Συντάκτης: ΑΝΔΡΕΑΣ ΡΙΖΟΠΟΥΛΟΣ

Ένα σφαιρίδιο Σ μάζας m = 2kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού νήματος. Περνάμε το νήμα από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού,  προσδίδουμε στο σφαιρίδιο μια αρχική οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ₀ = 2m/s και ταυτόχρονα στο κάτω άκρο του Α, ασκούμε μια μεταβλητή κατακόρυφη δύναμη , ώστε το σημείο Α να αρχίσει να κατεβαίνει επιτάχυνση μέτρου α_r = 1m/s².

i) Αν η αρχική ακτίνα της τροχιάς του σφαιριδίου είναι R₀ = 6m, να γράψετε την εξίσωση που δίνει την ακτίνα της τροχιάς σε συνάρτηση με το χρόνο και να εξηγήσετε ποιοτικά τι είδος τροχιάς θα διαγράψει το σφαιρίδιο.

ii) Σχεδιάστε σε κάτοψη την τροχιά ποιοτικά και σε μια τυχαία θέση του σφαιριδίου σημειώστε πάνω στο σχήμα τα διανύσματα (ταχύτητα, τάση νήματος, στροφορμή ως προς το Ο). Μπορεί η τάση να είναι κάθετη στην ταχύτητα;

iii) Τη χρονική στιγμή t₁ = 2s η δύναμη που ασκούμε έχει μέτρο F = 6,5N.

α. Yπολογίστε για το σφαιρίδιο Σ την επιτάχυνση.

β. Aφού εξηγείστε την ύπαρξή της, υπολογίστε την κεντρομόλο επιτάχυνση.

iv) Κάποιος ισχυρίζεται ότι η ποσότητα L = m∙υ∙R εκφράζει κάθε χρονική στιγμή τη στροφορμή του σφαιριδίου ως προς το Ο. Συμφωνείτε με αυτό τον ισχυρισμό;

v) Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου τη χρονική στιγμή t₁= 2s.

vi) Βρείτε την τάση του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

vii) Ποιος είναι ο ρυθμός παραγωγής έργου από την δύναμη τη χρονική στιγμή t₁= 2s;

viii) Πόσο είναι το έργο της δύναμης από τη χρονική στιγμή της εκτόξευσης μέχρι τη χρονική στιγμή t₁;

Δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ νήματος (κατά το πέρασμά του από την τρύπα) και της επιφάνειας του τραπεζιού.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Δύο σφαιρικές χάντρες Χ1 και Χ2, με μάζες m₁ = 2m και m₂ = m αντίστοιχα, είναι περασμένες σε λεπτή ράβδο, πάνω στην οποία μπορούν να ολισθαίνουν χωρίς τριβές. Η ράβδος είναι τοποθετημένη σε κατάλληλη βάση, που μπορεί να περιστρέφεται περί κατακόρυφο άξονα ψ΄ψ, διερχόμενο από το μέσον της ράβδου, όπως στο σχήμα. Συνδέουμε τις χάντρες με λεπτό νήμα, που είναι εφαπτόμενο στη ράβδο, ώστε να μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ταυτίζεται σχεδόν με αυτή και τις απομακρύνουμε μέχρι το νήμα να είναι έτοιμο να τεντωθεί. Δίνουμε στη ράβδο σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω και παρατηρούμε ότι οι σφαίρες περιστρέφονται γύρω από τον άξονα ψ΄ψ, χωρίς αλλαγή στη θέση τους πάνω στη ράβδο.

i) Οι ακτίνες των κυκλικών τροχιών των χαντρών έχουν μεταξύ τους σχέση

α) R₁ = R₂                                 β) R₁ = 2R₂                               γ) R₂ = 2R₁

ii) Ποιο φυσικό μέγεθος καθορίζει τις ακτίνες που υπολογίσατε;

α) Η τάση του νήματος               β) Η μάζα της κάθε χάντρας       γ) Η γωνιακή ταχύτητα

iii) Αν τοποθετήσουμε τις χάντρες αντίστροφα και επαναλάβουμε το πείραμα, χωρίς να αλλάξουμε τον άξονα περιστροφής:

α) Το πείραμα θα επαναληφθεί με επιτυχία. Οι χάντρες θα περιστραφούν παραμένοντας στις ακτίνες που υπολογίσατε στο πρώτο πείραμα.

β) Η χάντρα Χ1 θα γλιστρήσει πάνω στη ράβδο και θα πέσει πάνω στη Χ2, δηλαδή η κατάσταση είναι ασταθής.

γ) Η χάντρα Χ2 θα γλιστρήσει πάνω στη ράβδο και θα πέσει πάνω στη Χ1, δηλαδή η κατάσταση είναι ασταθής.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ο ομογενής κύλινδρος K του σχήματος,  μάζας m = 6kg, ισορροπεί με τη βοήθεια της ομογενούς κεκλιμένης σφήνας ΑΒΓ ίδιας μάζας m και του κατακόρυφου τοίχου. Οι κάθετες πλευρές της σφήνας έχουν μήκη ΑΒ = 8m και ΑΓ = 6m και ο κύλινδρος εφάπτεται με τη σφήνα στο μέσον Μ της υποτείνουσας ΒΓ. Στο σχήμα φαίνεται το κέντρο μάζας C, όπου x_C = 8/3m, y_C = 2m. Τριβή υπάρχει μόνο μεταξύ της σφήνας και του οριζόντιου δαπέδου, ενώ η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10m/s².

α) Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο και τη σφήνα.

β) Βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο από τη σφήνα και τον τοίχο.

γ) Βρείτε τις δυνάμεις που δέχεται η σφήνα από το δάπεδο.

δ) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ σφήνας και δαπέδου για να μην ολισθαίνει η σφήνα.

ε) Σε ποιο σημείο της βάσης ΑΒ της σφήνας ασκείται η (συνισταμένη) κάθετη αντίδραση του δαπέδου;

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Στην οριζόντια επιφάνεια παγοδρομίου(μηδενική τριβή), κινείται μια ράβδος ΑΒ, μήκους L = 2m. Το μέσον Κ της ράβδου έχει σταθερή ταχύτητα μέτρου υ = 1m/s ενώ ταυτόχρονα η ράβδος στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 2rad/s, κάθετης στο οριζόντιο επίπεδο, με φορά προς το έδαφος. Η κάτοψη της ράβδου, τη χρονική στιγμή t₀ = 0, είναι όπως φαίνεται στο σχήμα.

i) Η γωνιακή ταχύτητα υπολογίζεται ως προς κατακόρυφο άξονα, κάθετο στη ράβδο, που

α) διέρχεται από το μέσον Κ της ράβδου

β) διέρχεται από το άκρο Α

γ) μπορεί να διέρχεται από οποιοδήποτε σημείο της ράβδου.

Συνέχεια(Word)

Συνέχεια(Pdf)

Ένας τροχός ακτίνας R = 0,4m, κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο, με το κέντρο μάζας του να έχει σταθερή ταχύτητα μέτρου υ_cm = 4m/s.

α) Να βρείτε τη μαθηματική σχέση του μέτρου υ της ταχύτητας ενός τυχαίου σημείου μιας κατακόρυφης διαμέτρου, σε συνάρτηση με την απόσταση ψ του σημείου από το δάπεδο και να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες.

β) Θεωρώντας το σύστημα XOΨ ορθογωνίων αξόνων του σχήματος, με αρχή που συμπίπτει με τη θέση του κατώτερου σημείου Β τη χρονική στιγμή t = 0, βρείτε τις εξισώσεις x = f(t) και y = f(t), που δίνουν τη θέση του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο.

γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της τεταγμένης  y= f(t) σε βαθμολογημένους άξονες, για χρονικό διάστημα ίσο με δυο περιόδους περιστροφής του τροχού. Τι παρατηρείτε;

Απάντηση(Word)

Απάντηση(Pdf)

Ένας ομογενής δίσκος ακτίνας R = 0,1m,  βρίσκεται ελεύθερος πάνω σε ένα παγοδρόμιο και κάποια χρονική στιγμή οι ταχύτητες των αντιδιαμετρικών σημείων του Α και Β φαίνονται στο σχήμα, όπου υ₁ = 6m/s, θ₁ = 60⁰ και θ₂ = 30⁰.

α) Τι κίνηση εκτελεί ο δίσκος;

β) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Β;

γ) Ποια είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας δίσκου;

δ) Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου;

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Μια μικρή λεία σφαίρα Σ₁ μάζας m, κρέμεται από ακλόνητο σημείο Ο, μήκους l = 3,6m. Δεύτερη σφαίρα Σ₂ ίδιας μάζας m, αφήνεται ελεύθερη να πέσει παράλληλα στο νήμα, έτσι ώστε οριακά να μην αγγίζει το νήμα και η τροχιά της να τη φέρει σε θέση να συγκρουστεί ελαστικά και πλάγια με την Σ₁, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το διάστημα που διανύσει η σφαίρα Σ₂ πριν την κρούση είναι h = 1,8m, ενώ ξέρουμε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10m/s². Οι συνθήκες είναι τέτοιες που μετά την κρούση η κόκκινη  μπάλα κινείται οριζόντια.

α) Μπορεί το σύστημα να θεωρηθεί μονωμένο κατά τη διάρκεια της κρούσης;

β) Αν η ταχύτητα της σφαίρας Σ₂ αμέσως μετά την κρούση, σχηματίζει γωνία θ με τον ορίζοντα, με συνθ = 0,97, να υπολογίστε τα μέτρα |υ₁΄| και |υ₂΄|των ταχυτήτων των σφαιρών αμέσως μετά την κρούση.

γ) Ποιο είναι το μέτρο της τάσης του νήματος αμέσως μετά την κρούση και ποιο το μέγιστο ύψος από την αρχική θέση που θα ανέλθει το κέντρο μάζας της σφαίρας Σ₁;

δ) Πόσο πρέπει να είναι το μέτρο u₁΄ της ταχύτητας της σφαίρας Σ₁ μετά την κρούση, ώστε μόλις που να εκτελέσει ανακύκλωση;

Απάντηση 

Απάντηση 

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, βρίσκονται 3 ελαστικές σφαίρες Σ₁, Σ₂, Σ₃, ίδιας ακτίνας, με μάζες m₁ = 4m, m₂ = m, m₃ = 4m, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Εκτοξεύουμε τη μεσαία σφαίρα Σ₁ με οριζόντια ταχύτητα  προς τα δεξιά, έτσι ώστε να μην στρέφεται.

Α) Ο αριθμός των κεντρικών ελαστικών κρούσεων που θα συμβούν είναι

α) 2                              β) 3                              γ) 4

Β) Το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της Σ₁, μετά το πέρας των κρούσεων, είναι:

α) -18,25%                     β)-87,04%                     γ) -35,04%

Γ) Για να συμβεί το πολύ ο αριθμός των κρούσεων που υπολογίσατε στο ερώτημα (Α), η μέγιστη τιμή της μάζας m₃ της σφαίρας Σ₃ πρέπει να είναι:

α) m₃ = m                     β) m₃ = 4m                     γ) m₃ = 5m

Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση 

Απάντηση 

Στο σχήμα φαίνεται η παραβολική τροχιά ενός σώματος μάζας m, που εκτοξεύεται με ταχύτητα  μέτρου υ₀ και εκτελεί οριζόντια βολή. Έχει σχεδιαστεί και το σύνηθες σύστημα αξόνων Ox, Oy όπου βλέπουμε τρία σημεία αυτής της τροχιάς: O(0, 0) (το σημείο που έγινε η βολή), A(5λ, y_A) και B(10λ, y_B). Αν λ > 0, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την απάντησή σας.

α) Το χρονικό διάστημα, που χρειάζεται για να μετακινηθεί το σώμα από το σημείο Ο στο σημείο Α είναι μικρότερο από το χρονικό διάστημα για να μετακινηθεί από το σημείο Α στο σημείο Β.

β) Αν y_A = 3λ τότε y_B = 12λ.

γ) Η αρχική ταχύτητα της μπάλας έχει μέτρο .

δ) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής στο σημείο Α είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της ορμής στο σημείο Β.

ε) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας στο σημείο Α είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας στο σημείο Β.

Απάντηση 

Απάντηση