Ρητές εξισώσεις

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, Για την Α΄ Λυκείου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 23-08-2018

Όταν ο άγνωστος μιας εξίσωσης εμφανίζεται στον παρονομαστή ενός κλάσματος, τότε, η εξίσωση ονομάζεται κλασματική.

Στην ειδικότερη περίπτωση, όπου οι όροι της εξίσωσης έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή κλασμάτων, όπου τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, η εξίσωση λέγεται ρητή.

Κατά την επίλυση μιας ρητής εξίσωσης, αρχικά, καλό είναι να περιοριστεί το πεδίο αναζήτησης των λύσεών της, εξαιρώντας τις τιμές της μεταβλητής που μηδενίζουν τους εμφανιζόμενους παρονομαστές. Γι’ αυτό αποδεικνύεται, ιδιαίτερα, χρήσιμο οι παρονομαστές να έχουν προηγουμένως παραγοντοποιηθεί.  Η παραγοντοποίηση, άλλωστε, συμβάλλει στον υπολογισμό του ΕΚΠ των παρονομαστών, βήμα σημαντικό κατά τη μετέπειτα απαλοιφή τους. Πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους μιας κλασματικής εξίσωσης με το ΕΚΠ των παρονομαστών της, μετά την εκτέλεση των απλοποιήσεων που προκύπτουν, η αρχική εξίσωση μετασχηματίζεται σε πολυωνυμική εξίσωση όπου, στο πλαίσιο της Γ΄ Γυμνασίου, συνήθως, πρόκειται για μια εξίσωση πρώτου ή δεύτερου βαθμού.

Γενικά, είναι διαπιστωμένο ότι η ενότητα αυτή εμφανίζει σημαντικές δυσκολίες, κατά τη διδακτική προσέγγιση, αφού προϋποθέτει πλήρη κατανόηση για μια πληθώρα προ απαιτούμενων γνώσεων όπως ταυτότητες, παραγοντοποίηση, εύρεση ΕΚΠ, απλοποίηση, επιμεριστική ιδιότητα, αναγωγή όμοιων όρων, επίλυση εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθμού.

Η διαδραστική εφαρμογή που ακολουθεί, πραγματεύεται τα παραπάνω θέματα για ποικίλες ρητές εξισώσεις παρέχοντας τη δυνατότητα ελέγχου των απαντήσεων του χρήστη αλλά και κάποιων κατευθυντήριων γραμμών μέσα από κατάλληλες υποδείξεις.

Σχήμα Horner

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου | , στις 21-07-2017

Η πραγματοποίηση της διαίρεσης ενός πολυωνύμου, μ’ ένα διαιρέτη της μορφής x-\rho, μπορεί να επιτευχθεί, ελαττώνοντας τον αριθμό των απαιτούμενων πράξεων, που απαιτείται στο συνήθη αλγόριθμο της γενικότερης διαίρεσης δύο πολυωνύμων, με μια διαδικασία η οποία είναι γνωστή ως σχήμα Horner, προς τιμή του Βρετανού μαθηματικού William George Horner (9 Ιουνίου 1786 – 22 Σεπτεμβρίου 1837), μολονότι, μάλλον, ήταν γνωστή 600 χρόνια νωρίτερα στον Κινέζο μαθηματικό Qin Jiushao.

Μπορείτε, άραγε, να εικάσετε πως προκύπτουν το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου {{{\alpha }_{\nu }}{{x}^{\nu }}+{{\alpha }_{{\nu -1}}}{{x}^{{\nu -1}}}+{{\alpha }_{{\nu -2}}}{{x}^{{\nu -2}}}+...+{{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\alpha }_{1}}x+{{\alpha }_{0}}} όταν ο διαιρέτης είναι της μορφής x-\rho;

Να παρατηρήσετε τα διαδοχικά βήματα, κατά την εφαρμογή του γνωστού αλγορίθμου, σε μια προσπάθεια να βελτιωθούν ορισμένες διεργασίες αλλά και να αφαιρεθούν κάποιες περιττές, ίσως, συμβολικές παραστάσεις.

\begin{array}{*{20}{l}} {{{\alpha }_{\nu }}{{x}^{\nu }}+{{\alpha }_{{\nu -1}}}{{x}^{{\nu -1}}}+{{\alpha }_{{\nu -2}}}{{x}^{{\nu -2}}}+...+{{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\alpha }_{1}}x+{{\alpha }_{0}}} \\ {\underline{{-{{\alpha }_{\nu }}{{x}^{\nu }}+\rho {{\alpha }_{\nu }}{{x}^{{\nu -1}}}\text{}}}} \\ {\text{ (}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{)}{{x}^{{\nu -1}}}+{{\alpha }_{{\nu -2}}}{{x}^{{\nu -2}}}+...+{{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\alpha }_{1}}x+{{\alpha }_{0}}\text{ }} \\ {\underline{{-\text{(}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{)}{{x}^{{\nu -1}}}+\rho \text{(}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{)}{{x}^{{\nu -2}}}\text{ }}}} \\ {\text{(}{{\alpha }_{{\nu -2}}}+\rho \text{(}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{))}{{x}^{{\nu -2}}}+...+{{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\alpha }_{1}}x+{{\alpha }_{0}}} \\ {\underline{{.............................................................................}}} \\ \begin{array}{l}\text{ }...\\\upsilon =.......................................................................\end{array} \end{array}\left| \begin{array}{l}\underline{{x-\rho }}\\{{\alpha }_{\nu }}{{x}^{{\nu -1}}}+\text{(}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{)}{{x}^{{\nu -2}}}+...\text{+}...............\\\\\\\\\\\\\end{array} \right.

Ενδεχομένως, κατά την προηγούμενη ρουτίνα, να αναγνωρίζεται η χρησιμότητα της συμπλήρωσης μιας διάταξης της ακόλουθης μορφής,

\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\alpha }_{\nu }}} & {{{\alpha }_{{\nu -1}}}} & {{{\alpha }_{{\nu -2}}}} & {{{\alpha }_{{\nu -3}}}} & {...} & {{{\alpha }_{1}}} & {{{\alpha }_{0}}} \\ \downarrow & {\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\rho {{\alpha }_{\nu }}} & {\rho ({{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }})} & {..................} & {...} & {} & {} \\ {{{\alpha }_{\nu }}} & {{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}} & {{{\alpha }_{{\nu -2}}}+\rho ({{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }})} & {..................} & {...} & {..................} & {..................} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {\text{ }\rho } \\ {} \\ {} \end{array}

της οποίας τα στοιχεία τοποθετούνται ως εξής:

  • Πρώτη σειρά: Τα κελιά της απαρτίζονται από τους συντελεστές του διαιρετέου, κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του , από τα αριστερά προς τα δεξιά. Ακόμη, λίγο δεξιότερα τοποθετείται η τιμή του  \rho.

Έπειτα, ενώ το πρώτο κελί της δεύτερης σειράς, απλώς, «προετοιμάζει την κάθοδο» του στοιχείου του κελιού υπεράνω του, το πρώτο κελί της τρίτης σειράς είναι το ίδιο με το πρώτο στοιχείο της πρώτης σειράς.

  • Δεύτερη σειρά: Εκτός του πρώτου, τα κελιά της απαρτίζονται από τα γινόμενα του \rho επί το κελί της τρίτης σειράς που βρίσκεται στην αμέσως προηγούμενη στήλη.

  • Τρίτη σειρά: Εκτός του πρώτου, τα κελιά της προκύπτουν ως αθροίσματα των στοιχείων της πρώτης και δεύτερης σειράς.

Στην τελευταία σειρά του σχήματος Horner, έως το προτελευταίο κελί, ανακύπτουν οι συντελεστές του πηλίκου. Μπορείτε να μαντέψετε τι αποτελεί το ακροτελεύτιο κελί;

Η διαδικασία της διαίρεσης πολυωνύμων συμβάλλει, εκτός των άλλων, στην παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου, οπότε και στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων. Έτσι, το σχήμα Horner προσφέρει, σε αρκετές περιπτώσεις, ένα κομψό μηχανισμό επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2.

Από την άλλη πλευρά το Σχήμα Horner, για να λειτουργήσει, κατά την επίλυση εξισώσεων, προϋποθέτει την ύπαρξη μιας γνωστής ρίζας.

Στο τελευταίο μπορεί να αποδειχτεί ιδιαίτερα χρήσιμο το Θεώρημα Ακέραιων ριζών, στην περίπτωση, βέβαια, όπου οι συντελεστές των όρων των πολυωνυμικών εξισώσεων είναι ακέραιοι.
Όλα τα παραπάνω μπορούν να διαπραγματευτούν με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής.

Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων