Μήνας: Φεβρουάριος 2025

Μεταλλική σφαίρα Σ₁ με φορτίο Q = -1mC και ακτίνα R = 0,2m είναι στερεωμένη σε χώρο που έχει αφαιρεθεί ο αέρας και επικρατούν συνθήκες έλλειψης βαρύτητας. Δίνεται k_c = 9∙10⁹Nm²/C²

α) Με ποιο ελάχιστο μέτρο αρχικής ταχύτητας πρέπει να εκτοξεύσουμε μικρή σφαίρα Σ₂ μάζας m = 0,2kg και φορτίου q = +1μC , που βρίσκεται σε απόσταση h = 0,7m από την επιφάνεια της σφαίρας Σ₁ για να διαφύγει από το ηλεκτρικό πεδίο της; Τι κίνηση θα εκτελέσει η σφαίρα Σ₂;

β) Σε ποια κατεύθυνση και με ποιο μέτρο ταχύτητας πρέπει να εκτοξευτεί η σφαίρα Σ₂ ώστε να μπει σε κυκλική τροχιά γύρω από το κέντρο της σφαίρας Σ₁ – να γίνει δηλαδή δορυφόρος της σφαίρας Σ₁;

Απάντηση 

Διαστημικό όχημα Ο, με μάζα M = 4000kg, που μεταφέρει άκατο διαφυγής  μάζας m = 1000kg, περιφέρεται ως δορυφόρος κυκλικής τροχιάς γύρω από τη Γη σε ύψος h = 3R_Γ από την επιφάνειά της (R_Γ  = 6400km η ακτίνα της Γης). Κάποια στιγμή το διαστημικό όχημα ελευθερώνει την άκατο Α με τέτοιο τρόπο ώστε η ταχύτητά της ως προς τη Γη, να είναι μηδέν. Η άκατος αρχίζει τότε να κατεβαίνει προς τη Γη εκτελώντας ευθύγραμμη κίνηση και φτάνει στην επιφάνειά της με την κατάλληλη χρήση ανασχετικών πυραύλων, έχοντας ταχύτητα μηδέν.

α. Υπολογίστε την ταχύτητα του οχήματος Ο, πριν την διάσπαση.

β. Να εξηγήσετε γιατί η απελευθέρωση της ακάτου πρέπει να γίνει με εκτόξευση της ακάτου αντίθετα από την κατεύθυνση της ταχύτητας του σταθμού

γ. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του διαστημικού οχήματος αμέσως μετά την αποβολή της ακάτου και να εξετάσετε αν είναι δυνατόν το όχημα να διαφύγει από την έλξη της Γης.

δ. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης των ανασχετικών πυραύλων.

ε. Με πόση ταχύτητα θα χτυπούσε στην επιφάνεια της Γης, αν δεν λειτουργούσαν οι ανασχετικοί πύραυλοι;

Η Γη θεωρείται ακίνητη, χωρίς ατμόσφαιρα, η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης είναι g_ο= 10m/s² και αγνοούμε την επίδραση άλλων σωμάτων, πλην της Γης.

Απάντηση 

Απάντηση 

Το 1959 ο Ρώσος μηχανικός Yuri N. Artsutanov, τροποποιώντας μια ιδέα του επίσης Ρώσου μηχανικού ρουκετών Konstantin Tsiolkovsky, σκέφτηκε να κατασκευάσουμε έναν διαστημικό ανελκυστήρα, όπως στο σχήμα 1. (Το σχήμα αυτό δείχνει την κάτοψη της Γης καθώς τη βλέπουμε ακριβώς πάνω από το Βόρειο Πόλο). Δηλαδή να συνδέσουμε με νήμα ένα σημείο Σ στον Ισημερινό της Γης με έναν γεωστατικό δορυφόρο Δ. Πάνω σε αυτό το νήμα θα κινείται η καμπίνα του ανελκυστήρα. Για να διερευνήσουμε κάποιες από τις προϋποθέσεις της ιδέας:
α) Ας υπολογίσουμε το ύψος από την επιφάνεια της Γης που πρέπει να τοποθετηθεί ένας γεωστατικός δορυφόρος.
β) Αν δεχτούμε το νήμα αβαρές(!), ποια θα είναι η τάση του νήματος; Τι συμπεραίνουμε;
γ) Η απάντηση στο ερώτημα (β) δείχνει ότι απαιτείται η τοποθέτηση ενός αντίβαρου Α. Αν τοποθετηθεί σε απόσταση d = 100000km από το κέντρο της Γης,
i) ποιο θα είναι το μέτρο της βαρυτικής έλξης της Γης στο δορυφόρο και στο αντίβαρο αν έχουν την ίδια μάζα m = 10000kg;
ii) ποια θα είναι τα μέτρα των τάσεων των δύο νημάτων που θα χρησιμοποιηθούν αν θεωρηθούν αβαρή(!);
δ) Η Ιαπωνική εταιρεία Obayashi υποσχέθηκε ότι μέχρι το 2050 θα έχει κατασκευάσει το διαστημικό ανελκυστήρα. Η καμπίνα θα κινείται κατά μήκος του νήματος με σταθερή ταχύτητα μέτρου 200km/h. Πόσο χρόνο θα χρειάζεται για να φτάσει στη γεωστατική τροχιά και στο αντίβαρο;
ε) Ένας επιβάτης του ανελκυστήρα καταγράφει με τη βοήθεια μιας ζυγαριάς το βάρος του. Να κάνετε τη γραφική παράσταση των μετρήσεων που θα πάρει μέχρι να φτάσει στο αντίβαρο.
στ) Το αβαρές νήμα φυσικά δεν υπάρχει. Ακριβείς υπολογισμοί δίνουν την τάση του νήματος στο γεωστατικό δορυφόρο …

Συνέχεια (Pdf)

Ένας τεχνητός δορυφόρος της Γης, σε κυκλική τροχιά κοντά στην επιφάνειά της, χρειάζεται περίπου 84 λεπτά ανά περιστροφή. Ένας τεχνητός δορυφόρος της Σελήνης, σε κυκλική τροχιά κοντά στην επιφάνειά της, θέλει περίπου 108 λεπτά ανά περιστροφή.

Τι μπορείτε να συμπεράνετε για την πυκνότητα της Σελήνης και της Γης;

α) ρ_Σ = ρ_Γ         β) ρ_Σ > ρ_Γ         γ) ρ_Σ < ρ_Γ

Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Απάντηση 

Απάντηση 

Ας υποθέσουμε ότι η Γη και η Σελήνη είναι ακίνητες και τα μοναδικά σώματα στο διάστημα, ώστε να σχεδιάσουμε μια αποστολή στη Σελήνη. Ένα μη επανδρωμένο διαστημόπλοιο μάζας m = 200kg, με εξελιγμένους κινητήρες ιόντων θα έχει σταθερή επιτάχυνση μέτρου |α| = 0,1m/s² μέχρι το σημείο που η ένταση του πεδίου βαρύτητας μηδενίζεται και σταθερή επιβράδυνση για την υπόλοιπη διαδρομή, μέχρι να σταματήσει φτάνοντας στη Σελήνη. Η απόσταση κέντρο Γης – κέντρο Σελήνης είναι περίπου d = 4∙10⁸m και η διαδρομή θα είναι η πιο σύντομη, δηλαδή ευθεία. Οι μάζες Γης και Σελήνης έχουν σχέση Μ_Γ = 81Μ_Σ.

α) Σε ποιο σημείο Σ της διαδρομής πρέπει να αρχίσει η επιβράδυνση του διαστημοπλοίου;

β) Ποιο είναι το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας που αποκτά το διαστημόπλοιο και πόσο χρόνο διαρκεί το ταξίδι;

γ) Υπολογίστε την ταχύτητα διαφυγής από το βαρυτικό πεδίο της Γης, αν δίνονται η ακτίνα της Γης R_Γ = 6400km και η ένταση του βαρυτικού της πεδίου στην επιφάνεια g₀ = 10N/kg. Καταφέρνει το διαστημόπλοιο να την «πιάσει»; Αν η απάντηση στο ερώτημα είναι όχι, πως καταφέρνει να φτάσει στη Σελήνη; Μήπως δε χρειάζεται να αποκτήσει ταχύτητα διαφυγής;

δ) Πόση ενέργεια θα χρειαστεί για αυτή την αποστολή;

ε) Αναζητείστε στο διαδίκτυο πόσο χρόνο διαρκεί ένα πραγματικό ταξίδι από τη Γη στη Σελήνη και πόση ενέργεια χρειαζόμαστε. Γιατί διαφέρουν τόσο πολύ από τα αποτελέσματα της άσκησης;

Απάντηση 

Απάντηση 

Σωματίδιο μάζας m = 10^-27kg και φορτίου q = 10^-19C εκτοξεύεται με ταχύτητα οριζόντιας διεύθυνσης και εισέρχεται στο σημείο Α, στο εσωτερικό οριζόντιου ρευματοφόρου σωληνοειδούς απείρου μήκους, όπως φαίνεται στο σχήμα, κάθετα στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου. Το μαγνητικό πεδίο κυκλικής διατομής, κέντρου Ο, έχει ακτίνα R = 0,2m και η γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της ταχύτητας με την ακτίνα ΟΑ είναι θ = π/6 rad. Το σωληνοειδές έχει n = 10⁴ σπείρες/m και διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι = 25/πΑ. Η τροχιά του σωματιδίου διέρχεται από το κέντρο Ο του κύκλου. Δίνεται μ₀/4π = 10^-7Ν/Α² και ότι στο εξωτερικό του σωληνοειδούς το μαγνητικό πεδίο είναι μηδενικό.

i) Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση της έντασης του ομογενούς μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του σωληνοειδούς.

ii) Ποιο πρέπει να είναι το μέτρο υ₀ της ταχύτητας του σωματιδίου;

iii) Ποια είναι η μεταβολή της ορμής του σωματιδίου στη διαδρομή ΑΟ;

iv) Πόσο χρόνο θα χρειαστεί το σωματίδιο για να διανύσει το τόξο ΑΟ;

v) Αν η ταχύτητα εισόδου του σωματιδίου στο μαγνητικό πεδίο διπλασιαστεί, ο χρόνος για να διανύσει το τόξο ΑΟ

α. θα διπλασιαστεί

β. θα υποδιπλασιαστεί

γ. θα παραμείνει σταθερός.

Δικαιολογείστε τη σωστή απάντηση.

Απάντηση 

Απάντηση 

Διαστημικός σταθμός περιστρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τη Γη, με ελάχιστη και μέγιστη απόσταση από το κέντρο της  r₁= 7∙10⁶m  και r₂= 9∙10⁶m,  αντίστοιχα.  Αν η ταχύτητά του όταν βρίσκεται σε απόσταση r₁ (ελάχιστη) είναι υ₁ = 8∙10³m/s, να υπολογιστούν:

α) Η ταχύτητά του όταν βρίσκεται σε απόσταση r₂ (μέγιστη).

β) Η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί σε μια συσκευή, μάζας m = 140 kg, που βρίσκεται στο διαστημικό σταθμό, για να φτάσει στο άπειρο. Δικαιολογήστε γιατί η ενέργεια αυτή είναι ίδια από οποιοδήποτε σημείο της ελλειπτικής τροχιάς και αν πραγματοποιηθεί η βολή.

Δίνονται η ακτίνα της Γης R_Γ = 6400km και η ένταση του πεδίου βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g_ο = 10m/s²

Απάντηση 

Απάντηση 

Κίνηση αγωγού σε γραμμικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο

Μια ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους D = 0,5m, αντίστασης R = 5Ω και μάζας m = 0,24kg μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω σε δύο παράλληλους κατακόρυφους μεταλλικούς οδηγούς, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση L = 0,4m και ισαπέχουν από τα άκρα του αγωγού. Οι οδηγοί συνδέονται με πηγή, που περιέχει κατάλληλη ηλεκτρονική διάταξη ώστε να παρέχει στον αγωγό σταθερή τάση V = 16V.  Ο αγωγός συγκρατείται ακίνητος και όλο το σύστημα βρίσκεται μέσα σε ένα κάθετο στο επίπεδό του μαγνητικό πεδίο έντασης , που περιορίζεται σε μια ορθογώνια περιοχή, με τα όριά της να ισαπέχουν κατά d = 0,05m από τους κατακόρυφους οδηγούς, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0s, ο αγωγός αφήνεται ελεύθερος, ενώ ταυτόχρονα το μαγνητικό πεδίο αρχίζει να μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση: B(t) = 1+ 0,5t (S.I.) Δίνεται g = 10m/s², δεν λαμβάνονται υπόψη φαινόμενα επαγωγής και ο αγωγός κινείται συνεχώς υπό την επίδραση του μαγνητικού πεδίου.

i) Υπολογίστε την ένταση του ρεύματος, που διαρρέει τον αγωγό.

ii) Βρείτε την αλγεβρική τιμή της δύναμης Laplace που ασκείται στον αγωγό σε συνάρτηση με τον χρόνο. Τι κίνηση θα κάνει ο αγωγός;

iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνισταμένης δύναμης στον αγωγό σε συνάρτηση με το χρόνο από τη χρονική στιγμή t₀ = 0s, μέχρι τη χρονική στιγμή t₂ = 4s. Ποιo είναι το μέτρο της ταχύτητας του αγωγού τη χρονική στιγμή t₂; Ποιο είναι το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του αγωγού;

iv) Βρείτε την ισχύ κάθε δύναμης τη χρονική στιγμή t₃ = 1s και τον αντίστοιχο ρυθμό μεταβολής κινητικής ενέργειας.

Απάντηση 

Απάντηση 

Ένα πρωτόνιο p(m, +e), ένα δευτερόνιο d(2m, +e) και ένα ιόν He⁺² He(4m, +2e), αφού εισέλθουν με αμελητέα κινητική ενέργεια στο ίδιο σημείο Α, σχεδόν ταυτόχρονα, τη χρονική στιγμή t₀ = 0s, στην κατεύθυνση των δυναμικών γραμμών ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου έντασης και εύρους ΑΓ = d, επιταχύνονται και εξέρχονται από το πεδίο.

i) Να κατατάξετε τα σωματίδια κατά αύξουσα σειρά ως προς το ειδικό φορτίο τους λ = q/m

ii) Να κατατάξετε τα σωματίδια κατά αύξουσα σειρά ως προς

α) τη χρονική στιγμή της εξόδου

β) το μέτρο της ταχύτητας εξόδου

από το ηλεκτρικό πεδίο.

Τα σωματίδια στη συνέχεια εισέρχονται στη διεύθυνση άξονα Οx, κάθετα στις δυναμικές γραμμές οριζόντιου ομογενούς μαγνητικού πεδίου έντασης , που οριοθετείται από τον άξονα Ψ΄Ψ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα και καλύπτει αρκετή περιοχή, ώστε τα σωματίδια να εξέλθουν πάλι από τον άξονα Ψ΄Ψ.

iii) α) Να σχεδιάσετε την τροχιά που θα διαγράψει κάθε σωματίδιο.

β) Να κατατάξετε τα σωματίδια με βάση το χρονικό διάστημα παραμονής στο μαγνητικό πεδίο, κατά αύξουσα σειρά.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Θεωρούμε αμελητέα την αλληλεπίδραση μεταξύ των σωματιδίων και δεν υπάρχουν βαρυτικές δυνάμεις.

Απάντηση 

Απάντηση