Καρδιοειδής καμπύλη

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Γεωμετρία Α΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 11-05-2019

Από προηγούμενες τάξεις, έχει γίνει φανερό ότι, με τη βοήθεια κατάλληλων συστημάτων συντεταγμένων, διάφορα γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν με τη βοήθεια εξισώσεων. Για παράδειγμα, η εξίσωση y=\alpha x +\beta παριστάνει ευθεία, η εξίσωση y=\alpha x^2,\,\alpha\neq0 παριστάνει παραβολή, η εξίσωση y=\frac{\alpha}{x},\,\alpha,\,x\neq0 παριστάνει υπερβολή κ. ά..

Ωστόσο, ίσως να μην έχει γίνει απόλυτα κατανοητός ο τρόπος με τον οποίο ένα γεωμετρικό αντικείμενο θα μπορούσε να μετασχηματιστεί σε κάποιο άλλο γεωμετρικό αντικείμενο. Ενδεικτικά, πως μια ευθεία μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια άλλη ευθεία, με διαφορετική κλίση; Πως μια παραβολή μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια νέα παραβολή, περισσότερο ή λιγότερο κλειστή; Πως ένας κύκλος μπορεί να μετασχηματιστεί σ’ έναν «πεπλατυσμένο» ή «επιμηκυμένο» κύκλο (έλλειψη) ή, προχωρώντας λίγο πιο πέρα, πως μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια «καρδιά»;

Ενδεχομένως, τα προηγούμενα ερωτήματα να συνδέονται και να είναι απλώς διαφορετικές πτυχές του ίδιου προβλήματος.

Αξίζει, λοιπόν, να προβληματιστεί κανείς πάνω στις αλλαγές που θα έπρεπε να συντελεστούν στους τύπους των αντίστοιχων εξισώσεων οι οποίες θα μπορούσαν να επιφέρουν αυτούς τους μετασχηματισμούς.

Ενδιαφέρον, βέβαια, παρουσιάζει και το αντίστροφο ερώτημα:

Τι αντίκτυπο, λόγου χάρη, θα είχε στη διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου, δηλαδή στην ευθεία με εξίσωση y=x, μια «παρέμβαση» στον προηγούμενο τύπο, θέτοντας όπου x το 2x;

Αλγεβρικά, προφανώς, θα είχαμε την εξίσωση y=2x, η οποία αναπαριστά μια νέα ευθεία, ωστόσο, πως αυτό θα μπορούσε να ερμηνευτεί γεωμετρικά συσχετίζοντας τις δύο ευθείες; Φαίνεται, λοιπόν, ότι, σε μια τέτοια περίπτωση, ο άξονας των y «διαστέλλεται» συμπαρασύροντας τα σημεία της ευθείας y=x στις νέες θέσεις τους πάνω στην ευθεία y=2x. Τροποντινά, αλλάζει η κλίμακα των αξόνων και η αλλαγή αυτή κατευθύνεται από την αναλογία 1:2.

Απώτερος στόχος της διαδραστικής εφαρμογής που ακολουθεί είναι να σας βοηθήσει στην εύρεση της εξίσωσης μιας καμπύλης που το σχήμα της μοιάζει με το σχήμα της καρδιάς.  Όπως θα δείτε, ο συγκεκριμένος τύπος του καρδιοειδούς θα μπορούσε να ανακύψει «τροποποιώντας», κατάλληλα, έναν «εύπλαστο» κύκλο, αναδεικνύοντας, έτσι, την αντίστοιχη εξίσωση. Βέβαια, απαραίτητη προϋπόθεση είναι η γνώση της εξίσωσης του κύκλου, η οποία στην ειδική περίπτωση του κύκλου (O,\rho), αποδεικνύεται, εύκολα, με χρήση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, ότι είναι x^2+y^2=\rho^2.

Όμως, προτού φτάσετε στο σημείο να αναζητήσετε την εξίσωση του καρδιοειδούς, θα έχετε τη δυνατότητα να εξασκηθείτε πάνω στην κεντρική ιδέα της μεθόδου με απλούστερους μετασχηματισμούς, για ορισμένες βασικές γραμμές , με αφετηρία την ευθεία.

Μη μου τους «κύνους» τάραττε …

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Α΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου | , στις 18-12-2016

Ένας ήσυχος περίπατος, δύο μαθητών, εξελίσσεται σε εφιάλτη όταν τα δύο σκυλάκια, που έχουν μαζί τους, ετοιμάζονται να διεκδικήσουν ένα κόκκαλο, που βρέθηκε στο δρόμο τους.
Θα καταφέρουν, τα δύο παιδιά, να χειριστούν, σε διάφορες περιπτώσεις, τα δύο σκυλάκια ή το εγχείρημα θα αποδειχτεί ένα δυσεπίλυτο γεωμετρικό πρόβλημα;

Κύκλοι τριγώνου

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Α΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου | , στις 04-02-2016

Πότε τρία μη συνευθειακά σημεία του επιπέδου είναι ομοκυκλικά, δηλαδή, πότε υπάρχει κύκλος που διέρχεται από αυτά τα σημεία; Πως θα μπορούσε να κατασκευαστεί, με ακρίβεια, το κέντρο του και ποια θα είναι η ακτίνα του;

Επίσης, για τρία μη συνευθειακά σημεία του επιπέδου, με ποιο τρόπο θα μπορούσε να γίνει η κατασκευή ενός κύκλου που το εμβαδό του είναι μέγιστο μεταξύ όλων των κύκλων που βρίσκονται στο εσωτερικό του τριγώνου που ορίζεται από τα τρία σημεία;

Ένας μηχανικός, μάλλον, θα χρειαστεί την καθοδήγησή σας, για να ολοκληρώσει το σχέδιό του, στην παρακάτω διαδραστική εφαρμογή.

Mechanic's_plan

Όπως θα διαπιστώσετε, θα πρέπει να απαντήσει στα παραπάνω ερωτήματα σχεδιάζοντας, τροποντινά , τον περιγεγραμμένο και τον εγγεγραμμένο κύκλο τριγώνων, βρίσκοντας, πρώτα απ’ όλα, τα αντίστοιχα κέντρα τους: το περίκεντρο και το έγκεντρο.
Μπορείτε να βοηθήσετε;

 

Κανόνας και διαβήτης: «Τυραννία» σε «καθεστώς δημοκρατικό» …

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Α΄ Λυκείου, Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου | , στις 05-01-2016

Euklid

Αναρωτηθήκατε, ποτέ, γιατί, κατά τις γεωμετρικές κατασκευές, δεν επιτρέπεται χρήση άλλων οργάνων εκτός από τον κανόνα και τον διαβήτη;

Τι επιτάσσει αυτόν τον «καταδυναστικό» περιορισμό; Μπορεί να παρακαμφθεί, στο πλαίσιο της (Ευκλείδειας) Γεωμετρίας ή πρέπει να θεωρείται απαρέγκλιτος;

Είναι απότοκο της παράδοσης των αρχαίων Ελλήνων Γεωμετρών; Είναι μια αδιαφιλονίκητη πεποίθηση, συνυφασμένη με την αρχαία ελληνική φιλοσοφία, ότι τα «πάντα» θα μπορούσαν να παραχθούν από δύο βασικά σχήματα;

Είναι ζήτημα καθαρά μαθηματικό;

Είναι ζήτημα πολιτισμικό;

Είναι θέμα αρχών ή αξιωμάτων;

Είναι ιδεοληψία, είναι εμμονή, είναι ουτοπία, είναι … τυραννία;

Ο κανόνας κι ο διαβήτης, οι Διόσκουροι των γεωμετρικών οργάνων, πηγάζουν, εννοιολογικά, από τα σπλάχνα της Γεωμετρίας, ενσαρκώνοντας τα δύο πρωτογενή γεωμετρικά αντικείμενα: την ευθεία και τον κύκλο.
Η αναζήτηση των στοιχειωδών, των σπερμικών αρχών ή των δομικών συστατικών, καθώς κι η μεθοδολογία παραγωγής ενός συνόλου εννοιών, οντοτήτων ή υποστάσεων, με βάση τα κυρίαρχα, απαντάται σε διάφορα εννοιολογικά, υλικά και επιστημονικά πλαίσια:

  • Πόσα είναι τα χρώματα και ποια είναι τα επτά κύρια χρώματα του ηλιακού φάσματος;
  • Πώς λέγεται το στοιχειώδες σωμάτιο ύλης;
  • Τι χρησιμοποιούμε για να παράγουμε φθόγγους, λέξεις, φράσεις, προτάσεις κ.ο.κ.;
  • Πώς λέγεται η μικρότερη στοιχειώδης μονάδα που εμφανίζει τα χαρακτηριστικά της ζωής και ποια η σημασία της στη Βιολογία;
  • Τι υφάσματα μπορούμε να κατασκευάσουμε χρησιμοποιώντας απλώς και μόνο βελόνα και κλωστή;
  • Τι σημαίνει πρώτος αριθμός και τι ανάλυση  ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων;
  • Ποια ήταν τα βασικά στοιχεία που συνθέτουν τα υλικά σώματα σύμφωνα με τις διάφορες φιλοσοφικές θεωρίες των Αρχαίων Ελλήνων;
Ποιες είναι οι «κοινές έννοιες» και τα «αιτήματα» της Γεωμετρίας;
Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής καλείστε να πραγματοποιήσετε ορισμένες βασικές γεωμετρικές κατασκευές, με χρήση, αποκλειστικά, κανόνα και διαβήτη.

Geometrical_constructions

 

Η «ρίζα» του – αναγκαίου – κακού …

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Γεωμετρία Α΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου | , στις 04-09-2014

Θα μπορούσατε να τοποθετήσετε, κατάλληλα, τέσσερα ίδια τετράγωνα, χωρίς αλληλεπικαλύψεις, έτσι, ώστε να κατασκευάσετε ένα νέο τετράγωνο; Είναι δυνατόν να γίνει το ίδιο με εννιά ίδια τετράγωνα; Με δεκαέξι; Με δύο; Τι παρατηρείτε;

Ο όρος «τετραγωνική ρίζα», για μια έννοια που συνήθως χρησιμοποιείται στο πλαίσιο αλγεβρικών διαδικασιών, έτσι κι αλλιώς, προϊδεάζει για δεσμούς της υπόστασής της με τη Γεωμετρία. Έχετε κάποια υπόννοια για το ποια θα μπορούσε να είναι η «ρίζα» ενός τετραγώνου;

Η σύνδεση με τη Γεωμετρία μπορεί να γίνει σχετικά εύκολα λ.χ. για τις τετραγωνικές ρίζες (τετράγωνων) αριθμών όπως το 4, το 9, το 16, το 25 κλπ. Για παράδειγμα, για τον αριθμό 4, η τετραγωνική του ρίζα δεν είναι τίποτε άλλο παρά η πλευρά τετραγώνου με εμβαδό 4. Εναλλακτικά, πρόκειται για την πλευρά ενός τετραγώνου που έχει εμβαδό όσο το συνολικό εμβαδό τεσσάρων ίδιων τετραγώνων εμβαδού 1.

Στα αρχαία Ινδικά εγχειρίδια «Sulbasutra», που αντλούν γνώσεις οι οποίες χρονολογούνται, ίσως, από το 2000 π.Χ. και μεταφέρθηκαν μέσω της προφορικής παράδοσης, περιγράφονται τρόποι κατασκευής βωμών και ναών, ενώ, ταυτόχρονα, δίνεται το απαραίτητο «τεχνικό» υπόβαθρο˙ μια συλλογή εμπειρικών «κανόνων» («Sutra»), ουσιαστικά, από το πεδίο που αργότερα θα στοιχειοθετούσε τη «Γεωμετρία». Προφανώς, σε κάποια από τις κατασκευές των αρχαίων Ινδών, χρειάστηκε ο υπολογισμός της διαγωνίου ενός τετραγώνου:

«Το μέτρο της πλευράς του πρέπει να αυξηθεί κατά το ένα τρίτο του κι αυτό (το ένα τρίτο του) ξανά με το ένα τέταρτό του μειωμένο κατά το τριακοστό τέταρτο (αυτού του τετάρτου)˙ αυτή είναι η διαγώνιος ενός τετραγώνου …»

Με σύγχρονη ορολογία και συμβολισμό:

    \[ \sqrt{2}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot4}-\frac{1}{3\cdot4\cdot34}\simeq 1.4142..., \]


Αλήθεια πως ήταν σε θέση οι αρχαίοι Ινδοί να προσδιορίσουν με τόσο μεγάλη ακρίβεια την εύρεση του \sqrt{2}; Ποιές πρωταρχικές γεωμετρικές διαδικασίες θα μπορούσαν να έχουν αξιοποιήσει; Άραγε, κατά την προσέγγισή τους, να αντιλήφθηκαν την ιδιαιτερότητα έκφρασης αυτού του αριθμού;

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής,

Sulbasutram_Square_Root_Of_Two

μπορείτε, ίσως, με μέθοδο παρόμοια μ΄ αυτήν που ενδεχομένως να ακολουθούσαν οι αρχαίοι Ινδοί, να βρείτε τρόπο έκφρασης των \sqrt{2},\sqrt{3} και \sqrt{5}.

Αναφορές

  1. Henderson D.W., Square Roots in the Sulbasutra, Department of Mathematics, Cornell University.
Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων