Ρητές εξισώσεις

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, Για την Α΄ Λυκείου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 23-08-2018

Όταν ο άγνωστος μιας εξίσωσης εμφανίζεται στον παρονομαστή ενός κλάσματος, τότε, η εξίσωση ονομάζεται κλασματική.

Στην ειδικότερη περίπτωση, όπου οι όροι της εξίσωσης έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή κλασμάτων, όπου τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, η εξίσωση λέγεται ρητή.

Κατά την επίλυση μιας ρητής εξίσωσης, αρχικά, καλό είναι να περιοριστεί το πεδίο αναζήτησης των λύσεών της, εξαιρώντας τις τιμές της μεταβλητής που μηδενίζουν τους εμφανιζόμενους παρονομαστές. Γι’ αυτό αποδεικνύεται, ιδιαίτερα, χρήσιμο οι παρονομαστές να έχουν προηγουμένως παραγοντοποιηθεί.  Η παραγοντοποίηση, άλλωστε, συμβάλλει στον υπολογισμό του ΕΚΠ των παρονομαστών, βήμα σημαντικό κατά τη μετέπειτα απαλοιφή τους. Πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους μιας κλασματικής εξίσωσης με το ΕΚΠ των παρονομαστών της, μετά την εκτέλεση των απλοποιήσεων που προκύπτουν, η αρχική εξίσωση μετασχηματίζεται σε πολυωνυμική εξίσωση όπου, στο πλαίσιο της Γ΄ Γυμνασίου, συνήθως, πρόκειται για μια εξίσωση πρώτου ή δεύτερου βαθμού.

Γενικά, είναι διαπιστωμένο ότι η ενότητα αυτή εμφανίζει σημαντικές δυσκολίες, κατά τη διδακτική προσέγγιση, αφού προϋποθέτει πλήρη κατανόηση για μια πληθώρα προ απαιτούμενων γνώσεων όπως ταυτότητες, παραγοντοποίηση, εύρεση ΕΚΠ, απλοποίηση, επιμεριστική ιδιότητα, αναγωγή όμοιων όρων, επίλυση εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθμού.

Η διαδραστική εφαρμογή που ακολουθεί, πραγματεύεται τα παραπάνω θέματα για ποικίλες ρητές εξισώσεις παρέχοντας τη δυνατότητα ελέγχου των απαντήσεων του χρήστη αλλά και κάποιων κατευθυντήριων γραμμών μέσα από κατάλληλες υποδείξεις.

Εξισώσεις α΄ βαθμού

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 21-07-2018

Οι εξισώσεις, στη συνείδηση των περισσότερων μαθητών, είναι συνυφασμένες με τα ίδια τα Μαθηματικά και, σίγουρα, η ανάκλησή τους δεν προκαλεί, πάντοτε, τα πιο ευχάριστα συναισθήματα …

Αλλά, κι έξω απ’τον εκπαιδευτικό χώρο μπορεί, συχνά, κανείς να ακούσει να γίνεται λόγος γι’ αυτό το βαρύγδουπο φορτίο της σχολικής ζωής. Πλέον, συνήθως, είναι επιφορτισμένο να διαδραματίσει το ρόλο ενός μέτρου σύγκρισης για το βαθμό πολυπλοκότητας ενός προβλήματος, ή το βαθμό της δυσκολίας ενός εγχειρήματος, καθώς και να συσχετιστεί με τον απαιτητικό χαρακτήρα μιας προσπάθειας.

Απ’ τη μια πλευρά, αυτή η διαπίστωση  φανερώνει την εντύπωση που προκαλεί η ενότητα αυτή, ενώ, από την άλλη, εγείρει αρκετούς προβληματισμούς καταδεικνύοντας την ύπαρξη εγγενών αδυναμιών και ιδιαιτεροτήτων κατά τη διδακτική προσέγγιση.

Η χρησιμότητα της εξοικείωσης με ορισμένες απλές εξισώσεις πρώτου βαθμού, μάλλον, είναι αδιαπραγμάτευτη, ακόμη και για τους μικρότερους μαθητές, και η αντιμετώπιση ορισμένων προβλημάτων, από διάφορα πεδία, με το συστηματικό τρόπο που προσφέρουν, ίσως να πείσει και τον πιο δύσπιστο για την αδιαμφισβήτητη αξία τους.

Ωστόσο, το κεφάλαιο των εξισώσεων φαίνεται πολύπλοκο, στους μικρούς μαθητές του Γυμνασίου, διότι προϋποθέτει, πρώτα απ΄όλα, την κατανόηση της βασικής ορολογίας που το συνοδεύει, όπως α’ και β’ μέλος, γνωστές ποσότητες και άγνωστες ποσότητες, συντελεστής του αγνώστου, απαλοιφή παρονομαστών, απλοποίηση, επιμεριστική ιδιότητα, αναγωγή όμοιων όρων.

Στη συνέχεια, απαιτεί αναγνώριση των συμβολισμών και μια σχετική ευχέρεια κατά την εκτέλεση των μαθηματικών διεργασιών που επίκεινται με βάση τη μορφή της εξίσωσης. Στους αλγεβρικούς χειρισμούς περιλαμβάνονται ο  πολλαπλασιασμός όλων των όρων μιας εξίσωσης με το ΕΚΠ των παρονομαστών, που παρουσιάζονται, η εφαρμογή των απλοποιήσεων και της επιμεριστικής ιδιότητας, η αναγωγή όμοιων όρων, η  επιλογή, μεταφορά και η απόθεση όρων, από το ένα μέλος στο άλλο, με την ταυτόχρονη αλλαγή του προσήμου τους. Όλα αυτά υφαίνουν το σύνθετο χαρακτήρα του και δικαιολογούν, τροποντινά, κάποιες αστοχίες που παρατηρούνται κατά τον απολογισμό της διδασκαλίας του κεφαλαίου.

Στη διαδραστική εφαρμογή, που ακολουθεί, μπορείτε, υποστηρικτικά, να εξασκηθείτε με διάφορες εξισώσεις πρώτου βαθμού και με τις αντίστοιχες μεθόδους επίλυσής τους. Ίσως, να προσφέρεται, έτσι, ένας εναλλακτικός τρόπος διαπραγμάτευσης του συγκεκριμένου θέματος, με τα ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά που ενσωματώνει η ψηφιακή προσέγγιση. 

 

Τα γραφήματα των κωνικών τομών

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 20-07-2018

Αναγνωρίζετε τις γραμμές των διάφορων κωνικών τομών;

Θα μπορούσατε να αντιστοιχίσετε διάφορα γραφήματα, κωνικών τομών, στις εξισώσεις τους;

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, ίσως να επαναλάβετε ορισμένα βασικά συμπεράσματα της θεωρίας, σχετικά με τη μορφή αυτών των γραφημάτων και το πως σχετίζονται με τις εξισώσεις των αντίστοιχων κωνικών τομών.

 

 

Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων