π – εριτυλίξτε …

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 17-12-2016

Στο πλαίσιο της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, θα κληθείτε να προσαρτήσετε τη διάμετρο ενός κύκλου στην περιφέρειά του, προσομοιώνοντας την καμπύλωσή της, ξεκινώντας από κάποιο σημείο εφαρμογής, πάνω στον κύκλο, και συνεχίζοντας, διαδοχικά, με όμοιο τρόπο, από το σημείο στο οποίο, κάθε φορά, καταλήγει, παρατηρώντας τον ακριβή αριθμό που φανερώνει πόσες φορές το καμπυλωμένο τμήμα της διαμέτρου «χωράει» στον κύκλο.

Συνεπώς, προκύπτει μια πρώτη εκτίμηση για το μήκος του κύκλου με μονάδα μέτρησης τη διάμετρό του. Πώς, όμως, θα μπορούσε η εκτίμηση αυτή να γίνει καλύτερη;

Προφανώς, η προηγούμενη διαδικασία θα μπορούσε να επαναληφθεί με χρήση κατάλληλων, κάθε φορά, υποδιαιρέσεων της διαμέτρου, ωσότου προσεγγιστεί, όσο το δυνατόν περισσότερο, το αρχικό σημείο εφαρμογής της διαμέτρου στον κύκλο, κατά το ξεκίνημα της διαδικασίας.

Η εκτίμηση θα μπορούσε να βελτιωθεί, εξαντλητικά, ανακαλύπτοντας, ολοένα και περισσότερο, τα ψηφία του αριθμού που συσχετίζουν το μήκος ενός κύκλου με τη διάμετρό του.

Έτσι, με τη βοήθειά της, μπορείτε να συνδέσετε τον αριθμό π με το «π – εριτύλιγμα …» του κύκλου από διαμέτρους και από τις υποδιαιρέσεις τους.

Εμβαδό Σφαίρας

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 25-07-2016

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε να ανακαλύψετε τον τύπο που υπολογίζει το εμβαδό της επιφάνειας της σφαίρας.

Σκοπός της εφαρμογής είναι να προσομοιωθεί κατάλληλη κάλυψη της επιφάνειας της σφαίρας, η οποία δημιουργείται με τη βοήθεια «κουκκίδων» που ορίζονται από την τομή «παράλληλων» κύκλων και «μεσημβρινών» πάνω στην επιφάνειά της. Οι κουκκίδες περιστρέφονται γύρω από το «νότιο πόλο» της σφαίρας ωσότου προσεγγίσουν το «επίπεδο στήριξης» της σφαίρας, συνθέτοντας, έτσι, έναν κυκλικό δίσκο. Μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του και το εμβαδόν του;
Surface_Area_of_Sphere

Κουλουμο … μετρία

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 01-07-2014

Θα μπορούσατε να συνδυάσετε τις γνώσεις σας από τη Γεωμετρία, ιδιαίτερα από το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, στην ακόλουθη δραστηριότητα Κουλουμο … μετρίας; :mrgreen:

Trigonometry_2

Όγκος Σφαίρας

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 26-10-2013

Είναι δυνατό, για μια σφαίρα, να κατασκευαστεί ένα στερεό που να περικλείει, περίπου, τον ίδιο χώρο με τη σφαίρα και του οποίου η επιφάνεια να αποτελείται από επίπεδα μέρη. Για το σκοπό αυτό θα μπορούσαν να επιστρατευτούν οι παράλληλοι κύκλοι και οι μεσημβρινοί της σφαίρας.

Volume_of_Sphere

  • Να περιγράψετε τον τρόπο κατασκευής του στερεού.
  • Ποιο είναι το είδος των στερεών που το απαρτίζουν;
  • Πόσο καλά προσεγγίζει την αρχική σφαίρα αυτό το στερεό;
  • Πως θα μπορούσε η προσέγγιση αυτή να γινόταν ακόμη καλύτερη; Όλο και περισσότερο καλύτερη;

Να πατήσετε σ΄ένα οποιοδήποτε σημείο του παραπάνω γραφικού για να σάς δοθεί δυνατότητα αλληλεπίδρασης.

Θα αποκαλυφθεί ο τρόπος κατασκευής του στερεού και θα σάς βοηθήσει να απαντήσετε ευκολότερα στα παραπάνω ερωτήματα.

Να προσπαθήσετε να βρείτε τρόπο υπολογισμού του όγκου της σφαίρας, χρησιμοποιώντας τον τύπο που δίνει τον όγκο μιας πυραμίδας και τον τύπο που δίνει το εμβαδό της επιφάνειάς μιας σφαίρας.

Όγκος κυλίνδρου

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 05-10-2013

Στην επιπεδομετρία, είχατε γνωρίσει τον τρόπο όπου ένας κυκλικός δίσκος μπορεί να προσεγγιστεί από ένα παραλληλόγραμμο. Παρόμοια, στη Στερεομετρία, ένας κύλινδρος μπορεί να προσεγγιστεί από ένα παραλληλεπίπεδο.

Στο ακόλουθο γραφικό,

Cylinder_into_parallelepiped

παριστάνεται ένας κύλινδρος στον οποίο έχει εγγραφεί ένα πρίσμα με βάση κανονικό δεκατεσσεράγωνο. Να πατήσετε σ΄ένα οποιοδήποτε σημείο του για να σάς δοθεί δυνατότητα αλληλεπίδρασης.

Όπως θα διαπιστώσετε, με μια αναδιάταξη των μερών που το αποτελούν, το πρίσμα μπορεί να μετασχηματιστεί σ΄ ένα παραλληλεπίπεδο.

Κατά ανάλογο τρόπο, με την περίπτωση του κυκλικού δίσκου, η «επιτυχία» της προσέγγισης εξαρτάται από το πλήθος των πλευρών της βάσης του πολυγώνου που εγγράφεται στον κύλινδρο. Φανταστείτε αντί για το δεκατεσσεράγωνο να είχαμε εικοσάγωνο, πενηντάγωνο, χιλιάγωνο κ.ο.κ..

Ερώτημα: Με ποιον τύπο μπορεί να υπολογιστεί ο όγκος του κυλίνδρου;

(Υπόδειξη: Να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τον υπολογισμό του όγκου ενός πρίσματος, ή ειδικότερα, ενός παραλληλεπιπέδου.)

Σχήματα «ψηλά» αλλά … «λιγνά», «κοντά» αλλά … «φαρδιά»

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 01-05-2012

Short_and_Tall

  • Μπορείτε να βρείτε δύο (ευθύγραμμα) σχήματα με ίδιο αριθμό πλευρών όπου το ένα να έχει μεγαλύτερη περίμετρο, αλλά, ταυτόχρονα, μικρότερο εμβαδό από το άλλο;
  • Μπορείτε να βρείτε δύο (ευθύγραμμα) σχήματα με διαφορετικό αριθμό πλευρών όπου το ένα να έχει μεγαλύτερη περίμετρο, αλλά, ταυτόχρονα, μικρότερο εμβαδό από το άλλο;
  • Είναι δυνατόν να αυξάνεται ολοένα και περισσότερο η περίμετρος ενός σχήματος, ξεπερνώντας οποιονδήποτε θετικό αριθμό, ενώ, ταυτόχρονα, το εμβαδόν του να παραμένει σταθερό;
  • Είναι δυνατόν να αυξάνεται ολοένα και περισσότερο η περίμετρος ενός σχήματος, ξεπερνώντας οποιονδήποτε θετικό αριθμό, ενώ, ταυτόχρονα, το εμβαδόν του να ελαττώνεται πλησιάζοντας το μηδέν;

Στην αναζήτησή σας, μπορεί να φανεί χρήσιμο το ακόλουθο γραφικό, με το οποίο μπορείτε να αλληλεπιδράσετε πατώντας το αριστερό πλήκτρο τού ποντικιού σε οποιοδήποτε σημείο του.

Surface_Perimeter

Το «άρρητο» της τετραγωνικής ρίζας του 2

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 26-12-2011

Είναι σίγουρο ότι είστε εξοικειωμένοι με τη διαδικασία της μέτρησης ευθύγραμμων τμημάτων. Θα έχετε καταλάβει ότι δε μπορεί να είναι πάντοτε ακριβής. Αντίθετα, τις περισσότερες φορές έχει προσεγγιστικό χαρακτήρα. Άραγε, γιατί συμβαίνει αυτό;

Θα έλεγε κανείς ότι το ευθύγραμμο τμήμα δεν ευθύνεται σε τίποτα. Παραμένει «αμέτοχο» και «παθητικό» καθ’ όλη τη διαδικασία, «αναμένοντας» τη μέτρησή του.

Από την άλλη πλευρά, το ανθρώπινο χέρι και το ανθρώπινο μάτι δε μπορούν να συνεργαστούν πάντοτε αρμονικά. Ακόμη, το ίδιο το όργανο μέτρησης, που χρησιμοποιείται, δεν έχει απεριόριστες δυνατότητες. Όπως γνωρίζετε, σ’ ένα συνηθισμένο υποδεκάμετρο, οι υποδιαιρέσεις του είναι συγκεκριμένες: δεκατόμετρα (δέκατα), εκατοστόμετρα (εκατοστά), χιλιοστόμετρα (χιλιοστά).

Οι παραπάνω αδυναμίες ξεπερνιούνται σε σημαντικό βαθμό με τη βοήθεια ενός «ηλεκτρονικού υποδεκάμετρου». Όπως θα διαπιστώσετε, μάς παρέχει πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια από ένα συνηθισμένο υποδεκάμετρο. Επίσης, η πιθανότητα ανθρώπινου σφάλματος ελαττώνεται αρκετά.

Στο ακόλουθο γραφικό, καλείστε να μετρήσετε, επακριβώς, τρία διαφορετικά ευθύγραμμα τμήματα, με ένα τέτοιο ηλεκτρονικό υποδεκάμετρο. Αρκεί να χρησιμοποιήσετε, επαναληπτικά, το εργαλείο του μεγεθυντικού φακού, κατάλληλο αριθμό επαναλήψεων, διαφορετικό, ίσως, για κάθε ευθύγραμμο τμήμα.

Τι σημαίνει, λοιπόν, «ακριβής μέτρηση» για το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος;

Όπως έγινε αντιληπτό, αρκεί να τοποθετηθεί το όργανο μέτρησης – στην προκειμένη περίπτωση το ηλεκτρονικό υποδεκάμετρο – έτσι, ώστε, το 0 να συμπέσει με το ένα άκρο του ευθύγραμμου τμήματος και έπειτα να βρεθεί, μεγεθύνοντας αν χρειαστεί, η ένδειξη που αντιστοιχεί στο άλλο άκρο του τμήματος.

Για μια στιγμή, είναι λογικό να υποτεθεί ότι κάτι τέτοιο θα μπορούσε να γίνει σε οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα. Όμως, προκύπτουν αναπόφευκτα ορισμένα ερωτήματα:

Μπορούμε να μεγεθύνουμε όσες φορές κι αν χρειαστεί, ή ακόμη και η χρήση ενός ηλεκτρονικού υποδεκάμετρου έχει τους δικούς της περιορισμούς;

Άρα, μήπως μπορούμε πάντοτε να βρίσκουμε τμήματα, που το μήκος τους «δραπετεύει» από τη διαδικασία της ακριβής μέτρησης;

Τελικά, αυτό να οφείλεται μόνο στην ανθρώπινη αδυναμία να κατασκευαστεί και να χρησιμοποιηθεί στην εντέλεια ένα ακριβές όργανο μέτρησης;

Κι όμως, όσο παράλογο κι αν ακούγεται, ακόμη κι αν υποτεθεί ότι π.χ. αυτό το ηλεκτρονικό υποδεκάμετρο μπορεί να χρησιμοποιηθεί με τρόπο που να αξιοποιεί τη δυνατότητα της μεγέθυνσης απεριόριστα, πάλι δε θα μπορεί να μετρηθεί επακριβώς το μήκος οποιουδήποτε ευθύγραμμου τμήματος.

Αυτό συμβαίνει διότι στις ενδείξεις ενός υποδεκάμετρου βρίσκονται κλασματικοί (ρητοί) αριθμοί.

Για παράδειγμα, στο ακόλουθο γραφικό, παριστάνεται ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετες πλευρές ίσες με 1.

Αλληλεπιδρώντας μαζί του, μπορείτε να διαπιστώσετε, τουλάχιστον, ως ένα βαθμό, ότι δε μπορείτε να μετρήσετε το μήκος της υποτείνουσάς του, χρησιμοποιώντας τις υποδιαιρέσεις του υποδεκάμετρου. Μάλιστα, ακόμη κι αν υπήρχε η δυνατότητα να μεγεθύνετε περαιτέρω το προηγούμενο γραφικό, πάλι δε θα αντιστοιχιζόταν κανείς κλασματικός αριθμός στο μήκος της.

Οι πρώτοι που ανακάλυψαν αυτήν την «αδυναμία» πρέπει να ήταν οι Πυθαγόρειοι. Θεωρείται, μάλιστα, ότι απέδειξαν ότι το μήκος της υποτείνουσας αυτού του ορθογώνιου τριγώνου δεν είναι κλασματικός (ρητός) αριθμός. Μ’ άλλα λόγια, ότι ο αριθμός \sqrt{2} δεν είναι κλασματικός (ρητός). Επειδή ήταν ο πρώτος μη κλασματικός αριθμός, εγκαινίασε μια νέα κατηγορία αριθμών, τους «άρρητους».

Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων