Μήνας: Φεβρουάριος 2023

Από το Kοσμοδρόμιο του Μπαϊκονούρ, η Ρωσική Διαστημική υπηρεσία προγραμμάτισε εκτόξευση πυραύλου μάζας m = 2∙10³kg, με σκοπό κάποια στιγμή να διαφύγει από το πεδίο βαρύτητας της Γης. Οι κινητήρες θα εκκινήσουν τον πύραυλο από την ηρεμία και θα λειτουργήσουν μέχρι ύψος h = R_Γ, όπου R_Γ = 6400km η ακτίνα της Γης, προσφέροντας σε αυτόν ενέργεια W_F = 89∙10⁶J, όπου F η προωστική δύναμη. Η τροχιά θα είναι κατακόρυφη. Οι υπολογισμοί από το κέντρο ελέγχου στη Γη, έδειξαν ότι σε αυτή τη θέση απαιτείται να γίνει διάσπαση του πυραύλου σε δύο τμήματα, Σ₁ και Σ₂. Το Σ₁, μάζας m₁ = 1,5∙10³kg, πρέπει να εκτοξευτεί σε διεύθυνση διερχόμενη από το κέντρο της Γης, ώστε το υπόλοιπο τμήμα Σ₂ του πυραύλου, μάζας  m₂, να συνεχίσει την κατακόρυφη πορεία του και να επιτύχει το στόχο της αποστολής. Δίνεται g₀ = 10N/kg και θεωρούμε μόνο το πεδίο βαρύτητας της Γης να επηρεάζει την κίνηση. Η Γη είναι σφαιρική και …ακίνητη.

α) Yπολογίστε την ταχύτητα του πυραύλου λίγο πριν τη διάσπαση.

β) Ποια είναι η ταχύτητα διαφυγής από το βαρυτικό πεδίο της Γης στο ύψος h;

γ) Ποια είναι η ταχύτητα με την οποία πρέπει να εκτοξευτεί το τμήμα Σ₁;

δ) Το τμήμα Σ₂ θα επιστρέψει στη Γη με μηδενική ταχύτητα κατά την προσγείωση. Για να γίνει αυτό θα χρησιμοποιηθούν ανασχετικοί πύραυλοι, για τα τελευταία 10√10 m της διαδρομής. Το μέτρο της δύναμης , που πρέπει να ασκηθεί για την επιτυχία του εγχειρήματος, είναι της μορφής F = a∙y, 0m ≤ y ≤ 10√10 m ,  όπου a θετική σταθερά. Προσδιορίστε την τιμή της σταθεράς a.

ε) (Ερώτημα για ανήσυχους μαθητές). Μια κάμερα πάνω στο τμήμα Σ₂ θα δείξει το Σ₁ να απομακρύνεται με φορά προς το κέντρο της Γης, δηλαδή κατά την αρνητική φορά. Γιατί;

Απάντηση 

Θεωρούμε ένα συρμάτινο τριγωνικό πλαίσιο ΚΜΝ με (ΜΝ) = l = 1m, που μπορεί να στρέφεται περί άξονα, διερχόμενο από το άκρο του Κ και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Για τη σταθερότητα της κατασκευής, μια ράβδος από μονωτικό υλικό, μήκους επίσης l, συμπίπτει με το ύψος ΚΛ του τριγώνου και ορίζει στη ΜΝ τμήματα με (ΜΛ)/(ΛΝ) = α/β = 3/7 (σχήμα 1)

Στο χώρο υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης μέτρου Β = 1Τ, με δυναμικές γραμμές κάθετες στο επίπεδο του πλαισίου.

Θέτουμε το πλαίσιο σε αντιωρολογιακή περιστροφή γύρω από τον άξονά του, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 2rad/s.

α) Το πλαίσιο διαρρέεται από ρεύμα; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

β) Αναπτύσσεται ΗΕΔ επαγωγής σε κάθε πλευρά του πλαισίου; Αν ναι μπορείτε να βρείτε τις αντίστοιχες τιμές;

γ) Αν αφαιρούσαμε από το πλαίσιο τις πλευρές ΚΜ και ΚΝ, θα παρέμενε το στερεό Σ του σχήματος 2.

Ποια θα ήταν η ΗΕΔ από επαγωγή μεταξύ των άκρων Μ και Ν;

Απάντηση 

 

Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ένα πλαίσιο σχήματος τραπεζίου ΚΛΜΝ, ανοιχτό στην πλευρά ΜΝ, όπως φαίνεται στην κάτοψη του σχήματος 1, όπου τα Μ, Ν είναι συνευθειακά, με (ΜΝ) = 3m. Δεν είναι όλες οι πλευρές από το ίδιο υλικό, με αποτέλεσμα υπολογίσιμη αντίσταση έχει μόνο η πλευρά ΚΛ, R = 0,5Ω. Οι γωνίες του είναι Κ=90⁰, Λ=135⁰, ενώ (ΚΛ) = ψ₀ = 1m.  Σε όλο το χώρο υπάρχει κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο, έντασης μέτρου Β =1Τ με φορά προς το έδαφος. Ευθύγραμμος αγωγός ΑΓ, μήκους L =3m, είναι συνεχώς σε επαφή με το πλαίσιο, με το άκρο του Γ να ολισθαίνει πάνω στην πλευρά ΚΝ, έτσι ώστε ό αγωγός να είναι συνεχώς κάθετος σε αυτή. Ασκώντας κατάλληλη μεταβλητή δύναμη , ο αγωγός μεταφέρεται προς τα δεξιά, με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ = 0,5m/s, κάθετη στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0, το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ συμπίπτει με την πλευρά ΚΛ του πλαισίου. Τριβές αμελητέες.

α) Βρείτε τη χρονική σχέση του μήκους ( ΓΔ) = ψ του αγωγού (σχήμα 1),  που έχει συνεχώς τα άκρα του πάνω στο πλαίσιο, από τη χρονική στιγμή ­t₀ = 0, μέχρι τη χρονική στιγμή  t₁ που ο αγωγός εγκαταλείπει το πλαίσιο.

β) Θεωρούμε το εμβαδικό διάνυσμα  n, που προσανατολίζει την επιφάνεια του κυκλώματος, που σαρώνει ο αγωγός κατά την κίνησή του, να έχει φορά προς το έδαφος.

Η αλγεβρική τιμή της ΗΕΔ επαγωγής που δημιουργείται στο κύκλωμα από την κίνηση του αγωγού είναι θετική ή αρνητική; Δικαιολογείστε.

γ) Να βρείτε τη χρονική εξίσωση της έντασης του επαγωγικού ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της έντασης του επαγωγικού ρεύματος σε βαθμολογημένους άξονες και να υπολογίσετε το ηλεκτρικό φορτίο, που θα περάσει από μια διατομή του κυκλώματος μέχρι τη χρονική στιγμή t₁.

ε) Σχεδιάστε τη φορά του επαγωγικού ρεύματος στο κύκλωμα. Είναι σύμφωνη και με τον κανόνα Lenz;

στ) Ποια οριζόντια δύναμη κάθετη στον αγωγό πρέπει να ασκούμε για να επιτυγχάνεται η σταθερή ταχύτητα;

ζ) Ποιες ενεργειακές μετατροπές συμβαίνουν τη χρονική στιγμή t₂ = 2s;

Απάντηση