Ημέρα: 17 Οκτωβρίου 2023

Μια ομογενής λεπτή ράβδος ΑΓ μάζας M και μήκους L, συνδέεται μέσω ενός μη εκτατού νήματος σε ένα ελατήριο σταθεράς k. Το νήμα περνά πάνω από μια πολύ μικρή και λεία τροχαλία στερεωμένη στο P . Η ράβδος είναι ελεύθερη να στρέφεται χωρίς τριβή περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Α, με ΡΑ = α, σε όλο το γωνιακό εύρος 0 ≤ θ ≤ π.  Αν ΡΓ = d = 0, το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.
Το σύστημα βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο και ισορροπεί. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g και L < a (ώστε αν η ΑΓ γίνει κατακόρυφη να μη «βρίσκει» στην τροχαλία).
Η ράβδος ισορροπεί (ευσταθώς), αν

α) kα = Μg                   β) kα = Μg/2                 γ) kα = 2Mg

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την δικαιολογήσετε. Προφανώς τα δεδομένα  L, d δε θα χρειαστούν στην τελική σχέση. Επίσης θεωρείται γνωστός ο νόμος των ημιτόνων.

Απάντηση

Απάντηση

Ένα σημειακό ηλεκτρικό φορτίο q₁ = +q δημιουργεί στο σημείο Ρ του χώρου ηλεκτρικό πεδίο, έντασης   και δυναμικού V₁. Η απόσταση του Ρ από το φορτίο είναι r (σχήμα 1).
i) Το μέτρο της έντασης και η τιμή του δυναμικού συνδέονται με τη σχέση
α) V₁ = E₁∙r      β) V₁ = E₁∙r²     γ) V₁ = E₁/r
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Κρατώντας ακίνητο το φορτίο q₁, ένα δεύτερο ηλεκτρικό φορτίο q₂ = +q, τοποθετείται και συγκρατείται ακίνητο, όπως φαίνεται στο σχήμα 2. Στο σημείο Ρ η ένταση γίνεται  και το δυναμικό V.
ii) Για το μέτρο της έντασης ισχύει
α) Ε > Ε₁          β) Ε = Ε₁          γ) Ε < Ε₁
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

iii) Για το δυναμικό ισχύει
α) V = 0            β) V = √2 V₁     γ) V =2V₁
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

iv) Κάποιος ισχυρίζεται ότι πάνω στην ευθεία που συνδέει τα δύο φορτία, υπάρχει σημείο Σ, που η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και το δυναμικό είναι μηδέν. Συμφωνείτε με αυτή την άποψη; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

v) Θα μπορούσαμε να μηδενίσουμε την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια του συστήματος, αν τοποθετούσαμε στο μέσον της απόστασης των δύο φορτίων
α) ένα αρνητικό σημειακό φορτίο q₃ =-2q
β) ένα αρνητικό σημειακό φορτίο q₃ =-q/4
γ) ένα θετικό σημειακό φορτίο q₃ =+2q
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Απάντηση 

Απάντηση 

Σε μια ταινία περιπέτειας, ο πρωταγωνιστής Hawkeye – δεινός τοξότης – φτάνει μπροστά από τον περιστρεφόμενο ακτινωτό τροχό ενός αεραγωγού και έχει στόχο να περάσει ένα λεπτό βέλος στην άλλη πλευρά. Ο τροχός έχει οκτώ ακτινωτά ευθύγραμμα πτερύγια και κάθε ένα έχει μήκος R = 30cm. Κάθε πτερύγιο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, αμελητέου πάχους και πλάτους l = 6cm, με το επίπεδό τους κάθετο στο επίπεδο του τροχού. Ο τροχός στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα κάθετο στο επίπεδό του, με σταθερή συχνότητα f = 2,5Hz. To βέλος μήκους d = 24cm θα πρέπει να κινηθεί παράλληλα με τον άξονα περιστροφής και να διαπεράσει κάθετα το επίπεδο του τροχού, χωρίς να χτυπήσει κάποιο από τα πτερύγια. Η κίνησή του θεωρείται ευθύγραμμη ομαλή.

(α) Υπολογίστε την περίοδο και τα μέτρα της γωνιακής ταχύτητας και κεντρομόλου επιτάχυνσης ενός οποιουδήποτε σημείου της περιφέρειας του τροχού και σχεδιάστε στο σχήμα τα αντίστοιχα διανύσματα.

(β) Ποιο είναι το ελάχιστο μέτρο υ της ταχύτητας εισόδου, που πρέπει να έχει το βέλος;

(γ) Αν η αρχική απόσταση του βέλους από τον τροχό είναι s = 1,2m και τη στιγμή που εκτοξεύεται έχει απέναντί του πτερύγιο, τι θα συναντήσει φτάνοντας στον τροχό;

(δ) Έχει σημασία, πού θα περάσει οριακά το βέλος, ανάμεσα στον άξονα και την περιφέρεια του τροχού; Αν ναι, πού είναι το καλύτερο σημείο;

Απάντηση 

 

Είστε ειδικός αναλυτής για την Εθνική Ασφάλεια Μεταφορών (ΕΑΜ) και κάνετε έρευνα για ένα ατύχημα στο μετρό. Ένα τρένο Τ₁ κινούμενο με ταχύτητα μέτρου υ₁ = 90km/h συγκρούστηκε με ένα πιο αργό τρένο Τ₂, που ταξίδευε στην ίδια κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου υ₂ = 36km/h. Η δουλειά σας είναι να προσδιορίσετε τη διαφορά των ταχυτήτων των τρένων τη στιγμή της σύγκρουσης και να προτείνετε τη θέσπιση νέων προτύπων ασφάλειας… Το τρένο Τ₁ έχει «μαύρο κουτί», που έδειξε ότι πατήθηκαν τα φρένα του και άρχισε να επιβραδύνεται ομαλά με ρυθμό |α| = 2m/s² όταν βρισκόταν σε απόσταση d = 50m από το τρένο Τ₂, το οποίο συνέχιζε με σταθερή ταχύτητα. Θεωρούμε τα τρένα υλικά σημεία.

i) Πόσο χρονικό διάστημα, μετά από τη στιγμή – έστω t₀ = 0s – που πατήθηκαν τα φρένα του Τ₁, χρειάστηκε για να γίνει η σύγκρουση;

ii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της θέσης κάθε τρένου σε συνάρτηση του χρόνου στο ίδιο σύστημα αξόνων, με πεδίο ορισμού 0s ≤ t ≤ 12s.

iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας κάθε τρένου σε συνάρτηση του χρόνου στο ίδιο σύστημα αξόνων, μέχρι τη χρονική στιγμή της σύγκρουσης.

iv) Τι θα γράφατε στην αναφορά για το ατύχημα;

Απάντηση