Κατηγορία: 3.01 Καμπυλόγραμμες κινήσεις

Η ράβδος περιστρέφεται, αναγκάζοντας τη μπάλα να κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ, σε έναν οριζόντιο κύκλο ακτίνας R. Τα νήματα έχουν το καθένα μήκος L συνδέονται τη ράβδο με δακτυλίους που περιστρέφονται ελεύθερα χωρίς τριβές γύρω από τη ράβδο. Κάθε νήμα είναι τεντωμένο και σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο.

α) Σχεδιάστε στη σφαίρα τις δυνάμεις και το διάνυσμα της κεντρομόλου επιτάχυνσης.

β) Πάρτε πάνω στη σφαίρα ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων Χ΄X οριζόντιο και Ψ΄Ψ κατακόρυφο και γράψτε τις δύο εξισώσεις στο S.I., που προκύπτουν από την εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα στη σφαίρα, για κάθε άξονα. Δίνονται: m = 3kg, L = 1,60m, θ = 60° , g = 10m/s² και υ = 8 m/s.

γ) Βρείτε το μέτρο κάθε τάσης νήματος. Ήταν αναμενόμενο το αποτέλεσμα;

Απάντηση 

Απάντηση 

Υλικό σημείο Ρ κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με σταθερή ταχύτητα υ. Την κίνηση παρακολουθεί παρατηρητής, που βρίσκεται στην αρχή Ο του συστήματος ΧΟΨ ορθογωνίων αξόνων, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Η τροχιά του Ρ τέμνει τον άξονα ΟΨ στο σημείο (0, α) και η απόσταση του Ρ από το Ο καθορίζεται από το διάνυσμα θέσης r.

α) Γιατί το υλικό σημείο Ρ έχει γωνιακή ταχύτητα ;

β) Να αποδείξετε ότι το μέτρο της, είναι ω = υ α / r²

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Μια σφαίρα εκτοξεύεται οριζόντια από σημείο Ο της ταράτσας ενός κτιρίου ύψους Η = 25m. Από τη βάση Β του κτιρίου ξεκινάει μια κεκλιμένη ράμπα, γωνίας κλίσης θ = 30⁰. Η σφαίρα προσκρούει κάθετα στη ράμπα στο σημείο Α, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Δίνονται: εφθ=√3/3,  g = 10m/s²

α) Βρείτε τη χρονική στιγμή πρόσκρουσης, ως συνάρτηση του μέτρου υ₀ της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης.

β) Υπολογίστε το μέτρο υ₀, της αρχικής ταχύτητας.

γ) Βρείτε την απόσταση ΑΒ του σημείου πρόσκρουσης της σφαίρας, από τη βάση του κτιρίου.

δ) Βρείτε την εξίσωση τροχιάς της σφαίρας, την εξίσωση δηλαδή y = f(x) και κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες.

ε) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας πρόσκρουσης;

Απάντηση 

Απάντηση 

Τέσσερα μικρά σώματα Σ_Α, Σ_Β, Σ_Γ, Σ_Δ εκτοξεύονται ταυτόχρονα από τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ενός κύκλου ακτίνας d, με κατεύθυνση προς το κέντρο του K, με ταχύτητες ίσου μέτρου υ₀. Το επίπεδο του κύκλου είναι κατακόρυφο και τα σώματα κινούνται με την επίδραση μόνο του βάρους τους. Η διάμετρος ΑΓ είναι κατακόρυφη και η διάμετρος ΒΔ είναι οριζόντια.

α) Ποιο είναι το είδος της κίνησης κάθε σώματος;

β) Θεωρείστε το σύστημα των αξόνων Χ΄Χ και Ψ΄Ψ΄ του σχήματος και γράψτε τις εξισώσεις κίνησης x = f(t) και y = f(t) κάθε σώματος, ως προς αυτό το σύστημα αξόνων.

γ) Να αποδειχθεί ότι όλα τα σώματα θα συναντηθούν στο ίδιο σημείο, την ίδια χρονική στιγμή.

δ) Αν δίνονται d = 4m, υ₀ = 4m/s και g = 10m/s², να κάνετε στο ίδιο σύστημα βαθμολογημένων αξόνων τη γραφική παράσταση y → t για τα 4 σώματα.

Απάντηση 

Απάντηση 

Σε μια ταινία περιπέτειας, ο πρωταγωνιστής Hawkeye – δεινός τοξότης – φτάνει μπροστά από τον περιστρεφόμενο ακτινωτό τροχό ενός αεραγωγού και έχει στόχο να περάσει ένα λεπτό βέλος στην άλλη πλευρά. Ο τροχός έχει οκτώ ακτινωτά ευθύγραμμα πτερύγια και κάθε ένα έχει μήκος R = 30cm. Κάθε πτερύγιο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, αμελητέου πάχους και πλάτους l = 6cm, με το επίπεδό τους κάθετο στο επίπεδο του τροχού. Ο τροχός στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα κάθετο στο επίπεδό του, με σταθερή συχνότητα f = 2,5Hz. To βέλος μήκους d = 24cm θα πρέπει να κινηθεί παράλληλα με τον άξονα περιστροφής και να διαπεράσει κάθετα το επίπεδο του τροχού, χωρίς να χτυπήσει κάποιο από τα πτερύγια. Η κίνησή του θεωρείται ευθύγραμμη ομαλή.

(α) Υπολογίστε την περίοδο και τα μέτρα της γωνιακής ταχύτητας και κεντρομόλου επιτάχυνσης ενός οποιουδήποτε σημείου της περιφέρειας του τροχού και σχεδιάστε στο σχήμα τα αντίστοιχα διανύσματα.

(β) Ποιο είναι το ελάχιστο μέτρο υ της ταχύτητας εισόδου, που πρέπει να έχει το βέλος;

(γ) Αν η αρχική απόσταση του βέλους από τον τροχό είναι s = 1,2m και τη στιγμή που εκτοξεύεται έχει απέναντί του πτερύγιο, τι θα συναντήσει φτάνοντας στον τροχό;

(δ) Έχει σημασία, πού θα περάσει οριακά το βέλος, ανάμεσα στον άξονα και την περιφέρεια του τροχού; Αν ναι, πού είναι το καλύτερο σημείο;

Απάντηση 

Παίρνουμε ένα νόμισμα των 2€ και το τοποθετούμε πάνω στο κυκλικό πλατό ενός πικάπ. Πάνω στο νόμισμα αυτό τοποθετούμε ομόκεντρα, δεύτερο νόμισμα των 10cent. Τα νομίσματα έχουν διαμέτρους δ₁ = 26mm και δ₂ = 20mm και πάχος d₁ = 2,2mm και d₂ = 2mm αντίστοιχα. Τα κέντρα των νομισμάτων και του πλατό απέχουν R = 12cm. Η πυκνότητα του κράματος κατασκευής των νομισμάτων είναι ρ = 8,5 ∙ 10³kg/m³.

Ο συντελεστής στατικής τριβής ανάμεσα στα δυο νομίσματα είναι μ_σ1 = 0,4 ενώ ανάμεσα στο δίευρο και στο πλατό είναι μ_σ2 = 0,8.

i) Υπολογίστε τη μάζα κάθε νομίσματος

ii) Βρείτε τη δύναμη που ασκείται από το πλατό στο δίευρο όταν όλα τα σώματα ηρεμούν.

iii) Αν θέσουμε το πλατό σε περιστροφή

α) σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στα δυο νομίσματα

β) βρείτε τη μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής, για να μη γλιστράνε είτε το ένα είτε το άλλο νόμισμα.

γ) To πικάπ έχει εργοστασιακή συχνότητα περιστροφής 33στροφές /min. Μπορούμε να πετύχουμε το παραπάνω πείραμα;

Δίνεται η βαρυτική επιτάχυνση g = 10m/s².

Απάντηση 

Η περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της, ως προς τα μακρινά άστρα, που θεωρούνται ακίνητα, είναι Τ_Α και αντιστοιχεί σε 1 Αστρική Ημέρα. Το χρονικό διάστημα που μετράει ένας Γήινος παρατηρητής – κατά την διάρκεια της Ισημερίας – ως διάρκεια ενός ημερόνυχτου αντιστοιχεί σε 1 Ηλιακή Ημέρα και είναι Τ_Η = 24h. Εννοείται ότι αναφερόμαστε σε ημερόνυχτο. Είναι επίσης η χρονική διάρκεια, που απαιτείται για να ξαναδεί αυτός ο παρατηρητής τον Ήλιο την επόμενη ημέρα, στην ίδια θέση, στον ουρανό. Ένας αστροναύτης, που στέκεται πάνω από το Βόρειο Πόλο της Γης βλέπει τη Γη να στρέφεται γύρω από τον άξονά της και γύρω από τον Ήλιο αριστερόστροφα (αντιωρολογιακά) και να περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο επίσης αντιωρολογιακά. Αν η περιφορά της Γης γύρω από το κέντρο του Ήλιου, ως προς τα μακρινά άστρα (1 Αστρικό Έτος), διαρκεί Τ = 365,25 Αστρικές Ημέρες, υπολογίστε τη χρονική διάρκεια Τ_Α μιας Αστρικής Ημέρας.

Απάντηση 

Μια σφαίρα μάζας m = 6kg αφήνεται σε σημείο Ο, από την ηρεμία, να πέσει στο έδαφος από ύψος h = 40m. Ο αέρας φυσάει οριζόντια και η δύναμη που ασκεί στη σφαίρα έχει μέτρο F_α = 12N.
i) Η τροχιά της σφαίρας είναι
α) Ευθύγραμμη
β) Παραβολική
γ) Κυκλική
ii) Σχεδιάστε την τροχιά, βρείτε τη θέση του σημείου Α που φτάνει στο έδαφος και το μέτρο της τελικής ταχύτητας.
iii) Αν το σώμα εκτελέσει οριζόντια βολή, χωρίς επίδραση από τον αέρα, από το ίδιο ύψος:
α) Με ποια ταχύτητα πρέπει να εκτοξευτεί για να φτάσει στο ίδιο σημείο Α του εδάφους;
β) Σχεδιάστε ποιοτικά την τροχιά και βρείτε το μέτρο της τελικής ταχύτητας. Συγκρίνετε το αποτέλεσμα με αυτό του ερωτήματος (ii) και δώστε μια εξήγηση ενεργειακά.
Δίνεται g = 10m/s²

Απάντηση 

Μια άσκηση του Πυροβολικού, εξελίσσεται σε περιοχή με μορφολογία που φαίνεται στο σχήμα 1. Το πυροβόλο βρίσκεται στην κορυφή του λόφου ύψους h₁ = 20m πάνω από την επιφάνεια λίμνης και εκτοξεύει οριζόντια βλήματα μάζας m = 10kg. Τα βλήματα πρέπει να περάσουν τη λίμνη, που βρίσκεται στο οροπέδιο και να πέσουν στην πεδιάδα, που βρίσκεται σε απόσταση  h₂ = 25m κάτω από την επιφάνεια της λίμνης.
Το εύρος της λίμνης είναι L = 120m και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s².
α) Ποιο είναι το μέτρο υ₀ της ελάχιστης ταχύτητας εκτόξευσης των βλημάτων, ώστε να μπορούν να φτάσουν στην πεδιάδα;
Για την τιμή που βρήκατε στο (α) ερώτημα:
β) Γράψτε την εξίσωση τροχιάς κάθε βλήματος και κάνετε τη γραφική παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες.
γ) Σε πόση απόσταση από το άκρο Β του οροπεδίου πέφτουν τα βλήματα;
δ) Με ποια γωνία ως προς την κατακόρυφη χτυπά ένα βλήμα το έδαφος της πεδιάδας;
ε) Ποια η χρονική εξίσωση του ρυθμού μεταβολής της δυναμικής ενέργειας κάθε βλήματος μέχρι να χτυπήσει στο έδαφος της πεδιάδας; Να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση.

Απάντηση