Μήνας: Σεπτέμβριος 2024

Λεία σφαίρα Σ₁ μάζας m₁, ακτίνας R, κινούμενη με ταχύτητα , κατά τη θετική φορά μιας ημιευθείας Αε, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ₂ μάζας m₂, ίδιας ακτίνας (σχήμα 1α).

α) Αν το ποσοστό της κινητικής ενέργειας, που μεταβιβάζει η σφαίρα Σ₁ στη σφαίρα Σ₂ είναι e% = 75% και η σφαίρα Σ₁ συνεχίζει να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα, βρείτε το λόγο λ = m₁/m₂ των μαζών.

β) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα έτσι ώστε οι σφαίρες Σ₁ και Σ₂ να συγκρουστούν πλάγια ελαστικά, όπως φαίνεται στο σχήμα 1β. Η ταχύτητα της Σ₁ είναι ίδια με αυτήν του πρώτου πειράματος, με μέτρο υ₁ = 10m/s και η απόσταση O₂K = d = 1,6R, όπου Ο₁Ο₂ η διάκεντρος των σφαιρών.

Υπολογίστε τις ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση και το ποσοστό e΄% της κινητικής ενέργειας, που μεταβιβάζει η σφαίρα Σ₁ στη σφαίρα Σ₂

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Υλικό σημείο Ρ κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με σταθερή ταχύτητα υ. Την κίνηση παρακολουθεί παρατηρητής, που βρίσκεται στην αρχή Ο του συστήματος ΧΟΨ ορθογωνίων αξόνων, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Η τροχιά του Ρ τέμνει τον άξονα ΟΨ στο σημείο (0, α) και η απόσταση του Ρ από το Ο καθορίζεται από το διάνυσμα θέσης r.

α) Γιατί το υλικό σημείο Ρ έχει γωνιακή ταχύτητα ;

β) Να αποδείξετε ότι το μέτρο της, είναι ω = υ α / r²

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Μια σφαίρα εκτοξεύεται οριζόντια από σημείο Ο της ταράτσας ενός κτιρίου ύψους Η = 25m. Από τη βάση Β του κτιρίου ξεκινάει μια κεκλιμένη ράμπα, γωνίας κλίσης θ = 30⁰. Η σφαίρα προσκρούει κάθετα στη ράμπα στο σημείο Α, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Δίνονται: εφθ=√3/3,  g = 10m/s²

α) Βρείτε τη χρονική στιγμή πρόσκρουσης, ως συνάρτηση του μέτρου υ₀ της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης.

β) Υπολογίστε το μέτρο υ₀, της αρχικής ταχύτητας.

γ) Βρείτε την απόσταση ΑΒ του σημείου πρόσκρουσης της σφαίρας, από τη βάση του κτιρίου.

δ) Βρείτε την εξίσωση τροχιάς της σφαίρας, την εξίσωση δηλαδή y = f(x) και κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες.

ε) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας πρόσκρουσης;

Απάντηση 

Απάντηση 

Οι δύο σφαίρες του σχήματος με μέτρα ταχυτήτων υ₁ και υ₂ (υ₁ > υ₂) αντίστοιχα, συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά.

Αν θέσουμε μ = m₁m₂/m₁+m₂, δείξτε ότι

α) Η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας έχει αντίστοιχα αλγεβρική τιμή:

Δp₁ = μ ∙ δυ, Δp₂ = -μ ∙ δυ

όπου με το συμβολισμό δυ αναφερόμαστε στην αλγεβρική τιμή της διαφοράς των ταχυτήτων των σφαιρών πριν την κρούση, δηλαδή δυ = υ₂ – υ₁

β) Η απώλεια Κινητικής Ενέργειας του συστήματος είναι:

Κ_απ = ½ μ (δυ)²

Απάντηση 

Απάντηση 

Τέσσερα μικρά σώματα Σ_Α, Σ_Β, Σ_Γ, Σ_Δ εκτοξεύονται ταυτόχρονα από τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ενός κύκλου ακτίνας d, με κατεύθυνση προς το κέντρο του K, με ταχύτητες ίσου μέτρου υ₀. Το επίπεδο του κύκλου είναι κατακόρυφο και τα σώματα κινούνται με την επίδραση μόνο του βάρους τους. Η διάμετρος ΑΓ είναι κατακόρυφη και η διάμετρος ΒΔ είναι οριζόντια.

α) Ποιο είναι το είδος της κίνησης κάθε σώματος;

β) Θεωρείστε το σύστημα των αξόνων Χ΄Χ και Ψ΄Ψ΄ του σχήματος και γράψτε τις εξισώσεις κίνησης x = f(t) και y = f(t) κάθε σώματος, ως προς αυτό το σύστημα αξόνων.

γ) Να αποδειχθεί ότι όλα τα σώματα θα συναντηθούν στο ίδιο σημείο, την ίδια χρονική στιγμή.

δ) Αν δίνονται d = 4m, υ₀ = 4m/s και g = 10m/s², να κάνετε στο ίδιο σύστημα βαθμολογημένων αξόνων τη γραφική παράσταση y → t για τα 4 σώματα.

Απάντηση 

Απάντηση 

Οι δύο σφαίρες του σχήματος με μέτρα ταχυτήτων υ₁ και υ₂ (υ₁ > υ₂) αντίστοιχα, συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά.

Αν θέσουμε μ = m₁m₂/m₁+m₂, δείξτε ότι

α) Η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας έχει αντίστοιχα αλγεβρική τιμή:

Δp₁ = μ ∙ δυ, Δp₂ = -μ ∙ δυ

όπου με το συμβολισμό δυ αναφερόμαστε στην αλγεβρική τιμή της διαφοράς των ταχυτήτων των σφαιρών πριν την κρούση, δηλαδή δυ = υ₂ – υ₁

β) Η απώλεια Κινητικής Ενέργειας του συστήματος είναι:

Κ_απ = ½ μ (δυ)²

Απάντηση 

Απάντηση