Κατηγορία: 4.022 Δυναμική

Διαθέτουμε ένα στερεό το οποίο αποτελείται από μια ομογενή ράβδο ΟΚ, μήκους l=2m και μάζας m=15kg, και, έναν ομογενή δίσκο μάζας Μ=40kg και ακτίνας R=1m απόλυτα συνδεδεμένο με τη ράβδο, με το άκρο Κ της ράβδου να είναι και το κέντρο του δίσκου. Το στερεό S μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο Ο της ράβδου, ενώ συγκρατείται με την ράβδο σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.

i) Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το στερεό να περιστραφεί.

α) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του στερεού S, ως προς τον άξονα περιστροφής.

β) Να υπολογιστεί η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού S, καθώς και  η επιτάχυνση του κέντρου Κ του δίσκου.

ii) Κόβουμε και απομακρύνουμε τον μισό δίσκο, οπότε παίρνουμε το στερεό S₁, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.

α) Στηριζόμενοι στον ορισμό της ροπής αδράνειας, να υπολογίσετε  τη ροπή αδράνειας Ι₁ του στερεού S₁, ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο, εκμεταλλευόμενοι την ροπή αδράνειας του στερεού S.

β) Αν αφήσουμε το στερεό S₁ να κινηθεί ξανά, από την θέση που η ράβδος είναι οριζόντια, να υπολογιστούν η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού και η αρχική επιτάχυνση του σημείου Κ.

Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς δίσκου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο του Ι₁=1/2 ΜR² και η αντίστοιχη ροπή αδράνειας για την ομογενή ράβδο Ι₂= ml²/12 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Και αν πάρουμε το μισό δίσκο;

Το καζανάκι της τουαλέτας μιας κατοικίας, τροφοδοτείται από μεγάλη ανοιχτή δεξαμενή  στην ταράτσα, στην οποία η στάθμη του νερού βρίσκεται σε σταθερό ύψος Η = 3,2m από το σωληνάκι τροφοδοσίας (Σ), όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Αν g = 10m/s², το νερό θεωρηθεί ιδανικό ρευστό και η ροή στρωτή και μόνιμη:

i) Ποια είναι η ταχύτητα και η αντίστοιχη παροχή του νερού, που μπαίνει στο καζανάκι, από την τρύπα του πλαϊνού τοιχώματος

α) όσο η στάθμη βρίσκεται κάτω από την τρύπα (σχ. 1α);

β) τη στιγμή που η στάθμη βρίσκεται σε ύψος h = 0,4m πάνω από την τρύπα (σχ. 1β);

ii) Το σωληνάκι (Σ) έχει εμβαδό διατομής A = 2cm² και θέλουμε να σταματάει την τροφοδοσία, όταν η στάθμη του νερού φτάσει σε ύψος h πάνω από την τρύπα. Για το σκοπό αυτό υπάρχει ένας μηχανισμός, που αποτελείται από δύο – κολλημένες μεταξύ τους – αβαρείς ράβδους ΚΟ και ΟΛ με OK ┴ OΛ (σχήμα 2). Στο άκρο Κ έχουμε συνδέσει, με άρθρωση, μια πλαστική σφαίρα (πλωτήρας), ενώ στο άκρο Λ επίσης με άρθρωση, έχει συνδεθεί κυλινδρική τάπα εμβαδού . Ο μηχανισμός μπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα, που διέρχεται από το Ο, έτσι ώστε οι ράβδοι και τα κέντρα σφαίρας και τάπας, βρίσκονται διαρκώς στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Όταν η στάθμη του νερού φτάσει στο επιθυμητό όριο, η σφαίρα παραμένει βυθισμένη σε ποσοστό 20% του όγκου της στο νερό και η τάπα σφραγίζει την τρύπα διακόπτοντας την παροχή νερού.

Αν (ΟΚ) = 2(OΛ), υπολογίστε το μέτρο

α) της άνωσης που δέχεται η σφαίρα και

β) της δύναμης που δέχεται ο μηχανισμός από την άρθρωση Ο.

iii) Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα της σφαίρας;

Απάντηση(Word)

Απάντηση(Pdf)

i) Υποθέτουμε ότι ο δίσκος μπορεί να περιστρέφεται περί σταθερό άξονα zz΄, κάθετο στο επίπεδό του, που διέρχεται από το κέντρο του Ο.

Συνέχεια(Pdf)

Συνέχεια σε Word

Συνέχεια σε Pdf

Στη διάταξη του σχήματος, ο άξονας περιστροφής του δίσκου Δ είναι οριζόντιος, έχει στερεωθεί στην κορυφή Ο της τετραγωνικής ομογενούς πυραμίδας Π, η οποία έχει μάζα M = 6kg, ύψος h = 0,4m και μπορεί να ολισθαίνει σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ο δίσκος έχει μάζα m = 4kg,  ακτίνα R = 0,2m και φέρει αυλάκι, στο οποίο έχει τυλιχτεί πολλές φορές αβαρές και μη εκτατό νήμα. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 ασκούμε στο άκρο Ζ του νήματος οριζόντια δύναμη μέτρου F = 2N προς τα αριστερά, ο δίσκος αρχίζει να στρέφεται δεξιόστροφα και το σύστημα αρχίζει να κινείται.
α) Υπολογίστε την επιτάχυνση της κορυφής Ο της πυραμίδας.
β) Βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου και το μήκος του νήματος, που θα ξετυλιχτεί μέχρι τη χρονική στιγμή t₁ = 2s.
γ) Βρείτε τη μετατόπιση του άκρου Ζ του νήματος τη χρονική στιγμή t₁.
δ) Υπολογίστε το μέτρο της δύναμης που δέχεται ο δίσκος από τον άξονα περιστροφής του.
ε) Ποια θα ήταν η μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης που θα έπρεπε να ασκήσουμε στο άκρο Ζ του νήματος ώστε το στερεό να μην ανατρέπεται, αν η πλευρά της βάσης της πυραμίδας είναι L = 0,3m;
Δίνονται: Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι = 0,5mR², ο χώρος που καταλαμβάνει ο δίσκος εντός της πυραμίδας είναι αμελητέος, το κέντρο μάζας της πυραμίδας βρίσκεται πάνω στο φορέα του ύψους της σε απόσταση h/4 από τη βάση και g = 10m/s².

Απάντηση(Pdf)