Καρδιοειδής καμπύλη

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Γεωμετρία Α΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 11-05-2019

Από προηγούμενες τάξεις, έχει γίνει φανερό ότι, με τη βοήθεια κατάλληλων συστημάτων συντεταγμένων, διάφορα γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν με τη βοήθεια εξισώσεων. Για παράδειγμα, η εξίσωση y=\alpha x +\beta παριστάνει ευθεία, η εξίσωση y=\alpha x^2,\,\alpha\neq0 παριστάνει παραβολή, η εξίσωση y=\frac{\alpha}{x},\,\alpha,\,x\neq0 παριστάνει υπερβολή κ. ά..

Ωστόσο, ίσως να μην έχει γίνει απόλυτα κατανοητός ο τρόπος με τον οποίο ένα γεωμετρικό αντικείμενο θα μπορούσε να μετασχηματιστεί σε κάποιο άλλο γεωμετρικό αντικείμενο. Ενδεικτικά, πως μια ευθεία μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια άλλη ευθεία, με διαφορετική κλίση; Πως μια παραβολή μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια νέα παραβολή, περισσότερο ή λιγότερο κλειστή; Πως ένας κύκλος μπορεί να μετασχηματιστεί σ’ έναν “πεπλατυσμένο” ή “επιμηκυμένο” κύκλο (έλλειψη) ή, προχωρώντας λίγο πιο πέρα, πως μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια “καρδιά”;

Ενδεχομένως, τα προηγούμενα ερωτήματα να συνδέονται και να είναι απλώς διαφορετικές πτυχές του ίδιου προβλήματος.

Αξίζει, λοιπόν, να προβληματιστεί κανείς πάνω στις αλλαγές που θα έπρεπε να συντελεστούν στους τύπους των αντίστοιχων εξισώσεων οι οποίες θα μπορούσαν να επιφέρουν αυτούς τους μετασχηματισμούς.

Ενδιαφέρον, βέβαια, παρουσιάζει και το αντίστροφο ερώτημα:

Τι αντίκτυπο, λόγου χάρη, θα είχε στη διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου, δηλαδή στην ευθεία με εξίσωση y=x, μια “παρέμβαση” στον προηγούμενο τύπο, θέτοντας όπου x το 2x;

Αλγεβρικά, προφανώς, θα είχαμε την εξίσωση y=2x, η οποία αναπαριστά μια νέα ευθεία, ωστόσο, πως αυτό θα μπορούσε να ερμηνευτεί γεωμετρικά συσχετίζοντας τις δύο ευθείες; Φαίνεται, λοιπόν, ότι, σε μια τέτοια περίπτωση, ο άξονας των y “διαστέλλεται” συμπαρασύροντας τα σημεία της ευθείας y=x στις νέες θέσεις τους πάνω στην ευθεία y=2x. Τροποντινά, αλλάζει η κλίμακα των αξόνων και η αλλαγή αυτή κατευθύνεται από την αναλογία 1:2.

Απώτερος στόχος της διαδραστικής εφαρμογής που ακολουθεί είναι να σας βοηθήσει στην εύρεση της εξίσωσης μιας καμπύλης που το σχήμα της μοιάζει με το σχήμα της καρδιάς.  Όπως θα δείτε, ο συγκεκριμένος τύπος του καρδιοειδούς θα μπορούσε να ανακύψει “τροποποιώντας”, κατάλληλα, έναν “εύπλαστο” κύκλο, αναδεικνύοντας, έτσι, την αντίστοιχη εξίσωση. Βέβαια, απαραίτητη προϋπόθεση είναι η γνώση της εξίσωσης του κύκλου, η οποία στην ειδική περίπτωση του κύκλου (O,\rho), αποδεικνύεται, εύκολα, με χρήση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, ότι είναι x^2+y^2=\rho^2.

Όμως, προτού φτάσετε στο σημείο να αναζητήσετε την εξίσωση του καρδιοειδούς, θα έχετε τη δυνατότητα να εξασκηθείτε πάνω στην κεντρική ιδέα της μεθόδου με απλούστερους μετασχηματισμούς, για ορισμένες βασικές γραμμές , με αφετηρία την ευθεία.

Διαβάστε περισσότερα

Ρητές εξισώσεις

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, Για την Α΄ Λυκείου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 23-08-2018

Όταν ο άγνωστος μιας εξίσωσης εμφανίζεται στον παρονομαστή ενός κλάσματος, τότε, η εξίσωση ονομάζεται κλασματική.

Στην ειδικότερη περίπτωση, όπου οι όροι της εξίσωσης έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή κλασμάτων, όπου τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, η εξίσωση λέγεται ρητή.

Κατά την επίλυση μιας ρητής εξίσωσης, αρχικά, καλό είναι να περιοριστεί το πεδίο αναζήτησης των λύσεών της, εξαιρώντας τις τιμές της μεταβλητής που μηδενίζουν τους εμφανιζόμενους παρονομαστές. Γι’ αυτό αποδεικνύεται, ιδιαίτερα, χρήσιμο οι παρονομαστές να έχουν προηγουμένως παραγοντοποιηθεί.  Η παραγοντοποίηση, άλλωστε, συμβάλλει στον υπολογισμό του ΕΚΠ των παρονομαστών, βήμα σημαντικό κατά τη μετέπειτα απαλοιφή τους. Πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους μιας κλασματικής εξίσωσης με το ΕΚΠ των παρονομαστών της, μετά την εκτέλεση των απλοποιήσεων που προκύπτουν, η αρχική εξίσωση μετασχηματίζεται σε πολυωνυμική εξίσωση όπου, στο πλαίσιο της Γ΄ Γυμνασίου, συνήθως, πρόκειται για μια εξίσωση πρώτου ή δεύτερου βαθμού.

Γενικά, είναι διαπιστωμένο ότι η ενότητα αυτή εμφανίζει σημαντικές δυσκολίες, κατά τη διδακτική προσέγγιση, αφού προϋποθέτει πλήρη κατανόηση για μια πληθώρα προ απαιτούμενων γνώσεων όπως ταυτότητες, παραγοντοποίηση, εύρεση ΕΚΠ, απλοποίηση, επιμεριστική ιδιότητα, αναγωγή όμοιων όρων, επίλυση εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθμού.

Η διαδραστική εφαρμογή που ακολουθεί, πραγματεύεται τα παραπάνω θέματα για ποικίλες ρητές εξισώσεις παρέχοντας τη δυνατότητα ελέγχου των απαντήσεων του χρήστη αλλά και κάποιων κατευθυντήριων γραμμών μέσα από κατάλληλες υποδείξεις.

Διαβάστε περισσότερα

Η “ρίζα” του – αναγκαίου – κακού …

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Γεωμετρία Α΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου | , στις 04-09-2014

Θα μπορούσατε να τοποθετήσετε, κατάλληλα, τέσσερα ίδια τετράγωνα, χωρίς αλληλεπικαλύψεις, έτσι, ώστε να κατασκευάσετε ένα νέο τετράγωνο; Είναι δυνατόν να γίνει το ίδιο με εννιά ίδια τετράγωνα; Με δεκαέξι; Με δύο; Τι παρατηρείτε;

Ο όρος “τετραγωνική ρίζα”, για μια έννοια που συνήθως χρησιμοποιείται στο πλαίσιο αλγεβρικών διαδικασιών, έτσι κι αλλιώς, προϊδεάζει για δεσμούς της υπόστασής της με τη Γεωμετρία. Έχετε κάποια υπόννοια για το ποια θα μπορούσε να είναι η “ρίζα” ενός τετραγώνου;

Η σύνδεση με τη Γεωμετρία μπορεί να γίνει σχετικά εύκολα λ.χ. για τις τετραγωνικές ρίζες (τετράγωνων) αριθμών όπως το 4, το 9, το 16, το 25 κλπ. Για παράδειγμα, για τον αριθμό 4, η τετραγωνική του ρίζα δεν είναι τίποτε άλλο παρά η πλευρά τετραγώνου με εμβαδό 4. Εναλλακτικά, πρόκειται για την πλευρά ενός τετραγώνου που έχει εμβαδό όσο το συνολικό εμβαδό τεσσάρων ίδιων τετραγώνων εμβαδού 1.

Στα αρχαία Ινδικά εγχειρίδια “Sulbasutra”, που αντλούν γνώσεις οι οποίες χρονολογούνται, ίσως, από το 2000 π.Χ. και μεταφέρθηκαν μέσω της προφορικής παράδοσης, περιγράφονται τρόποι κατασκευής βωμών και ναών, ενώ, ταυτόχρονα, δίνεται το απαραίτητο “τεχνικό” υπόβαθρο˙ μια συλλογή εμπειρικών “κανόνων” (“Sutra”), ουσιαστικά, από το πεδίο που αργότερα θα στοιχειοθετούσε τη “Γεωμετρία”. Προφανώς, σε κάποια από τις κατασκευές των αρχαίων Ινδών, χρειάστηκε ο υπολογισμός της διαγωνίου ενός τετραγώνου:

“Το μέτρο της πλευράς του πρέπει να αυξηθεί κατά το ένα τρίτο του κι αυτό (το ένα τρίτο του) ξανά με το ένα τέταρτό του μειωμένο κατά το τριακοστό τέταρτο (αυτού του τετάρτου)˙ αυτή είναι η διαγώνιος ενός τετραγώνου …”

Με σύγχρονη ορολογία και συμβολισμό:

    \[ \sqrt{2}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot4}-\frac{1}{3\cdot4\cdot34}\simeq 1.4142..., \]


Αλήθεια πως ήταν σε θέση οι αρχαίοι Ινδοί να προσδιορίσουν με τόσο μεγάλη ακρίβεια την εύρεση του \sqrt{2}; Ποιές πρωταρχικές γεωμετρικές διαδικασίες θα μπορούσαν να έχουν αξιοποιήσει; Άραγε, κατά την προσέγγισή τους, να αντιλήφθηκαν την ιδιαιτερότητα έκφρασης αυτού του αριθμού;

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής,

Sulbasutram_Square_Root_Of_Two

μπορείτε, ίσως, με μέθοδο παρόμοια μ΄ αυτήν που ενδεχομένως να ακολουθούσαν οι αρχαίοι Ινδοί, να βρείτε τρόπο έκφρασης των \sqrt{2},\sqrt{3} και \sqrt{5}.

Αναφορές

  1. Henderson D.W., Square Roots in the Sulbasutra, Department of Mathematics, Cornell University.

Διαβάστε περισσότερα

Κάντο όπως ο … αλ – Κβαρίσμι

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου | , στις 11-02-2012

Al-Khwarizmi

Το 800 μ.Χ., περίπου, ο Άραβας μαθηματικός αλ – Κβαρίσμι, συνθέτοντας διάφορες γνωστές τεχνικές που εφαρμόζονταν για την επίλυση συγκεκριμένων μορφών δευτεροβάθμιων εξισώσεων, υποδεικνύει τον τρόπο με τον οποίο θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί, γενικά, μια οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση.

Η μέθοδός του είναι, ουσιαστικά, γεωμετρική. Πρόκειται για τη “συμπλήρωση τετραγώνου”, η οποία ήταν γνωστή στους λαούς της αρχαιότητας. Οι Ινδοί, το 800 με 600 π.Χ., περίπου, χρησιμοποίησαν τη μέθοδο στον “τετραγωνισμό” του ορθογωνίου, οι Βαβυλώνιοι, το 400 π.Χ., περίπου, σε προβλήματα, τα οποία, με μεταγενέστερη ορολογία, οδηγούν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων, αλλά κι οι Έλληνες, με τον Ευκλείδη το 300 π.Χ., περίπου, για την κατασκευή τμημάτων, τα μήκη των οποίων, αργότερα, θα μπορούσαν να θεωρηθούν λύσεις δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Ο αλ – Κβαρίσμι, στο βιβλίο του “Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala”, ανέπτυξε την προηγούμενη μέθοδο για να επιλύσει πέντε διαφορετικές δευτεροβάθμιες εξισώσεις, που εκπροσωπούσαν πέντε διαφορετικούς τύπους δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Η απουσία του 0 και των αρνητικών αριθμών καθιστούσε αδύνατη την ενοποίησή τους σε ένα γενικό τύπο.

Για παράδειγμα, ενώ, σήμερα, οι εξισώσεις,

    \[x^2+10x=39\]

και

    \[x^2+21=10x,\]

εντάσσονται στον γενικό τύπο,

    \[\alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0,\]

εκείνη την εποχή εκπροσωπούσαν, αναγκαστικά, δύο διαφορετικούς τύπους δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Παρεμπιπτόντως, η ονομασία “Άλγεβρα” προέρχεται από τον αραβικό όρο “al-ğabr” στον τίτλο του βιβλίου. Οι όροι “al-ğabr” και “al-muqābala”, που αποδίδονται στα ελληνικά ως “συμπλήρωση” και “αντιπαράθεση”, χρησιμοποιήθηκαν για να περιγράψουν, σ’ ένα πρωτογενές στάδιο, τη διαδικασία της αναγωγής ομοίων όρων.

“Συνοπτική πραγματεία στις λογιστικές μεθόδους συμπλήρωσης και αντιπαράθεσης”, λοιπόν, ο τίτλος, σε ελεύθερη απόδοση, αυτού που για πολλούς θεωρείται ως το πρώτο βιβλίο Άλγεβρας στην ιστορία των Μαθηματικών.

Η εργασία του αλ  – Κβαρίσμι προανήγγειλε τη γέννηση των τύπων που δίνουν τις ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, όταν η διακρίνουσά της είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.

Η εξίσωση,

    \[ x^{2}+10x=39, \]

είναι μία από τις πέντε διαφορετικές δευτεροβάθμιες εξισώσεις που επιλύονται στο βιβλίο του.

Η μέθοδος επίλυσης, που ακολούθησε ο ίδιος ο αλ – Κβαρίσμι, σκιαγραφείται ελαφρώς παραλλαγμένη στη συνέχεια. Βασίζεται στη “συμπλήρωση” του ακόλουθου σχήματος.

Completion_Of_The_Square_01

Τα ερωτήματα που ακολουθούν προετοιμάζουν το έδαφος για την καλύτερη κατανόηση της μεθόδου.

  • Τι είδους χωρία απαρτίζουν το παραπάνω σχήμα;
  • Tι παριστάνει το συνολικό εμβαδόν του σε σχέση με την εξίσωση;
  • Σε τι θα μπορούσε να «συμπληρωθεί»;
  • Ποιο θα είναι το νέο του εμβαδόν βάσει της εξίσωσης;
  • Ποια είναι, τελικά, η τιμή του x;

Εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι το τετράγωνο και τα δύο ορθογώνια, που αποτελούν το παραπάνω σχήμα, έχουν συνολικό εμβαδό,

    \[ x^{2}+10x, \]

δηλαδή, ίσο με την παράσταση του α΄ μέλους της εξίσωσης.

Επομένως, η θετική τιμή, αν υπάρχει, του αγνώστου x της εξίσωσης, μπορεί να αναζητηθεί με βάση τη συνθήκη το συνολικό εμβαδό του σχήματος να είναι 39.

Ισοδύναμα, από τη συνθήκη το εμβαδό του τετραγώνου AEHI,

Completion_Of_The_Square_02

που προκύπτει, μετά τη «συμπλήρωση», να είναι,

    \[$39+25=64,$\]

όπου το 25 εκφράζει το εμβαδό του τετραγώνου {\Gamma}ZH{\Theta} που προστέθηκε στο αρχικό σχήμα.

Μ’ άλλα λόγια, η πλευρά x+5 του τετραγώνου AEHI πρέπει και αρκεί να ισούται με 8.

Άρα, τελικά, η λύση της εξίσωσης είναι x=3.

Φυσικά, όπως προαναφέρθηκε, η αναζήτηση του αγνώστου περιορίστηκε στους θετικούς αριθμούς μιας και οι αρνητικοί αριθμοί δεν είχαν γίνει, καθολικά, αποδεκτοί την εποχή του αλ – Κβαρίσμι.

Μια οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση θα μπορούσε νε επιλυθεί με τρόπο όμοιο μ’ αυτόν που περιεγράφηκε προηγουμένως. Μάλιστα, η έννοια της απόλυτης τιμής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να άρει τον περιορισμό των θετικών τιμών κατά την αναζήτηση των ριζών της εξίσωσης.

Αλληλοεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό, μπορείτε να δοκιμάσετε να βρείτε τις ρίζες διάφορων δευτεροβάθμιων εξισώσεων, γεωμετρικά, χωρίς να χρησιμοποιήσετε τους γνωστούς τύπους.

Αναφορές

  1. Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.
  2. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Quadratic, cubic and quartic equations, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1996.
  3. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1999.

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Accessibility by WAH