Αρμονικό κύμα με μήκος κύματος λ διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταυτίζεται με τον άξονα x΄x κατά τη θετική φορά. Στο σχήμα έχουν σχεδιαστεί δύο στιγμιότυπα, στον θετικό ημιάξονα Οx, τις χρονικές στιγμές t₀ = 0 και t₁ = 0,5s.

α) Αν θέλουμε να γράψουμε την εξίσωση του κύματος, τι χρειάζεται να γνωρίζουμε; Έχει σημασία που βρίσκεται η πηγή του κύματος;

β) Γράψτε την εξίσωση του κύματος.

γ) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της φάσης για τα σημεία Κ και Λ του σχήματος.

δ) Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Κ και Λ σε μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή t ≥ t₁;

 

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ένας αστέρας νετρονίων είναι το υπέρπυκνο υπόλειμμα μετά από έκρηξη υπερκαινοφανούς (supernova), όταν ένα άστρο, με αρχική μάζα περίπου 8–20 φορές μεγαλύτερη από του Ήλιου, εξαντλήσει τα καύσιμά του. Αποτελείται κυρίως από νετρόνια, τα οποία συγκρατούνται από την ισχυρή πυρηνική δύναμη. Έχουν ανακαλυφθεί συστήματα από δυο αστέρες νετρονίων, που κινούνται γύρω από ένα κοινό κέντρο – το οποίο θα μάθετε στη Γ΄τάξη ότι λέγεται κέντρο μάζας – και έλκονται με τεράστιες βαρυτικές δυνάμεις.

Α) Στο σχήμα φαίνεται ένα δυαδικό σύστημα σφαιρικών αστέρων νετρονίων Α₁ και A₂, μαζών Μ₁ και Μ₂ αντίστοιχα, οι οποίοι εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση γύρω από το σημείο Ο, σαν να ήταν συνδεδεμένοι με μια αβαρή ράβδο Α₁A₂. Αν η τροχιακή ακτίνα R₁ του αστέρα Α₁ είναι μεγαλύτερη από την τροχιακή ακτίνα R₂ του αστέρα A₂, , η διάκεντρος είναι μήκους L, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την απάντησή σας.

α) Οι αστέρες έχουν κάθε στιγμή ίσες γωνιακές ταχύτητες και περιόδους.

β) Η γραμμική ταχύτητα του Α₁ πρέπει να είναι μικρότερη από τη γραμμική ταχύτητα του Α₂.

γ) Η μάζα του Α₁ πρέπει να είναι μικρότερη από τη μάζα του Α₂.

δ) Έχει αποδειχτεί ότι με την πάροδο του χρόνου το σύστημα χάνει ενέργεια εκπέμποντας βαρυτικά κύματα και οι αστέρες πλησιάζουν αργά μεταξύ τους. Υποθέτοντας ότι η τροχιά είναι κυκλική, η περίοδος μειώνεται.

Β) Ας κάνουμε και κάποιους υπολογισμούς. Αν Μ₂ = 4Μ₁ , η διάκεντρος των αστέρων είναι L = 0,2∙10¹⁸m και GM₂ = 10²⁶Nm²/kg, υπολογίστε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας κάθε αστέρα.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ένα ελαφρύ ελικοφόρο αεροπλάνο Cessna έχει μάζα M = 1200kg. Η έλικα έχει διάμετρο d = 2m, η πυκνότητα του αέρα θεωρείται ρ=1,25kg/m³ και το μέτρο της συνολικής δύναμης που μπορεί να ασκηθεί στο αεροπλάνο για την απογείωση είναι F = 3200N, θεωρουμένης σταθερής. Η ταχύτητα που απαιτείται για απογείωση έχει μέτρο περίπου υ = 32m/s (115,2km/h). Αγνοούμε αντίσταση αέρα, τριβές και αλλαγή μάζας αεροπλάνου λόγω μείωσης καυσίμου. Δίνεται 1,25π ≈ 4.

α) Από πού προέρχεται η προωστική δύναμη, που ασκείται στο αεροπλάνο; Δώστε δύο εξηγήσεις. Η μία να στηρίζεται στον 3ο Νόμο Newton και η άλλη στην Αρχή Διατήρησης της Ορμής.

β) Βρείτε τον μέσο ρυθμό μεταβολής της ορμής του αεροπλάνου και το χρονικό διάστημα που απαιτείται για την απογείωση.

γ) Ποιο είναι ελάχιστο μήκος του διαδρόμου απογείωσης που πρέπει να έχει το αεροδρόμιο;

δ) Υπολογίστε το μέτρο υ_α της ταχύτητας του ρεύματος αέρα, ως προς την έλικα και το ρυθμό εξώθησης της αντίστοιχης μάζας αέρα από την έλικα.

ε) Υπολογίστε το ρυθμό μεταβολής κινητικής ενέργειας του αέρα (ωφέλιμη ισχύς έλικα).

στ) Βρείτε τους λόγους

στ1) ωφέλιμης ισχύος προς την προωστική δύναμη.

στ2) ρυθμού εξώθησης μάζας αέρα προς την προωστική δύναμη.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Τα σώματα Α και Β του σχήματος με μάζες αντίστοιχα m_Α = m και m_Β = 2m αντίστοιχα, συνδέονται με ελατήριο σταθεράς k και τοποθετούνται σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με το Α εφαπτόμενο στον κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε οριζόντια δύναμη μέτρου F, που σπρώχνει το σώμα B προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το σύστημα να ισορροπεί και στο ελατήριο να έχει αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια U.

i) Το μέτρο της δύναμης F πρέπει να είναι

α) F = √(2kU)               β) F = (1/2) √(2kU)                   γ) F = (3/2) √(2kU)

Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη .

ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται κάποια χρονική στιγμή t₁ όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό μήκος του.

iii) Α) Η χρονική στιγμή t₁ είναι

α) t₁ = π√(2m/k)                        β) t₁ = 0,5π√(2m/k)                    γ) t₁ = π√(m/k)

     Β) Η ταχύτητα του σώματος Β τη χρονική στιγμή t₁ έχει μέτρο

α) υ_max = √(U/2m)          β) υ_max = √(2U/m)                      γ) υ_max = √(U/m)

iv) Να αποδείξετε ότι το ελατήριο αποκτά τη μέγιστη δυναμική ενέργειά του κάποια χρονική στιγμή t₂, όταν τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων εξισωθούν.

v) Η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα τη χρονική στιγμή t₂ έχει μέτρο

α) u = √U/m                  β) u = (2/3) √U/m                      γ) u = (3/2) √U/m

vi) Η μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια U₁ του ελατηρίου, μετά την απομάκρυνση του σώματος Α από τον τοίχο είναι:

α) U₁ = U                      β) U₁ = U/2                               γ) U₁ = U/3

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σώμα μάζας m ηρεμεί κρεμασμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς D. Απομακρύνουμε το σώμα κατά x = d από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. Θετική φορά προς τα πάνω. Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, μικρής απόσβεσης, με δύναμη επαναφοράς F = –Dx και δύναμη απόσβεσης F_απ = –bυ . Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομη δικαιολόγηση.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σε οριζόντιο δάπεδο είναι στερεωμένη μια λεία τροχιά σχήματος τεταρτοκυκλίου, κέντρου Ο. Το οριζόντιο τμήμα στο κάτω άκρο της τροχιάς συνδέεται ομαλά με την πάνω επιφάνεια ενός μικρού καροτσιού Κ (βλ. σχήμα). Πάνω στην τροχιά βρίσκεται ένα μικρό σώμα A, μάζας m₁ = 4kg, το οποίο αφήνεται από την ηρεμία να ολισθήσει από ύψος h = R = 1,8 m πάνω από το οριζόντιο τμήμα της τροχιάς. Στο αριστερό άκρο του καροτσιού υπάρχει ένα σώμα B, μάζας m₂ = 2kg. Τα σώματα A και B μπορούν να θεωρηθούν υλικά σημεία. Μετά την κρούση τους, τα A και B κολλάνε μεταξύ τους. Είναι γνωστό ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στα A, B και το καρότσι Κ είναι μ = 0,5, ενώ η τριβή στα αξονάκια των τροχών του καροτσιού θεωρείται αμελητέα.
Πάρτε g = 10 m/s².
α) α₁) Να βρεθεί η κάθετη αντίδραση του τεταρτοκυκλίου, στο σώμα Α, στο ξεκίνημα της κίνησής του.
α₂) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτηταςτου σώματος Α όταν φτάνει στην κατώτερη θέση του τεταρτοκυκλίου;
α₃) Να βρεθεί η κάθετη αντίδραση του τεταρτοκυκλίου, στο σώμα Α, όταν φτάνει στην κατώτερη θέση του τεταρτοκυκλίου, οριακά πριν το διάνυσμα της ταχύτητάς του γίνει οριζόντιο.
β) Το μέτρο της κοινής ταχύτητας αμέσως μετά την κρούση των A και B, αν η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα.
γ) Τι κίνηση θα εκτελέσουν στη συνέχεια το συσσωμάτωμα Α+Β και το καρότσι Κ;
δ) Αν το καρότσι έχει μήκος L = 0,64m και τo συσσωμάτωμα Α+Β μόλις που δεν εγκαταλείπει το καρότσι, να βρεθεί η μάζα M του καροτσιού.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σώμα μάζας m συνδέεται σε ελατήριο σταθεράς k και το σύστημα τοποθετείται σε κεκλιμένο επίπεδο που μπορεί να αλλάζει γωνία κλίσης θ από 0 ως π/2 rad.

α) Δώστε μαθηματική έκφραση Δl₀ = f(θ) για την επιμήκυνση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με τη γωνία κλίσης και σχεδιάστε την αντίστοιχη γραφική παράσταση.
β) Απομακρύνουμε το σώμα κατά x₀ = Α από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
Ποιο ή ποια από τα παρακάτω φυσικά μεγέθη επηρεάζονται, αν επαναλαμβάνουμε το πείραμα αλλάζοντας την κλίση του επιπέδου;
β₁) περίοδος και γωνιακή συχνότητα
β₂) πλάτος, μέγιστη ταχύτητα, μέγιστη επιτάχυνση
β₃) αρχική φάση
β₄) ενέργεια ταλάντωσης
β₅) δυναμική ενέργεια ταλάντωσης
β₆) κινητική ενέργεια ταλάντωσης
β₇₎ δυναμική ενέργεια ελατηρίου
β₈) δυναμική ενέργεια βαρύτητας

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ο μπαρμπα-Γιάννης ο σιδεράς κόλλησε σε ένα κυκλικό στεφάνι, ακτίνας R, δύο λεία ευθύγραμμα σύρματα AB και ΑΓ, αφού πρώτα πέρασε μέσα σε αυτά δυο μικρούς όμοιους κρίκους Κ₁ και Κ₂, μάζας m ο καθένας. Αν τοποθετήσουμε τη διάταξη με τη διάμετρο ΑΔ κατακόρυφη, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα και αφήσουμε ταυτόχρονα ελεύθερους τους κρίκους από το σημείο Α, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την απάντησή σας. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.

α) Οι δύο κρίκοι αποκτούν το ίδιο μέτρο επιτάχυνσης.

β) Οι κρίκοι φτάνουν ταυτόχρονα στα κατώτερα σημεία Β και Γ της τροχιάς τους.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής έχει το ίδιο μέτρο και για τους δύο κρίκους.

δ) Για τα μέτρα των μεταβολών των ορμών ισχύει |Δp₁| < |Δp₂|

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ένα σφαιρίδιο Σ μάζας m = 2kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού νήματος. Περνάμε το νήμα από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού,  προσδίδουμε στο σφαιρίδιο μια αρχική οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ₀ = 2m/s και ταυτόχρονα στο κάτω άκρο του Α, ασκούμε μια μεταβλητή κατακόρυφη δύναμη , ώστε το σημείο Α να αρχίσει να κατεβαίνει επιτάχυνση μέτρου α_r = 1m/s².

i) Αν η αρχική ακτίνα της τροχιάς του σφαιριδίου είναι R₀ = 6m, να γράψετε την εξίσωση που δίνει την ακτίνα της τροχιάς σε συνάρτηση με το χρόνο και να εξηγήσετε ποιοτικά τι είδος τροχιάς θα διαγράψει το σφαιρίδιο.

ii) Σχεδιάστε σε κάτοψη την τροχιά ποιοτικά και σε μια τυχαία θέση του σφαιριδίου σημειώστε πάνω στο σχήμα τα διανύσματα (ταχύτητα, τάση νήματος, στροφορμή ως προς το Ο). Μπορεί η τάση να είναι κάθετη στην ταχύτητα;

iii) Τη χρονική στιγμή t₁ = 2s η δύναμη που ασκούμε έχει μέτρο F = 6,5N.

α. Yπολογίστε για το σφαιρίδιο Σ την επιτάχυνση.

β. Aφού εξηγείστε την ύπαρξή της, υπολογίστε την κεντρομόλο επιτάχυνση.

iv) Κάποιος ισχυρίζεται ότι η ποσότητα L = m∙υ∙R εκφράζει κάθε χρονική στιγμή τη στροφορμή του σφαιριδίου ως προς το Ο. Συμφωνείτε με αυτό τον ισχυρισμό;

v) Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου τη χρονική στιγμή t₁= 2s.

vi) Βρείτε την τάση του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

vii) Ποιος είναι ο ρυθμός παραγωγής έργου από την δύναμη τη χρονική στιγμή t₁= 2s;

viii) Πόσο είναι το έργο της δύναμης από τη χρονική στιγμή της εκτόξευσης μέχρι τη χρονική στιγμή t₁;

Δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ νήματος (κατά το πέρασμά του από την τρύπα) και της επιφάνειας του τραπεζιού.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ο ομογενής κύλινδρος K του σχήματος,  μάζας m = 6kg, ισορροπεί με τη βοήθεια της ομογενούς κεκλιμένης σφήνας ΑΒΓ ίδιας μάζας m και του κατακόρυφου τοίχου. Οι κάθετες πλευρές της σφήνας έχουν μήκη ΑΒ = 8m και ΑΓ = 6m και ο κύλινδρος εφάπτεται με τη σφήνα στο μέσον Μ της υποτείνουσας ΒΓ. Στο σχήμα φαίνεται το κέντρο μάζας C, όπου x_C = 8/3m, y_C = 2m. Τριβή υπάρχει μόνο μεταξύ της σφήνας και του οριζόντιου δαπέδου, ενώ η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10m/s².

α) Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο και τη σφήνα.

β) Βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο από τη σφήνα και τον τοίχο.

γ) Βρείτε τις δυνάμεις που δέχεται η σφήνα από το δάπεδο.

δ) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ σφήνας και δαπέδου για να μην ολισθαίνει η σφήνα.

ε) Σε ποιο σημείο της βάσης ΑΒ της σφήνας ασκείται η (συνισταμένη) κάθετη αντίδραση του δαπέδου;

Συνέχεια 

Συνέχεια