Κατηγορία: 4.01 Κρούσεις

Λεία σφαίρα Σ₁ μάζας m₁, ακτίνας R, κινούμενη με ταχύτητα , κατά τη θετική φορά μιας ημιευθείας Αε, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ₂ μάζας m₂, ίδιας ακτίνας (σχήμα 1α).

α) Αν το ποσοστό της κινητικής ενέργειας, που μεταβιβάζει η σφαίρα Σ₁ στη σφαίρα Σ₂ είναι e% = 75% και η σφαίρα Σ₁ συνεχίζει να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα, βρείτε το λόγο λ = m₁/m₂ των μαζών.

β) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα έτσι ώστε οι σφαίρες Σ₁ και Σ₂ να συγκρουστούν πλάγια ελαστικά, όπως φαίνεται στο σχήμα 1β. Η ταχύτητα της Σ₁ είναι ίδια με αυτήν του πρώτου πειράματος, με μέτρο υ₁ = 10m/s και η απόσταση O₂K = d = 1,6R, όπου Ο₁Ο₂ η διάκεντρος των σφαιρών.

Υπολογίστε τις ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση και το ποσοστό e΄% της κινητικής ενέργειας, που μεταβιβάζει η σφαίρα Σ₁ στη σφαίρα Σ₂

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Οι δύο σφαίρες του σχήματος με μέτρα ταχυτήτων υ₁ και υ₂ (υ₁ > υ₂) αντίστοιχα, συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά.

Αν θέσουμε μ = m₁m₂/m₁+m₂, δείξτε ότι

α) Η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας έχει αντίστοιχα αλγεβρική τιμή:

Δp₁ = μ ∙ δυ, Δp₂ = -μ ∙ δυ

όπου με το συμβολισμό δυ αναφερόμαστε στην αλγεβρική τιμή της διαφοράς των ταχυτήτων των σφαιρών πριν την κρούση, δηλαδή δυ = υ₂ – υ₁

β) Η απώλεια Κινητικής Ενέργειας του συστήματος είναι:

Κ_απ = ½ μ (δυ)²

Απάντηση 

Απάντηση 

Οι δύο σφαίρες του σχήματος με μέτρα ταχυτήτων υ₁ και υ₂ (υ₁ > υ₂) αντίστοιχα, συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά.

Αν θέσουμε μ = m₁m₂/m₁+m₂, δείξτε ότι

α) Η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας έχει αντίστοιχα αλγεβρική τιμή:

Δp₁ = μ ∙ δυ, Δp₂ = -μ ∙ δυ

όπου με το συμβολισμό δυ αναφερόμαστε στην αλγεβρική τιμή της διαφοράς των ταχυτήτων των σφαιρών πριν την κρούση, δηλαδή δυ = υ₂ – υ₁

β) Η απώλεια Κινητικής Ενέργειας του συστήματος είναι:

Κ_απ = ½ μ (δυ)²

Απάντηση 

Απάντηση 

Λεία σφαίρα Σ1 μάζας m₁ = m, κινείται κατά τη θετική φορά ενός άξονα Χ΄Χ με ταχύτητα μέτρου υ₁= √2m/s. Δεύτερη επίσης λεία σφαίρα Σ2, μάζας m₂ = m/3, που κινείται κατά την αρνητική φορά του άξονα Χ΄Χ, με ταχύτητα μέτρου υ₂, συγκρούεται με την Σ1. Μετά την κρούση, η σφαίρα Σ1 κινείται με ταχύτητα μέτρου υ₁΄= υ₁/2 κατά την αρνητική φορά του άξονα Ψ΄Ψ ενώ η Σ2 κινείται με ταχύτητα μέτρου υ₂΄, υπό γωνία φ = 45⁰, ως προς τον θετικό ημιάξονα ΟΧ (βλέπετε σχήμα).

α) Υπολογίστε τις ταχύτητες υ₂ και υ₂΄ και της σφαίρας Σ2.

β) Η κρούση είναι ελαστική; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

γ) Αν m = 3kg, ποια είναι η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας;

Απάντηση

Μια σφαίρα Σ₁ μάζας m₁, κινείται οριζόντια με ταχύτητα  κατά τη θετική φορά ενός άξονα και συγκρούεται κεντρικά με δεύτερη ακίνητη σφαίρα Σ₂, μάζας m₂. Μετά την κρούση, η τελική ταχύτητα της σφαίρας Σ₂ είναι , δηλαδή η Σ₂ παίρνει την ταχύτητα της Σ₁.

Έστω e το κλάσμα της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ₁ πριν την κρούση, που παραμένει ως κινητική στο σύστημα μετά την κρούση.

i) Η μέγιστη τιμή του κλάσματος e_απ – απώλειας ενέργειας – πρέπει να είναι

α) 0,25              β) 0,75              γ) 0,8

ii) Για την τιμή της παραμέτρου e, που επιλέξατε ποιος είναι ο λόγος των μαζών των σφαιρών; Τριβές δεν υπάρχουν.

Απάντηση 

Στο σχήμα φαίνεται τμήμα κατακόρυφης τομής κυλινδρικής επιφάνειας ακτίνας R = 3,2m, σχήματος τεταρτοκυκλίου. Από το ανώτερο σημείο Α, εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα κάτω μικρό σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 2kg, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀ = 2m/s, το οποίο ολισθαίνει συνεχώς στην κυλινδρική επιφάνεια, κατέρχεται, φτάνει στο κατώτερο σημείο Β του τεταρτοκυκλίου και εισέρχεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ₁ = 6m/s. Πάνω σε αυτό το οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί το σύστημα των σωμάτων Σ₂ – Σ₃ με το οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k = 2000N/m, που τα συνδέει, να βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Το Σ₁ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σύστημα των σωμάτων Σ₂ – Σ₃. Αμέσως μετά την κρούση το σώμα Σ₂ αποκτά αλγεβρική τιμή ταχύτητας υ₂΄=(2/3)υ₁. Δίνεται g = 10m/s².

 α) Αν η κάθετη αντίδραση που ασκείται στο σώμα Σ₁, όταν διέρχεται από το σημείο Β, έχει μέτρο Ν = 42,5Ν, ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας ;

β) Δικαιολογείστε ενεργειακά γιατί το τεταρτοκύκλιο δεν είναι λείο και υπολογίστε το ποσοστό της αρχικής μηχανικής ενέργειας του Σ₁, που έγινε θερμική ενέργεια. Θεωρείστε επίπεδο αναφοράς βαρυτικής δυναμικής ενέργειας, το οριζόντιο επίπεδο, που διέρχεται από το Β.

γ) Υπολογίστε τη μεταβολή της ορμής του σώματος Σ₁ κατά την κίνησή του στο τεταρτοκύκλιο.

δ) Ποια είναι η μάζα m₂ του σώματος Σ₂ και πόση είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του Σ₁ εξ αιτίας της κρούσης;

ε) Να μελετήσετε ποιοτικά το είδος της κίνησης που θα εκτελέσουν τα σώματα Σ₂ και Σ₃ μετά την κρούση.

στ) Αν m₃ = 16kg, βρείτε τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου και τις ταχύτητες των σωμάτων Σ₂ και Σ₃ εκείνη τη στιγμή.

ζ) Υπολογίστε τους ρυθμούς μεταβολής ταχύτητας, ορμής και κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₂, τη στιγμή που το ελατήριο έχει τη μέγιστη συμπίεση.

η) Ποιες είναι οι ταχύτητες των σωμάτων Σ₂ και Σ₃ τη στιγμή που το ελατήριο αποκτά για πρώτη φορά μετά την κρούση το φυσικό του μήκος;

Απάντηση (Pdf)