντιο επίπεδο της ράβδου ΑΒ.

  i) Η στροφορμή του συστήματος, ως προς το σημείο Ο, αμέσως πριν την κρούση έχει μέτρο

Απάντηση 

Απάντηση 

Στο λάστιχο ενός τροχού αυτοκινήτου έχει σφηνώσει ένα χαλίκι Λ, μάζας m =10g. Η διάμετρος του ελαστικού είναι δ = 15,8 inch ≈ 40cm, το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα υ = 72km/h και ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση.

i) Αν ο τροχός θεωρηθεί επίπεδος δίσκος, ποια είναι η στροφορμή του χαλικιού ως προς το κέντρο Ο του τροχού; Σχεδιάστε το διάνυσμα. Αν το αυτοκίνητο κινείται προς την Ανατολή, ποιον προσανατολισμό έχει το διάνυσμα;

ii) α) Ποια είναι η στροφορμή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ περιστροφής του δίσκου;

β) Θεωρείστε ένα σημείο Α του άξονα, που απέχει από το Ο απόσταση ΟΑ = 15cm. Υπολογίστε τη στροφορμή του χαλικιού ως προς αυτό το σημείο και σχεδιάστε το διάνυσμά της. Τι συμπεραίνετε; Η στροφορμή είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα;

iii) Υπολογίστε την προβολή του διανύσματος του ερωτήματος (iiβ), πάνω στον άξονα Z΄Z. Τι παρατηρείτε;

iv) Κάποια στιγμή t₁, που το χαλίκι διέρχεται από την ανώτερη θέση, χάνει την επαφή του με το λάστιχο και εκτοξεύεται οριζόντια. Για τη χρονική στιγμή t₁ + dt, όπου dt → 0, χαρακτηρίστε παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

α) Το χαλίκι δεν κάνει πλέον κυκλική κίνηση, άρα αμέσως μετά την εκτόξευση η στροφορμή του μηδενίζεται.

β) Δεν έχει στροφορμή ένα υλικό σημείο, που εκτελεί μεταφορική κίνηση.

γ) Η στροφορμή του χαλικιού δεν «χάνεται» ξαφνικά, έτσι αμέσως μετά την αποκόλληση είναι ίδια με αμέσως πριν.

v) Τη χρονική στιγμή t₁ χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

α) Η στροφορμή του χαλικιού είναι 0,04kgm²/s.

β) Η στροφορμή του χαλικιού ως προς το σημείο Ο ή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ είναι 0,04kgm²/s.

γ) Η στροφορμή του χαλικιού ως προς το σημείο Ο ή ως προς τον άξονα Ζ΄Ζ έχει μέτρο 0,04kgm²/s.

δ) Η στροφορμή του χαλικιού, ως προς ένα τυχαίο σημείο Γ του εδάφους, που βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με το χαλίκι, έχει μέτρο 0,16kgm²/s.

vi) Τι κίνηση θα κάνει το χαλίκι μέχρι να φτάσει στο έδαφος και ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του ως προς το σημείο Γ του εδάφους, όταν βρίσκεται σε ύψος h = R από το έδαφος; Δίνεται g = 10m/s.²

Απάντηση 

Απάντηση 

Μετά από μια έκρηξη στο διαστημόπλοιό τους δυο αστροναύτες Α1 και Α2 με ίσες μάζες m₁ = m₂ = 80kg βρέθηκαν στο βαθύ διάστημα, να κρατιούνται στα άκρα μιας ράβδου αμελητέας μάζας, μήκους d₁ = 3m, περιστρεφόμενοι με γωνιακή ταχύτητα  ω₁ = 2rad/s, όπως φαίνεται στο σχήμα.

α) Αφού εξηγήσετε ποια είναι η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που εκτελεί κάθε αστροναύτης,

υπολογίστε τη στροφορμή του κάθε αστροναύτη και τη στροφορμή του συστήματος, ως προς το κέντρο μάζας C του συστήματος.

Κάποια στιγμή αποφάσισαν να πλησιάσουν ο ένας τον άλλο, οπότε τραβώντας ο καθένας τη ράβδο προς το μέρος του, διήνυσαν ταυτόχρονα, απόσταση d = 1m ο καθένας.

β) Τι τροχιά διαγράφει κάθε αστροναύτης ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή;

γ) Υπολογίστε την νέα γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.

δ) Υπολογίστε τη μεταβολή της στροφορμής του κάθε αστροναύτη.

ε) Υπολογίστε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Πως εξηγείται αυτή η μεταβολή;

Θεωρούμε τους αστροναύτες υλικά σημεία και αμελητέα κάθε βαρυτική έλξη.

Απάντηση 

Απάντηση 

ο δίσκος Α κυλίεται ομαλά χωρίς να ολισθαίνει γύρω από τον δίσκο Β, ο οποίος συγκρατείται ακίνητος. Μετά από πόσες στροφές του δίσκου Α, θα βρεθεί αυτός στην αρχική του θέση;

α. 3/2                β. 3                  γ. 6                   δ. 9/2                            ε. 9

ΠΡΟΣΟΧΗ! Στις απαντήσεις που δόθηκαν δεν υπάρχει η σωστή!

Σωστή απάντηση 

Σωστή απάντηση 

Δύο κέρματα (α) και (β) των δύο ευρώ ηρεμούν πάνω σε οριζόντιο δάπεδο.

Τα επίπεδα των νομισμάτων είναι οριζόντια και  τα νομίσματα εφάπτονται το ένα στο άλλο όπως στο σχήμα 1.
Κρατάμε το κέρμα (α)  ακίνητο και αρχίζουμε να περιστρέφουμε το (β) αριστερόστροφα έτσι ώστε να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει παραμένοντας σε επαφή με το (α) και το κέντρο του Κ να εκτελεί κυκλική κίνηση με κέντρο το κέντρο του νομίσματος (α).

Όταν το κέντρο (Κ) του (β) έχει μισή περιστροφή, η σχετική θέση των δύο νομισμάτων θα είναι

Α) Όπως στο σχήμα 2

Β) Όπως στο σχήμα 3

Γ) Όπως στο σχήμα 4

Να επιλέξετε τον σωστό σχήμα δικαιολογώντας την επιλογή σας.

Η συνέχεια σε  ή σε 

Δύο μικρές μπάλες Α και Β, μάζας m_A = 3kg και m_B = 1kg, αντίστοιχα, συνδέονται με άκαμπτη αβαρή ράβδο, μήκους L = 2m και ηρεμούν πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ξαφνικά εκτοξεύουμε τη σφαίρα Α με ταχύτητα μέτρου υ₀ = 4m/s, με διεύθυνση κάθετη στη ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήμα.
i) Υπολογίστε
α) την ορμή του συστήματος και
β) τη στροφορμή του συστήματος ως προς το κέντρο μάζας του C που βρίσκεται σε απόσταση r = 0,5m από τη μπάλα Α.
ii) Βρείτε τις ταχύτητες των Α και Β τη χρονική στιγμή t₁ , που η ράβδος έχει περιστραφεί κατά 180⁰.
iii) Τη χρονική στιγμή t₁ υπολογίστε επίσης το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω και το μέτρο υ_C της ταχύτητας του κέντρου μάζας C του συστήματος.
iv) Για καθηγητές:
Βρείτε τις συντεταγμένες x, y θέσης της μπάλας Α, τη χρονική στιγμή t₁.
Τη χρονική στιγμή t₀ = 0s, που εκτοξεύτηκε, είχε x = 0m, y = +0,5m.

Απάντηση 

Μια ομογενής λεπτή ράβδος ΑΓ μάζας M και μήκους L, συνδέεται μέσω ενός μη εκτατού νήματος σε ένα ελατήριο σταθεράς k. Το νήμα περνά πάνω από μια πολύ μικρή και λεία τροχαλία στερεωμένη στο P . Η ράβδος είναι ελεύθερη να στρέφεται χωρίς τριβή περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Α, με ΡΑ = α, σε όλο το γωνιακό εύρος 0 ≤ θ ≤ π.  Αν ΡΓ = d = 0, το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.
Το σύστημα βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο και ισορροπεί. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g και L < a (ώστε αν η ΑΓ γίνει κατακόρυφη να μη «βρίσκει» στην τροχαλία).
Η ράβδος ισορροπεί (ευσταθώς), αν

α) kα = Μg                   β) kα = Μg/2                 γ) kα = 2Mg

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την δικαιολογήσετε. Προφανώς τα δεδομένα  L, d δε θα χρειαστούν στην τελική σχέση. Επίσης θεωρείται γνωστός ο νόμος των ημιτόνων.

Απάντηση

Απάντηση