Κατηγορία: 3.031 Αναρτήσεις

Διαστημικό όχημα Ο, με μάζα M = 4000kg, που μεταφέρει άκατο διαφυγής  μάζας m = 1000kg, περιφέρεται ως δορυφόρος κυκλικής τροχιάς γύρω από τη Γη σε ύψος h = 3R_Γ από την επιφάνειά της (R_Γ  = 6400km η ακτίνα της Γης). Κάποια στιγμή το διαστημικό όχημα ελευθερώνει την άκατο Α με τέτοιο τρόπο ώστε η ταχύτητά της ως προς τη Γη, να είναι μηδέν. Η άκατος αρχίζει τότε να κατεβαίνει προς τη Γη εκτελώντας ευθύγραμμη κίνηση και φτάνει στην επιφάνειά της με την κατάλληλη χρήση ανασχετικών πυραύλων, έχοντας ταχύτητα μηδέν.

α. Υπολογίστε την ταχύτητα του οχήματος Ο, πριν την διάσπαση.

β. Να εξηγήσετε γιατί η απελευθέρωση της ακάτου πρέπει να γίνει με εκτόξευση της ακάτου αντίθετα από την κατεύθυνση της ταχύτητας του σταθμού

γ. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του διαστημικού οχήματος αμέσως μετά την αποβολή της ακάτου και να εξετάσετε αν είναι δυνατόν το όχημα να διαφύγει από την έλξη της Γης.

δ. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης των ανασχετικών πυραύλων.

ε. Με πόση ταχύτητα θα χτυπούσε στην επιφάνεια της Γης, αν δεν λειτουργούσαν οι ανασχετικοί πύραυλοι;

Η Γη θεωρείται ακίνητη, χωρίς ατμόσφαιρα, η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης είναι g_ο= 10m/s² και αγνοούμε την επίδραση άλλων σωμάτων, πλην της Γης.

Απάντηση 

Απάντηση 

Το 1959 ο Ρώσος μηχανικός Yuri N. Artsutanov, τροποποιώντας μια ιδέα του επίσης Ρώσου μηχανικού ρουκετών Konstantin Tsiolkovsky, σκέφτηκε να κατασκευάσουμε έναν διαστημικό ανελκυστήρα, όπως στο σχήμα 1. (Το σχήμα αυτό δείχνει την κάτοψη της Γης καθώς τη βλέπουμε ακριβώς πάνω από το Βόρειο Πόλο). Δηλαδή να συνδέσουμε με νήμα ένα σημείο Σ στον Ισημερινό της Γης με έναν γεωστατικό δορυφόρο Δ. Πάνω σε αυτό το νήμα θα κινείται η καμπίνα του ανελκυστήρα. Για να διερευνήσουμε κάποιες από τις προϋποθέσεις της ιδέας:
α) Ας υπολογίσουμε το ύψος από την επιφάνεια της Γης που πρέπει να τοποθετηθεί ένας γεωστατικός δορυφόρος.
β) Αν δεχτούμε το νήμα αβαρές(!), ποια θα είναι η τάση του νήματος; Τι συμπεραίνουμε;
γ) Η απάντηση στο ερώτημα (β) δείχνει ότι απαιτείται η τοποθέτηση ενός αντίβαρου Α. Αν τοποθετηθεί σε απόσταση d = 100000km από το κέντρο της Γης,
i) ποιο θα είναι το μέτρο της βαρυτικής έλξης της Γης στο δορυφόρο και στο αντίβαρο αν έχουν την ίδια μάζα m = 10000kg;
ii) ποια θα είναι τα μέτρα των τάσεων των δύο νημάτων που θα χρησιμοποιηθούν αν θεωρηθούν αβαρή(!);
δ) Η Ιαπωνική εταιρεία Obayashi υποσχέθηκε ότι μέχρι το 2050 θα έχει κατασκευάσει το διαστημικό ανελκυστήρα. Η καμπίνα θα κινείται κατά μήκος του νήματος με σταθερή ταχύτητα μέτρου 200km/h. Πόσο χρόνο θα χρειάζεται για να φτάσει στη γεωστατική τροχιά και στο αντίβαρο;
ε) Ένας επιβάτης του ανελκυστήρα καταγράφει με τη βοήθεια μιας ζυγαριάς το βάρος του. Να κάνετε τη γραφική παράσταση των μετρήσεων που θα πάρει μέχρι να φτάσει στο αντίβαρο.
στ) Το αβαρές νήμα φυσικά δεν υπάρχει. Ακριβείς υπολογισμοί δίνουν την τάση του νήματος στο γεωστατικό δορυφόρο …

Συνέχεια (Pdf)

Ένας τεχνητός δορυφόρος της Γης, σε κυκλική τροχιά κοντά στην επιφάνειά της, χρειάζεται περίπου 84 λεπτά ανά περιστροφή. Ένας τεχνητός δορυφόρος της Σελήνης, σε κυκλική τροχιά κοντά στην επιφάνειά της, θέλει περίπου 108 λεπτά ανά περιστροφή.

Τι μπορείτε να συμπεράνετε για την πυκνότητα της Σελήνης και της Γης;

α) ρ_Σ = ρ_Γ         β) ρ_Σ > ρ_Γ         γ) ρ_Σ < ρ_Γ

Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Απάντηση 

Απάντηση 

Ας υποθέσουμε ότι η Γη και η Σελήνη είναι ακίνητες και τα μοναδικά σώματα στο διάστημα, ώστε να σχεδιάσουμε μια αποστολή στη Σελήνη. Ένα μη επανδρωμένο διαστημόπλοιο μάζας m = 200kg, με εξελιγμένους κινητήρες ιόντων θα έχει σταθερή επιτάχυνση μέτρου |α| = 0,1m/s² μέχρι το σημείο που η ένταση του πεδίου βαρύτητας μηδενίζεται και σταθερή επιβράδυνση για την υπόλοιπη διαδρομή, μέχρι να σταματήσει φτάνοντας στη Σελήνη. Η απόσταση κέντρο Γης – κέντρο Σελήνης είναι περίπου d = 4∙10⁸m και η διαδρομή θα είναι η πιο σύντομη, δηλαδή ευθεία. Οι μάζες Γης και Σελήνης έχουν σχέση Μ_Γ = 81Μ_Σ.

α) Σε ποιο σημείο Σ της διαδρομής πρέπει να αρχίσει η επιβράδυνση του διαστημοπλοίου;

β) Ποιο είναι το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας που αποκτά το διαστημόπλοιο και πόσο χρόνο διαρκεί το ταξίδι;

γ) Υπολογίστε την ταχύτητα διαφυγής από το βαρυτικό πεδίο της Γης, αν δίνονται η ακτίνα της Γης R_Γ = 6400km και η ένταση του βαρυτικού της πεδίου στην επιφάνεια g₀ = 10N/kg. Καταφέρνει το διαστημόπλοιο να την «πιάσει»; Αν η απάντηση στο ερώτημα είναι όχι, πως καταφέρνει να φτάσει στη Σελήνη; Μήπως δε χρειάζεται να αποκτήσει ταχύτητα διαφυγής;

δ) Πόση ενέργεια θα χρειαστεί για αυτή την αποστολή;

ε) Αναζητείστε στο διαδίκτυο πόσο χρόνο διαρκεί ένα πραγματικό ταξίδι από τη Γη στη Σελήνη και πόση ενέργεια χρειαζόμαστε. Γιατί διαφέρουν τόσο πολύ από τα αποτελέσματα της άσκησης;

Απάντηση 

Απάντηση 

Διαστημικός σταθμός περιστρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τη Γη, με ελάχιστη και μέγιστη απόσταση από το κέντρο της  r₁= 7∙10⁶m  και r₂= 9∙10⁶m,  αντίστοιχα.  Αν η ταχύτητά του όταν βρίσκεται σε απόσταση r₁ (ελάχιστη) είναι υ₁ = 8∙10³m/s, να υπολογιστούν:

α) Η ταχύτητά του όταν βρίσκεται σε απόσταση r₂ (μέγιστη).

β) Η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί σε μια συσκευή, μάζας m = 140 kg, που βρίσκεται στο διαστημικό σταθμό, για να φτάσει στο άπειρο. Δικαιολογήστε γιατί η ενέργεια αυτή είναι ίδια από οποιοδήποτε σημείο της ελλειπτικής τροχιάς και αν πραγματοποιηθεί η βολή.

Δίνονται η ακτίνα της Γης R_Γ = 6400km και η ένταση του πεδίου βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g_ο = 10m/s²

Απάντηση 

Απάντηση 

Ο ήλιος απέχει περίπου R = 25.000 έτη φωτός από το κέντρο του γαλαξία μας και ταξιδεύει περίπου σε κύκλο με περίοδο T_Η = 170.000.000 ετών. Η γη απέχει r = 8 λεπτά φωτός από τον ήλιο.

Μόνο από αυτά τα δεδομένα, βρείτε την κατά προσέγγιση βαρυτική μάζα Μ του γαλαξία σε μονάδες της μάζας του ήλιου. Για να βρείτε τη βαρυτική δύναμη στον ήλιο, θεωρείστε κατά προσέγγιση ότι όλη η μάζα του γαλαξία βρίσκεται στο κέντρο του. Άλλωστε στην εικόνα βλέπετε πόσο πυκνό σε άστρα είναι το γαλαξιακό κέντρο.

Απάντηση 

 

Ένας δορυφόρος περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη στο επίπεδο του Ισημερινού και μένει σε έκλειψη διαγράφοντας γωνία Δθ = 24⁰, όπως φαίνεται στο σχήμα.

(οι αποστάσεις είναι πλασματικές).

α) Σε ποιο ύψος από την επιφάνεια της Γης κινείται ο δορυφόρος;

β) Ποιο είναι το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας και η περίοδος του δορυφόρου;

γ) Αν θεωρήσουμε ακίνητη τη Γη, πόσο διαρκεί η έκλειψη;

δ) Η Γη όμως …γυρίζει. Ένας παρατηρητής στον Ισημερινό, βλέπει το δορυφόρο να διέρχεται από το ζενίθ του τόπου του στις 12 τα μεσάνυχτα. Πότε θα τον ξαναδεί σε αυτό το σημείο; Ο δορυφόρος γυρίζει με φορά από δυτικά προς ανατολικά.

Δίνεται ημ12⁰ = 0,2, η ακτίνα της Γης R_Γ = 6400km και g₀ = 10m/s².

Απάντηση 

A) Ας θεωρήσουμε ότι το σύμπαν αποτελείται από δύο μόνο σώματα. Τη Γη (μάζας Μ_Γ και ακτίνας R_Γ) και ένα σώμα – υλικό σημείο Σ (μάζας m << M_Γ ). Τα δύο σώματα αλληλεπιδρούν βαρυτικά, αλλά μπορούμε να λέμε ότι το Σ βρίσκεται στο βαρυτικό πεδίο της Γης, λόγω της τεράστιας μάζας της Γης.

Η Γη θεωρείται σφαιρική, ομογενής και ακίνητη (τίποτα από αυτά δεν ισχύει στην πραγματικότητα…).

Διαφυγή σε 

Ένα διαστημικό λεωφορείο έχει δορυφοροποιηθεί, σε κυκλική τροχιά ύψους h = R/16 από την επιφάνεια της Γης, όπου R = 6400km η ακτίνα της Γης. Το επίπεδο της κυκλικής τροχιάς προσδιορίζεται από τους άξονες Χ΄X, Ψ΄Ψ όπως φαίνεται στο σχήμα.  Ο άξονας Χ΄Χ είναι εφαπτόμενος στην κυκλική τροχιά, ενώ ο άξονας Ψ΄Ψ διέρχεται από το κέντρο της Γης. Η μάζα του λεωφορείου είναι Μ = 128000kg και φέρει ως φορτίο, τεχνητό – υποψήφιο – δορυφόρο μάζας m = 2000kg. Κάποια στιγμή εκτοξεύεται ο τεχνητός δορυφόρος με ταχύτητα μέτρου υ_εκτ = 0,4m/s έχοντας τη διεύθυνση του άξονα Ζ΄Ζ. Ο μηχανισμός εκτόξευσης παραμένει ενεργοποιημένος, σε επαφή με το δορυφόρο, για χρονικό διάστημα Δt = 0,8s.

α) Ποια είναι η ταχύτητα του διαστημικού λεωφορείου πριν την απελευθέρωση του δορυφόρου;

β) Ποια είναι η ταχύτητα του διαστημικού λεωφορείου μετά την απελευθέρωση του δορυφόρου;

γ) Να υπολογιστεί το μέτρο της μέσης δύναμης που δέχτηκε ο δορυφόρος κατά την εκτόξευση.

δ) Πόση ενέργεια έδωσε ο μηχανισμός εκτόξευσης στο σύστημα;

Η Γη θεωρείται ακίνητη και σφαιρική. Η ένταση του πεδίου βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης είναι g₀ = 10N/kg.

Απάντηση