Ρητές εξισώσεις

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, Για την Α΄ Λυκείου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 23-08-2018

Όταν ο άγνωστος μιας εξίσωσης εμφανίζεται στον παρονομαστή ενός κλάσματος, τότε, η εξίσωση ονομάζεται κλασματική.

Στην ειδικότερη περίπτωση, όπου οι όροι της εξίσωσης έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή κλασμάτων, όπου τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, η εξίσωση λέγεται ρητή.

Κατά την επίλυση μιας ρητής εξίσωσης, αρχικά, καλό είναι να περιοριστεί το πεδίο αναζήτησης των λύσεών της, εξαιρώντας τις τιμές της μεταβλητής που μηδενίζουν τους εμφανιζόμενους παρονομαστές. Γι’ αυτό αποδεικνύεται, ιδιαίτερα, χρήσιμο οι παρονομαστές να έχουν προηγουμένως παραγοντοποιηθεί.  Η παραγοντοποίηση, άλλωστε, συμβάλλει στον υπολογισμό του ΕΚΠ των παρονομαστών, βήμα σημαντικό κατά τη μετέπειτα απαλοιφή τους. Πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους μιας κλασματικής εξίσωσης με το ΕΚΠ των παρονομαστών της, μετά την εκτέλεση των απλοποιήσεων που προκύπτουν, η αρχική εξίσωση μετασχηματίζεται σε πολυωνυμική εξίσωση όπου, στο πλαίσιο της Γ΄ Γυμνασίου, συνήθως, πρόκειται για μια εξίσωση πρώτου ή δεύτερου βαθμού.

Γενικά, είναι διαπιστωμένο ότι η ενότητα αυτή εμφανίζει σημαντικές δυσκολίες, κατά τη διδακτική προσέγγιση, αφού προϋποθέτει πλήρη κατανόηση για μια πληθώρα προ απαιτούμενων γνώσεων όπως ταυτότητες, παραγοντοποίηση, εύρεση ΕΚΠ, απλοποίηση, επιμεριστική ιδιότητα, αναγωγή όμοιων όρων, επίλυση εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθμού.

Η διαδραστική εφαρμογή που ακολουθεί, πραγματεύεται τα παραπάνω θέματα για ποικίλες ρητές εξισώσεις παρέχοντας τη δυνατότητα ελέγχου των απαντήσεων του χρήστη αλλά και κάποιων κατευθυντήριων γραμμών μέσα από κατάλληλες υποδείξεις.

Γραφική Επίλυση γραμμικών συστημάτων 2×2

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 05-08-2014

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε να ελέγξετε τις γνώσεις σας στη γραφική επίλυση γραμμικών συστημάτων 2×2.

Linear_systems_graphical_interpretation_game

Το πρόβλημα του ξυλουργού

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 02-07-2014

Ένας ξυλουργός σχεδιάζει την κατασκευή μιας στέγης ενός σπιτιού.

Carpenter's_problem

Το εγχείρημα τον φέρνει αντιμέτωπο με μια σειρά από ερωτήματα που, για να απαντηθούν με ακρίβεια, θα χρειαστούν γνώσεις από την Τριγωνομετρία, τη Γεωμετρία και την Άλγεβρα. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

Η παραβολή του … «Σώτου»

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 17-05-2014

Έχετε παρατηρήσει το σχήμα του κατόπτρου κατά την τελετή αφής της Ολυμπιακής φλόγας;

Αναγνωρίζετε την καμπύλη στον σχηματισμό του ουράνιου τόξου;

Μπορείτε να σχεδιάσετε την τροχιά ενός βλήματος όταν εκτοξεύεται πλάγια σε σχέση με τον ορίζοντα;

Στη φύση, η καμπύλη της παραβολής συναντάται από τις τροχιές κίνησης ως τον σχηματισμό λόφων και κοιλάδων.

Στις ανθρώπινες κατασκευές, όπως τα παραβολικά πιάτα των τηλεοράσεων, τα παραβολικά φανάρια αυτοκινήτων και μηχανών, τα παραβολικά κάτοπτρα, τα παραβολικά τηλεσκόπια, κ.α., αξιοποιείται μια πολύ σημαντική ιδιότητα της παραβολής, η ανακλαστική ιδιότητα, χάρη στην οποία διάφοροι τύποι κυμάτων, όπως φως, ήχος, ακτινοβολίες συγκεντρώνονται σ΄ένα σημείο, σε μια εστία.

Οι ακόλουθες διαδραστικές εφαρμογές αποσκοπούν στο να αναδείξουν την αξία της αλγεβρικής περιγραφής αυτής της καμπύλης.

Παραβολικό πιάτο

Ο Σώτος αναλαμβάνει να διερευνήσει πως μεταβάλλεται το ύψος ενός παραβολικού πιάτου τηλεόρασης, σε σχέση με το «πλάτος» του, για λογαριασμό της εταιρείας στην οποία εργάζεται. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

Parabolic_Dish

Εκπαιδεύοντας το δελφίνι

«Σώτος» είναι το όνομα ενός δελφινιού που, λόγω τραυματισμού, βρίσκεται σ΄ ένα κέντρο αποκατάστασης δελφινιών. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να ανακτήσει τις αλτικές του ικανότητες;

Dolphin's_training

Ισότητα τριγώνων

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 01-05-2013

Στη Γεωμετρία του Ευκλείδη, δύο τρίγωνα θεωρούνται ίσα όταν με κατάλληλη «μετατόπιση» συμπίπτουν. Εδώ, μετατόπιση σημαίνει αλλαγή της θέσης του τριγώνου, «άκαμπτα», χωρίς, δηλαδή, να αλλάζουν οι αποστάσεις για οποιαδήποτε δύο σημεία του.

Πρακτικά, η μετατόπιση ενός τριγώνου, με την έννοια που περιγράφηκε παραπάνω, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη βοήθεια ενός διαφανούς χαρτιού, αποτυπώνοντας, πάνω σ’ αυτό, το τρίγωνο κι έπειτα μεταφέροντας, στρέφοντας ή, ακόμη, αναστρέφοντας το χαρτί. Σε κάθε περίπτωση, από τη σκοπιά της Γεωμετρίας, το αποτυπωμένο τρίγωνο παραμένει αναλλοίωτο.

Αν ένα τρίγωνο μετατοπιστεί και οι κορυφές του ταυτιστούν, μία προς μία, με τις κορυφές ενός άλλου τριγώνου, τότε, τα δύο συμπίπτοντα τρίγωνα θα έχουν τα αντίστοιχα κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τους ίσα, ένα προς ένα, δηλαδή, τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες, μία προς μία, τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, μία προς μία, τις αντίστοιχες διαμέσους τους ίσες, μία προς μία, κ.τ.λ..

Αντίστροφα, ενδιαφέρον παρουσιάζει η διερεύνηση κριτηρίων, βάσει των οποίων μπορεί κανείς, προκαταβολικά, να είναι σε θέση να αποφανθεί αν δύο τρίγωνα είναι ή όχι ίσα. Πρόκειται για τα Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων τα οποία, αρχικά, θα μπορούσαν να αναζητηθούν μεταξύ κατάλληλων συνθηκών σε σχέση με τα κύρια στοιχεία των τριγώνων (πλευρές – γωνίες).

Δραστηριότητα: Στο ακόλουθο γραφικό,

Congruent_triangles

με το οποίο μπορείτε να αλληλεπιδράσετε, παριστάνονται δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. Το ΑΒΓ μπορεί να επιλεγεί είτε τυχαίο είτε ορθογώνιο.

Να επαναπροσδιορίσετε ορισμένα από τα στοιχεία του ΔΕΖ ώστε το τρίγωνο να μετασχηματιστεί σε τρίγωνο ίσο με το ΑΒΓ.

 

  • Να δοκιμάσετε, πάλι, αλλάζοντας, ενδεχομένως, τα αρχικά τρίγωνα. Να επιχειρήσετε να τροποποιήσετε κάποιες απ’ τις συνθήκες που επιλέξατε.
  • Να αφαιρέσετε τυχόν περιττές συνθήκες και να καταγράψετε  τις απαραίτητες.
  • Να βεβαιωθείτε ότι η ισότητα των τριγώνων επιβάλλεται απ’ τις συνθήκες, που κάθε φορά επιλέγετε, κι ότι δεν είναι απλή σύμπτωση.
  • Πειραματιστείτε …

Ανακαλύψατε κάποιο κριτήριο;

Άσκηση 1: Να προσπαθήσετε να διατυπώσετε κατάλληλες συνθήκες σε σχέση και με τα δευτερεύοντας στοιχεία των τριγώνων (διάμεσοι, ύψη, διχοτόμοι), ώστε δύο τρίγωνα να είναι ίσα.

Άσκηση 2: Η έννοια της ισότητας επεκτείνεται με τον ίδιο τρόπο και στα τετράπλευρα. Να προσπαθήσετε να διατυπώσετε κριτήριο ισότητας τετραπλεύρων αξιοποιώντας κάποιο από τα κριτήρια ισότητας τριγώνων που ανακαλύψατε προηγουμένως.

(Υπόδειξη: Βρείτε πρώτα κατάλληλα τρίγωνα που «κρύβονται» στα τετράπλευρά σας.)

Αναζήτηση «ταυτοτήτων»…

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 02-12-2012

Στα Μαθηματικά, μια ισότητα που περιέχει μεταβλητές και ισχύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα.

Ορισμένες αξιοσημείωτες ταυτότητες αναδύονται μέσα από γεωμετρικά σχήματα.

Αλληλεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό,

Identities_Seeking

μπορείτε να επεξεργαστείτε τις ακόλουθες δραστηριότητες και, γιατί όχι, να αναζητήσετε τη δική σας ταυτότητα …

Τετράγωνο «αθροίσματος»

Δραστηριότητα 1 Να τοποθετήσετε δύο τετράγωνα με τέτοιον τρόπο, έτσι, ώστε να σκιαγραφηθεί το μικρότερο τετράγωνο το οποίο «περιέχει» το «άθροισμα» τους.

Τι άλλο «περιέχει» το συγκεκριμένο τετράγωνο εκτός από το «άθροισμα» των αρχικών τετραγώνων;

Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας;

Τετράγωνο «διαφοράς»

Δραστηριότητα 2 Να τοποθετήσετε δύο τετράγωνα με τέτοιον τρόπο, έτσι, ώστε να σκιαγραφηθεί το μεγαλύτερο τετράγωνο το οποίο «περιέχεται» στη «διαφορά» τους.

Τι άλλο «περιέχει» η «διαφορά» των αρχικών τετραγώνων εκτός από το συγκεκριμένο τετράγωνο;

Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας;

«Διαφορά» τετραγώνων

Δραστηριότητα 3 Να τοποθετήσετε δύο τετράγωνα με τέτοιον τρόπο, έτσι, ώστε να σκιαγραφηθεί ένα σχήμα που παριστάνει τη «διαφορά» τους, το οποίο να μπορεί να μετασχηματιστεί σε ένα σχήμα προσδιορίσιμου εμβαδού.

Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας;

Ο Θαλής μετρά την πυραμίδα του Χέοπα (η ταινία …)

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Γυμνασίου, Σινέ Μακρυκάπας Γ΄ Γυμνασίου | , στις 04-04-2011

Η μέτρηση του ύψους της πυραμίδας του Χέοπα από τον Θαλή όπως προβλήθηκε, τη χρονιά 2010 – 2011, στη Γ΄ Γυμνασίου του Γυμνασίου Μακρυκάπας, από εδώ.

Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων