Μήνας: Σεπτέμβριος 2025

Μια μικρή λεία σφαίρα Σ₁ μάζας m, κρέμεται από ακλόνητο σημείο Ο, μήκους l = 3,6m. Δεύτερη σφαίρα Σ₂ ίδιας μάζας m, αφήνεται ελεύθερη να πέσει παράλληλα στο νήμα, έτσι ώστε οριακά να μην αγγίζει το νήμα και η τροχιά της να τη φέρει σε θέση να συγκρουστεί ελαστικά και πλάγια με την Σ₁, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το διάστημα που διανύσει η σφαίρα Σ₂ πριν την κρούση είναι h = 1,8m, ενώ ξέρουμε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10m/s². Οι συνθήκες είναι τέτοιες που μετά την κρούση η κόκκινη  μπάλα κινείται οριζόντια.

α) Μπορεί το σύστημα να θεωρηθεί μονωμένο κατά τη διάρκεια της κρούσης;

β) Αν η ταχύτητα της σφαίρας Σ₂ αμέσως μετά την κρούση, σχηματίζει γωνία θ με τον ορίζοντα, με συνθ = 0,97, να υπολογίστε τα μέτρα |υ₁΄| και |υ₂΄|των ταχυτήτων των σφαιρών αμέσως μετά την κρούση.

γ) Ποιο είναι το μέτρο της τάσης του νήματος αμέσως μετά την κρούση και ποιο το μέγιστο ύψος από την αρχική θέση που θα ανέλθει το κέντρο μάζας της σφαίρας Σ₁;

δ) Πόσο πρέπει να είναι το μέτρο u₁΄ της ταχύτητας της σφαίρας Σ₁ μετά την κρούση, ώστε μόλις που να εκτελέσει ανακύκλωση;

Απάντηση 

Απάντηση 

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, βρίσκονται 3 ελαστικές σφαίρες Σ₁, Σ₂, Σ₃, ίδιας ακτίνας, με μάζες m₁ = 4m, m₂ = m, m₃ = 4m, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Εκτοξεύουμε τη μεσαία σφαίρα Σ₁ με οριζόντια ταχύτητα  προς τα δεξιά, έτσι ώστε να μην στρέφεται.

Α) Ο αριθμός των κεντρικών ελαστικών κρούσεων που θα συμβούν είναι

α) 2                              β) 3                              γ) 4

Β) Το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της Σ₁, μετά το πέρας των κρούσεων, είναι:

α) -18,25%                     β)-87,04%                     γ) -35,04%

Γ) Για να συμβεί το πολύ ο αριθμός των κρούσεων που υπολογίσατε στο ερώτημα (Α), η μέγιστη τιμή της μάζας m₃ της σφαίρας Σ₃ πρέπει να είναι:

α) m₃ = m                     β) m₃ = 4m                     γ) m₃ = 5m

Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση 

Απάντηση 

Στο σχήμα φαίνεται η παραβολική τροχιά ενός σώματος μάζας m, που εκτοξεύεται με ταχύτητα  μέτρου υ₀ και εκτελεί οριζόντια βολή. Έχει σχεδιαστεί και το σύνηθες σύστημα αξόνων Ox, Oy όπου βλέπουμε τρία σημεία αυτής της τροχιάς: O(0, 0) (το σημείο που έγινε η βολή), A(5λ, y_A) και B(10λ, y_B). Αν λ > 0, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την απάντησή σας.

α) Το χρονικό διάστημα, που χρειάζεται για να μετακινηθεί το σώμα από το σημείο Ο στο σημείο Α είναι μικρότερο από το χρονικό διάστημα για να μετακινηθεί από το σημείο Α στο σημείο Β.

β) Αν y_A = 3λ τότε y_B = 12λ.

γ) Η αρχική ταχύτητα της μπάλας έχει μέτρο .

δ) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής στο σημείο Α είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της ορμής στο σημείο Β.

ε) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας στο σημείο Α είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας στο σημείο Β.

Απάντηση 

Απάντηση 

Το κεκλιμένο επίπεδο AΟ του σχήματος έχει μήκος L = 6m, γωνία κλίσης θ = 30° και ύψος h. Από την κορυφή Ο του κεκλιμένου επιπέδου, εκτοξεύεται οριζόντια προς τα δεξιά μικρή σφαίρα Σ₁ με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₁. Ταυτόχρονα, από σημείο Β της κατακορύφου, που διέρχεται από το Α και απέχει επίσης h από το έδαφος εκτοξεύεται  οριζόντια προς τα αριστερά δεύτερη μικρή σφαίρα Σ₂ με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₂. Οι δύο σφαίρες φτάνουν ταυτόχρονα στο σημείο P του κεκλιμένου επιπέδου, με την Σ₂ να χτυπά κάθετα σε αυτό.

α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης των σφαιρών ως προς το σύστημα αναφοράς xOy του σχήματος .

β) Υπολογίστε τη χρονική στιγμή της συνάντησης.

γ) Βρείτε τα μέτρα υ₀₁ και υ₀₂ των αρχικών ταχυτήτων των σφαιρών και τη θέση του σημείου Ρ ως προς το σύστημα xOy.

δ) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις x → t  σε κοινό σύστημα βαθμολογημένων αξόνων και για τις δύο σφαίρες.

Απάντηση 

Απάντηση 

Όπως φαίνεται στο σχήμα, ένας λείος οριζόντιος κυκλικός οδηγός με ακτίνα R, στερεώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Οι δύο διακεκομμένες διάμετροι είναι κάθετες μεταξύ τους και τέμνουν τον οδηγό σε τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ. Μια σφαίρα Σ₂ με μάζα m₂, τοποθετείται στο σημείο Β και μια σφαίρα Σ₁ με μάζα m₂, εκτοξεύεται από το σημείο Α με ταχύτητα, μέτρου υ₀, εφαπτόμενη στον κύκλο και φορά που φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα Σ₁ κινείται στο τεταρτοκύκλιο ΑΒ και κάποια στιγμή συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη σφαίρα Σ₂. Ο χρόνος κρούσης είναι αμελητέος. Μετά την κρούση, οι σφαίρες κινούνται στο εσωτερικό του κυκλικού οδηγού και φτάνουν ταυτόχρονα στο σημείο Δ, όπου συγκρούονται ελαστικά για δεύτερη φορά. Οι διαστάσεις των σφαιρών είναι αμελητέες. Με θετική φορά, τη φορά της ταχύτητας της σφαίρας Σ₁ λίγο πριν την κρούση

i) A) Ο λόγος m/M των μαζών είναι

α) 1/3                           β) 1                  `           γ) 3

B) Οι αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων των σφαιρών Σ₁ και Σ₂ μετά την πρώτη κρούση είναι αντίστοιχα:

α) -υ₀ , +υ₀                    β) -υ₀/2, +υ₀/2               γ) -υ₀/3, +υ₀/3

Δικαιολογήστε την απάντησή σας

ii) Οι αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων των σφαιρών Σ₁ και Σ₂ μετά τη δεύτερη κρούση είναι αντίστοιχα:

α) +υ₀ , -υ₀                    β) +υ₀, 0                       γ) -υ₀, 0

Δικαιολογήστε την απάντησή σας

iii) Αν υ₀ = 3m/s, R = 2m να εξηγήσετε γιατί το φαινόμενο στη συνέχεια θα είναι περιοδικό και να υπολογίσετε τις χρονικές στιγμές των 5 πρώτων κρούσεων.

iv) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις του μέτρου της ταχύτητας, σε συνάρτηση του χρόνου και για τις δυο σφαίρες, μέχρι τη χρονική στιγμή της τρίτης κρούσης.

Θεωρείστε t₁ = 0s, τη στιγμή της 1ης κρούσης.

Απάντηση 

Απάντηση 

Μια μικρή σφαίρα μάζας m₁ = 1kg κινούμενη κατακόρυφα, συγκρούεται με το οριζόντιο ακλόνητο δάπεδο του ισόγειου εργαστηρίου ενός σχολείου, που είναι πακτωμένο στην επιφάνεια της Γης. Η ταχύτητα της σφαίρας πριν την κρούση έχει μέτρο |υ₁| = 6m/s και η κρούση ορίζεται ως ελαστική.

i) Να δώσετε τον ορισμό της ελαστικής κρούσης.

ii) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις, που αφορούν το φαινόμενο αυτής της κρούσης, ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομη εξήγηση.

α) Ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής.

β) Η ορμή της σφαίρας διατηρείται.

γ) Η ορμή του συστήματος σφαίρα – Γη διατηρείται.

δ) Η θεώρηση «ακλόνητο δάπεδο» είναι μια εξιδανίκευση, αφού δεν υπάρχει κάτι τέτοιο.

iii) Αν η Γη θεωρηθεί ακίνητη και η μάζα της είναι m₂ = 6 ∙10²⁴kg, υπολογίστε την ταχύτητα της Γης και της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. Χρησιμοποιείστε κομπιουτεράκι για ακρίβεια. Τι παρατηρείτε για τη χρήση του όρου «ακλόνητο δάπεδο»;

iv) Ποιο ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας μεταφέρθηκε στη Γη;

Απάντηση 

Απάντηση