Μήνας: Δεκέμβριος 2023

Ένα εγκάρσιο κύμα, που διαδίδεται στη διεύθυνση ενός άξονα Χ΄Χ, κατά τη θετική φορά, έχει την πηγή του κάπου στον αρνητικό ημιάξονα. Το κύμα αναγκάζει το σημείο Σ(x =0,1m), να ταλαντώνεται με χρονική εξίσωση

y_Σ = -0,4∙ημ(2πt), t ≥ 0s   (S.I.)

Η εξίσωση του κύματος μπορεί να είναι

y = A∙ημ(ωt ± 10πx + θ), (S.I.)

όπου θ μια γωνία σε rad.

i) Υπολογίστε το πλάτος, το μήκος κύματος, την περίοδο και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της y_Σ → t σε βαθμολογημένους άξονες.

iii) Ποιο από τα παρακάτω στιγμιότυπα αντιστοιχεί στο κύμα που περιγράφεται από την εκφώνηση; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

iv) Βρείτε τη γωνία θ, που περιέχεται στη φάση της εξίσωσης του κύματος.

v) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

vi) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁ = 5s, στην περιοχή x ≥ -0,2m.

vii) Η αρχική φάση του κύματος είναι

α) φ₀ = 0 rad                 β) φ₀ = 2π rad               γ) φ₀ = π rad

Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Απάντηση

Απάντηση

Το διάστημα επίσημα ορίζεται ως η περιοχή, σε ύψος άνω των 100Km από την επιφάνεια της Γης, δηλαδή στα όρια της ατμόσφαιρας και προφανώς υπάρχει βαρύτητα. Ένα διαστημόπλοιο στιγμιαίας μάζας m = 1tn, μαζί με το πλήρωμα, απομακρύνεται από τη Γη με ταχύτητα μέτρου v_i = 4km/s, στη διεύθυνση της ακτίνας της Γης. Στην περιοχή αυτή του διαστήματος, η βαρυτική επιτάχυνση είναι g = 2m/s².  Ο υπολογιστής του σκάφους δίνει εντολή να γίνουν δύο διαδοχικές καύσεις του κινητήρα, ώστε να αποκτήσει τη μέγιστη δυνατή ταχύτητα. Το διάγραμμα δείχνει το μέτρο της δύναμης που δέχεται το διαστημόπλοιο σε συνάρτηση με το χρόνο.

α) Τι εκφράζει το εμβαδόν του διαγράμματος;

β) Ποιο είναι το μέτρο της μέσης δύναμης που δέχτηκε ο πύραυλος; Πόσα G μέση επιτάχυνση θα δεχτεί το σώμα ενός αστροναύτη κατά τη διάρκεια αυτής της μανούβρας;

Δίνεται G = 10m/s² η βαρυτική επιτάχυνση στην επιφάνεια της Γης.

γ) Ποιο θα είναι το μέτρο της ταχύτητας του διαστημοπλοίου τη χρονική στιγμή t = 9s;

Συνέχεια πτήσης 

 

Υλικό σημείο μάζας m = 1kg, εκτελεί αρμονική ταλάντωση με εξίσωση x = 0,5∙ημ(10t) (S.I.)

Α) Αν είναι απλή αρμονική ταλάντωση:

i) Βρείτε τις χρονικές εξισώσεις υ(t), a(t), ΣF(t), K(t), U(t), E_T(t), P_ΣF(t)

ii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις

α) K(t), U(t), E_T(t) σε ένα διάγραμμα και

β) σε ένα άλλο διάγραμμα την P_ΣF(t)

από t₀ = 0s, ως t₁ = π/5 s

iii) Υπολογίστε το έργο της συνισταμένης δύναμης από t₀ = 0s, ως t₁ = π/10 s

Β) Αν είναι εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης της μορφής
F = -2υ (S.I.) και γωνιακής ιδιοσυχνότητας ω₀ = 8 rad/s:

Συνέχεια 

Ένα ανοιχτό κιβώτιο μάζας m₁ = m, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Μέσα στο κιβώτιο βρίσκεται ακίνητη μια μικρή σφαίρα μάζας m₂ = m, εφαπτόμενη στο αριστερό τοίχωμα του κιβωτίου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0s η σφαίρα εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ₁ = 2m/s και κινείται ολισθαίνοντας στο λείο δάπεδο του κιβωτίου.

i) Το κιβώτιο θα κινηθεί; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

ii) Αν η σφαίρα συγκρουστεί με το δεξί τοίχωμα του κιβωτίου, χωρίς απώλειες μηχανικής ενέργειας για το σύστημα (ελαστική κρούση), υπολογίστε τις ταχύτητες της σφαίρας και του κιβωτίου αμέσως μετά την κρούση. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.

iii) Μελετήστε το είδος της κίνησης των δυο σωμάτων.

iv) Αν το μήκος του δαπέδου του κιβωτίου είναι d =2m να κάνετε σε βαθμολογημένους άξονες τις γραφικές παραστάσεις, μέχρι τη χρονική στιγμή t = 2s:

α) υ = f(t) για τη σφαίρα και το κιβώτιο

β) x = f(t) για τη σφαίρα και το κιβώτιο θεωρώντας ότι x₀ = 0m ( αρχή του άξονα των x ) είναι η θέση της σφαίρας, που συμπίπτει με το αριστερό τοίχωμα του κιβωτίου.

γ) p_συστ = f(t) (ορμή συστήματος), αν m = 0,5kg.

Απάντηση

 

Στο σχήμα φαίνονται δύο σώματα Α και Β με ίσες μάζες m_A = m_B = 1kg, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα A είναι ηλεκτρικά ουδέτερο, ηρεμεί και είναι συνδεδεμένο στο δεξί άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 400N/m, που έχει το φυσικό του μήκος. Το αριστερό άκρο του ελατηρίου, είναι ακλόνητο. Το σώμα Β φέρει ηλεκτρικό φορτίο q = −1C και συγκρατείται ακίνητο σε απόσταση d = 1,2m από το Α. Στο χώρο υπάρχει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης μέτρου E = 10N/C με οριζόντια διεύθυνση και φορά προς τα δεξιά, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Β.

i) Να δικαιολογήσετε το είδος της κίνησης του σώματος Β και να βρείτε το μέτρο της επιτάχυνσής του.

ii) Με ποια ταχύτητα θα συγκρουστεί με το σώμα Α;

iii) Αν η κρούση είναι πλαστική, δηλαδή δημιουργηθεί συσσωμάτωμα, ποια θα είναι η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση; Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.

iv) Πόση θα είναι η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου;

v) Υπολογίστε τη μεταβολή της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας του συστήματος σε όλη τη διάρκεια του φαινομένου.

Απάντηση 

 

Θέμα Α

Ένα σώμα μάζας m εκτελεί α.α.τ. σε οριζόντιο λείο δάπεδο και κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης η μέγιστη επιτάχυνση που επιτυγχάνει έχει μέτρο a_max. Αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α, η ενέργεια της ταλάντωσης είναι:

α) Ε = ½ ma_maxA           β) Ε = ma_maxA               γ) Ε = ¼ ma_maxA

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογείστε την επιλογή σας.

Θέμα Β

Ένα σώμα μάζας m = 0,25kg είναι στερεωμένο στην κορυφή ενός κατακόρυφου ελατηρίου που είναι αγκυρωμένο στο πάτωμα. Το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι l₀ = 8cm και το μήκος του ελατηρίου όταν το σώμα βρίσκεται σε ισορροπία είναι l₁ = 5,5cm. Όταν το σώμα ηρεμεί στη θέση ισορροπίας του, του δίνεται ένα απότομο χτύπημα προς τα κάτω με σφυρί, έτσι ώστε η αρχική του ταχύτητα να έχει μέτρο υ₀ = 0,4m/s.

i) Σε ποιο μέγιστο ύψος πάνω από το δάπεδο υψώνεται κάθε φορά το σώμα; Το ελατήριο φτάνει στο φυσικό του μήκος κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης; Ποια ελάχιστη αρχική ταχύτητα πρέπει να δοθεί στο σώμα ώστε το ελατήριο να φτάνει οριακά το φυσικό του μήκος;

ii) Πόσος χρόνος χρειάζεται για να φτάσει το σώμα στο μέγιστο ύψος του για πρώτη φορά;

iii) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της αλγεβρικής τιμής της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση για μια περίοδο.

iv) Να βρείτε σε συνάρτηση με την απομάκρυνση, τις εξισώσεις: Ενέργειας ταλάντωσης, Δυναμικής Ενέργειας ταλάντωσης, Κινητικής Ενέργειας, Βαρυτικής Δυναμικής Ενέργειας (με επίπεδο αναφοράς τη θέση ισορροπίας) και Δυναμικής Ενέργειας ελατηρίου.

v) Να κάνετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις Ενέργειας ταλάντωσης, Δυναμικής Ενέργειας ταλάντωσης, Κινητικής Ενέργειας, Βαρυτικής Δυναμικής Ενέργειας (με επίπεδο αναφοράς τη θέση ισορροπίας) και Δυναμικής Ενέργειας ελατηρίου, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση. Δίνεται g = 10m/s².

Συνέχεια στο γκισέ 

Συνέχεια στο γκισέ 

Δύο βάρκες Β₁ και Β₂ ίσης μάζας Μ ακουμπούν η μία με την άλλη όπως στο σχήμα ακίνητες στην ήρεμη λίμνη. Ένας άνθρωπος Α μάζας m, πηδά από την Β₁ στη Β₂ και μετά πηδά πίσω στη Β₁.  Αν η αντίσταση του νερού είναι αμελητέα, θετική φορά προς τα δεξιά,

i) Να διερευνήσετε το φαινόμενο που εξελίσσεται σε κάθε άλμα του ανθρώπου, μελετώντας την ταχύτητα που αποκτά κάθε βάρκα. O λόγος των ταχυτήτων που θα αποκτήσουν τελικά οι βάρκες B₁, B₂ θα είναι

α) υ₁ / υ₂ = – Μ / (Μ+m)            β) υ₁ / υ₂ = – (Μ+m) / m                         γ) υ₁ / υ₂ = -Μ /m

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογείστε την.

ii) Να γενικεύσετε το αποτέλεσμα στην περίπτωση που ο άνθρωπος Α πραγματοποιεί Ν το πλήθος άλματα προς τη βάρκα Β₂ και Ν το πλήθος άλματα προς τη βάρκα Β₁.

Απάντηση