Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου | , στις 13-01-2019

Εισαγωγή

Γιατί η εξέλιξη πολλών φαινομένων υπακούει στο νόμο της εκθετικής μεταβολής;

Πως ορίζεται και γιατί ο αριθμός του Euler είναι άρρηκτα συνδεδεμένος με αυτά τα εκθετικά φαινόμενα;

Ποια στοιχειώδης διαδικασία συντελείται στον πυρήνα αυτών των φαινομένων αναδεικνύοντας έναν απ’ τους διασημότερους αριθμούς στην ιστορία των Μαθηματικών;

Θα αποτελέσει ευχάριστη έκπληξη το γεγονός ότι, στο πλαίσιο της μελέτης του νόμου της εκθετικής μεταβολής, θα έρθουμε σε επαφή, τουλάχιστον περιγραφικά, με τις έννοιες της παραγώγου και του ολοκληρώματος, καθώς και με τη διασύνδεσή τους, ψηλαφίζοντας μέχρι και το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Εκθετική αύξηση

Ένας πληθυσμός εξελίσσεται έτσι, ώστε, το κάθε στοιχείο του να αναπαράγεται ακολουθώντας το εξής μοτίβο:

  • Το στοιχείο θα βλαστήσει ένα αντίγραφο του, μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα, γεγονός που το καθιστά «αρχέτυπο». Ωστόσο, επενεργούν οι εξής παράμετροι:
  • Η ανάπτυξη (μεταβολή) του αντιγράφου συμβαίνει αναλογικά με τη μεταβολή του χρόνου.
  • Το αντίγραφο, με τη σειρά του, κατά τη σταδιακή εξέλιξή του, αναπαράγεται με πανομοιότυπο τρόπο και αποτελεί το αρχέτυπο για το δικό του αντίγραφο.

Ποιος είναι ο τύπος που υπολογίζει τη συνολική ποσότητα του πληθυσμού με την παρέλευση του χρόνου;

Για να απαντηθεί το παραπάνω ερώτημα, θα εξεταστεί τι ακριβώς συμβαίνει, μεμονωμένα, με κάθε στοιχείο του πληθυσμού.

Για διευκόλυνση στους υπολογισμούς ας θεωρηθεί ως μονάδα του χρόνου το διάστημα που θα απαιτούνταν ώστε το στοιχείο να αναπαράγει το (ακέραιο) αντίγραφό του, με βάση την πρώτη προϋπόθεση.

Άραγε, μετά την παρέλευση αυτού του διαστήματος, δηλαδή μετά από χρόνο ίσο με \displaystyle{1}, το αρχέτυπο θα έχει μεταβληθεί μόνο κατά το αντίγραφό του;

Μη βιαστείτε να απαντήσετε καταφατικά στο παραπάνω ερώτημα.

Ίσως, πρώτιστα να πρέπει να ερμηνευτεί βαθύτερα το μοτίβο ανάπτυξης του πληθυσμού. Συγκεκριμένα, ας διερευνήσουμε τι θα συνέβαινε, διαδοχικά, μετά την παρέλευση, κάθε φορά, ενός ισόποσου διαστήματος \Delta t του χρόνου. Ειδικότερα, έστω ότι έχει παρέλθει ένα κλάσμα της μονάδας του χρόνου,

    \[\Delta t=\frac{1}{\nu }.\]

Να λάβετε υπόψη ότι το μοτίβο εξελίσσεται διαχρονικά, με συνεχή τρόπο, καθώς και ότι τα αντίγραφα «ανατοκίζουν» την αρχική ποσότητα του κάθε αρχέτυπου. Τροποντινά, το κάθε αντίγραφο δημιουργείται από το μηδέν, αναπτύσσεται και ολοκληρώνει την ανάπτυξή του στο ακέραιο σταδιακά και αναλογικά με την πάροδο του χρόνου. Αυτό θα γίνει και με το αντίγραφο του αντιγράφου κ.ο.κ.. Επομένως, όσο μικρότερο είναι αυτό το διάστημα \Delta t, τόσο πιο πιστή θα είναι η ακόλουθη αναλυτική διαδικασία.

0\to \frac{1}{\nu }: Το αρχέτυπο στοιχείο θα αυξηθεί κατά \frac{1}{\nu } της ποσότητάς του, δηλαδή η συνολική του ποσότητα θα είναι πλέον: 1+\frac{1}{\nu }\centerdot 1=1+\frac{1}{\nu } στοιχεία.

\frac{1}{\nu }\to \frac{2}{\nu }: Το αρχέτυπο στοιχείο θα αυξηθεί κατά \frac{1}{\nu } της ποσότητάς του, δηλαδή η νέα του ποσότητα θα είναι πλέον: 1+\frac{1}{\nu } στοιχεία. Ομοίως, θα αυξηθεί το μέρος του α΄ αντιγράφου του, οπότε η νέα ποσότητα του α΄ αντιγράφου του θα είναι πλέον:

    \[ \frac{1}{\nu }+\frac{1}{\nu }\centerdot \frac{1}{\nu }=\frac{1}{\nu }\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right) \]

στοιχεία.

Συνεπώς, η συνολική του ποσότητα, θα είναι,

    \[ 1+\frac{1}{\nu }+\frac{1}{\nu }\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)=\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)\centerdot \left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)={{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{2}} \]

στοιχεία.

\frac{2}{\nu }\to \frac{3}{\nu }: Το αρχέτυπο στοιχείο θα αυξηθεί κατά \frac{1}{\nu } της ποσότητάς του, δηλαδή η νέα του ποσότητα θα είναι πλέον: 1+\frac{1}{\nu } στοιχεία. Ομοίως, θα αυξηθεί το α΄ αντίγραφό του, οπότε η νέα ποσότητα του α΄ αντιγράφου του θα είναι,

    \[ \frac{1}{\nu }+\frac{1}{\nu }\centerdot \frac{1}{\nu }=\frac{1}{\nu }\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right) \]

στοιχεία.

Επιπλέον, θα αυξηθεί το β΄ αντίγραφό του, επομένως η νέα ποσότητα του β΄ αντιγράφου του θα είναι,

    \[ \frac{1}{\nu }\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)+\frac{1}{\nu }\centerdot \frac{1}{\nu }\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)=\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)\left( {\frac{1}{\nu }+\frac{1}{\nu }\centerdot \frac{1}{\nu }} \right)=\frac{1}{\nu }{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{2}} \]

στοιχεία.

Συνεπώς, η συνολική του ποσότητα, θα είναι,

    \[ 1+\frac{1}{\nu }+\frac{1}{\nu }\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)+\frac{1}{\nu }{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{2}}=\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)\centerdot \left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)+\frac{1}{\nu }{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{2}} \]

δηλαδή,

    \[ {{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{2}}\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)={{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{3}} \]

στοιχεία.

\frac{{\nu -1}}{\nu }\to 1: Επαγωγικά, συνάγεται ότι η συνολική ποσότητα του στοιχείου, στο τέλος της μονάδας του χρόνου, θα είναι, {{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }} στοιχεία.

Είναι φανερό ότι η επιθυμία μας για μια απάντηση όσο το δυνατόν πλησιέστερη στην ακριβή ποσότητα του στοιχείου, με βάση το μοτίβο που περιγράφηκε, καλύπτεται μόνο από την αντίστοιχη εξάντληση της δυνατότητας για «απεριόριστη αύξηση» του \nu.

Ο αριθμός του Euler ως όριο

Ο αριθμός – απάντηση που αναζητούμε δεν είναι τίποτε άλλο από τον περίφημο αριθμό του Euler, ο οποίος προκύπτει από τον υπολογισμό της τιμής που προσεγγίζει η παράσταση {{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}, καθώς το \nu αυξάνεται απεριόριστα. Αυτή η «οριακή» τιμή της παράστασης {{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}, είναι ο αριθμός του Euler, δηλαδή, συμβολικά,

    \[ e=\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}=2,718... \]

(Ενδεικτικά, για \nu =10000, {{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}={{\left( {1+\frac{1}{{10000}}} \right)}^{{10000}}}\cong 2,718.)

Η εκθετική συνάρτηση {{e}^{t}}

Συνεχίζοντας με το ίδιο σκεπτικό, γίνεται φανερό ότι στο τέλος της δεύτερης μονάδας του χρόνου, η ποσότητα του στοιχείου, μετά από την εφαρμογή ορισμένων εύλογων ιδιοτήτων των ορίων, θα είναι,

    \[ \underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{{2\nu }}}=\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {{{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}}^{\nu }}} \right]}^{2}}={{e}^{2}} \]

κ.ο.κ., μετά από t χρόνο,

    \[ \underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{{t\nu }}}=\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {{{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}}^{\nu }}} \right]}^{t}}={{e}^{t}}. \]

Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής

Αν τώρα η αρχική ποσότητα του πληθυσμού ήταν {{Q}_{0}}, τότε, μετά από χρόνο t, η ποσότητα Q\left( t \right), προφανώς, θα δίνεται από τον τύπο, Q\left( t \right)={{Q}_{0}}{{e}^{t}}.

Στη γενικότερη περίπτωση, που ο χρόνος που απαιτείται για την πλήρη «αντιγραφή» του μεμονωμένου στοιχείου είναι \mu, ισχύει,

    \[ Q\left( t \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{\frac{t}{\mu }}}}. \]

(Πράγματι, ανά τακτά χρονικά διαστήματα ίσα με \mu, ο παραπάνω τύπος διαδοχικά δίνει,

    \[ Q\left( \mu \right)={{Q}_{0}}e,\text{ }Q\left( {2\mu } \right)={{Q}_{0}}{{e}^{2}},\text{ }Q\left( {3\mu } \right)={{Q}_{0}}{{e}^{3}},\text{ }\ldots \]

συμπεράσματα στα οποία καταλήξαμε κατά την προηγούμενη ανάλυση.)

Θέτοντας, c=\frac{1}{\mu }, προκύπτει, τελικά, ότι Q\left( t \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{ct}}}.

Ο τελευταίος τύπος είναι γνωστός ως «νόμος της εκθετικής μεταβολής». (Εδώ ειδικά, πρόκειται για το νόμο της εκθετικής αύξησης, αφού c=\frac{1}{\mu }>0.)

Εκθετική μείωση

Αντίστροφα, ένας πληθυσμός εξελίσσεται έτσι, ώστε το κάθε στοιχείο του να αποσβένεται ακολουθώντας το εξής μοτίβο:

  • Το στοιχείο θα εξαντλούταν, πλήρως, μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα, γεγονός που το καθιστά «μειωτέο». Ωστόσο, επενεργούν οι εξής παράμετροι:
  • Η απόσβεση (μεταβολή) του στοιχείου συμβαίνει αναλογικά με τη μεταβολή του χρόνου.
  • Το εναπομείναν στοιχείο, με τη σειρά του, κατά τη σταδιακή απόσβεσή του, μειώνεται με πανομοιότυπο τρόπο και αποτελεί το μειωτέο για το δικό του εναπομείναν στοιχείο.

Παρόμοια ανακύπτει το ερώτημα:

Ποιος είναι ο τύπος που υπολογίζει τη συνολική ποσότητα του πληθυσμού με την παρέλευση του χρόνου;

Όπως προηγούμενα, θα εξεταστεί τι ακριβώς συντελείται, μεμονωμένα, σε κάθε στοιχείο του πληθυσμού.

Αντίστοιχα, θα θεωρηθεί ως μονάδα του χρόνου το διάστημα που θα απαιτούνταν ώστε το στοιχείο να εξαντληθεί (πλήρως) με βάση την πρώτη προϋπόθεση.

Άραγε, μετά την παρέλευση αυτού του διαστήματος, δηλαδή μετά από χρόνο ίσο με 1, το μειωτέο θα έχει πλήρως εξαντληθεί;

Κι εδώ δεν πρέπει να βιαστείτε να απαντήσετε καταφατικά. Αντίθετα, είναι καλύτερο να διερευνηθεί τι θα συνέβαινε, διαδοχικά, μετά την παρέλευση, κάθε φορά, ενός ισόποσου διαστήματος \Delta t του χρόνου ίσου με ένα κλάσμα της μονάδας του χρόνου,

    \[ \Delta t=\frac{1}{\nu }. \]

Η συνεχής εξέλιξη της μείωσης η οποία επιδρά στο μειωτέο αντίστροφα σε σχέση με το προηγούμενο μοντέλο της αύξησης – τροποντινά το κάθε εναπομείναν ολοκληρώνει την πλήρη μείωσή του σταδιακά και αναλογικά με την πάροδο του χρόνου, γεγονός που συμβαίνει και με το εναπομείναν του εναπομείναντος κ.ο.κ. – θα μπορούσε να σταχυολογηθεί ως εξής.

0\to \frac{1}{\nu }: Το μειωτέο στοιχείο θα μειωθεί κατά \frac{1}{\nu } της ποσότητάς του, δηλαδή η συνολική του ποσότητα θα είναι πλέον: 1-\frac{1}{\nu }\centerdot 1=1-\frac{1}{\nu } στοιχεία.

\frac{1}{\nu }\to \frac{2}{\nu }: Το εναπομείναν στοιχείο θα μειωθεί κατά \frac{1}{\nu } της ποσότητάς του, δηλαδή η νέα του ποσότητα θα είναι πλέον: 1-\frac{1}{\nu }-\frac{1}{\nu }\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)={{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}^{2}} στοιχεία.

\frac{{\nu -1}}{\nu }\to 1: Επαγωγικά, συνάγεται ότι η συνολική ποσότητα του στοιχείου, στο τέλος της μονάδας του χρόνου, θα είναι, {{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }} στοιχεία.

Κι εδώ, είναι φανερό ότι η ανάγκη μας για μια απάντηση όσο το δυνατόν πλησιέστερη στην ακριβή ποσότητα του στοιχείου, με βάση το μοτίβο που περιγράφηκε, καλύπτεται μόνο από την αντίστοιχη εύρεση του ορίου, \displaystyle \underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}. Έχουμε,

    \[ \displaystyle \begin{array}{l}\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}=\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {{{{\left( {\frac{\nu }{{\nu -1}}} \right)}}^{\nu }}} \right)}^{{-1}}}=\underset{{\lambda \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {{{{\left( {\frac{{\lambda +1}}{\lambda }} \right)}}^{{\lambda +1}}}} \right)}^{{-1}}}\\=\underset{{\lambda \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {{{{\left( {1+\frac{1}{\lambda }} \right)}}^{\lambda }}\left( {1+\frac{1}{\lambda }} \right)} \right)}^{{-1}}}={{e}^{{-1}}}\underset{{\lambda \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{\lambda }} \right)}^{{-1}}}={{e}^{{-1}}}\end{array} \]

Συνεχίζοντας με το ίδιο σκεπτικό, γίνεται φανερό ότι στο τέλος της δεύτερης μονάδας του χρόνου, η ποσότητα του στοιχείου, θα είναι,

    \[ \underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}^{{2\nu }}}=\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {{{{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}}^{\nu }}} \right]}^{2}}={{e}^{{-2}}} \]

κ.ο.κ., μετά από t χρόνο,

    \[ \underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}^{{t\nu }}}=\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {{{{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}}^{\nu }}} \right]}^{t}}={{e}^{{-t}}}. \]

Έτσι, αν η αρχική ποσότητα του πληθυσμού ήταν {{Q}_{0}}, τότε, μετά από t χρόνο, η ποσότητα Q\left( t \right), θα δίνεται από τον τύπο, Q\left( t \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{-t}}}.

Στη γενικότερη περίπτωση που ο χρόνος που απαιτείται για την πλήρη «εξάντληση» του μεμονωμένου στοιχείου είναι \mu, τότε,

    \[ Q\left( t \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{-\frac{t}{\mu }}}}. \]

(Πράγματι, ανά χρονικά διαστήματα ίσα με \mu, ο παραπάνω τύπος διαδοχικά δίνει,

    \[ Q\left( \mu \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{-1}}},\text{ }Q\left( {2\mu } \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{-2}}},\text{ }Q\left( {3\mu } \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{-3}}},\text{ }\ldots \]

που είναι τα αναμενόμενα συμπεράσματα.)

Θέτοντας, c=-\frac{1}{\mu }, προκύπτει πάλι ότι Q\left( t \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{ct}}}.

Ο τελευταίος τύπος είναι γνωστός ως «νόμος της εκθετικής απόσβεσης», διότι c=-\frac{1}{\mu }<0.

Μια διαφορετική προσέγγιση του μοντέλου

Ένας άλλος τρόπος για να μελετηθούν τα προηγούμενα εκθετικά φαινόμενα, για παράδειγμα κατά την περίπτωση της εκθετικής αύξησης, έγκειται στην ανάλυση της εξέλιξης του κάθε αντιγράφου σε δύο συνιστώσες:

  • ανάπτυξη του αντιγράφου του στοιχείου μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα (1η συνιστώσα),
  • αναλογική αύξηση του κάθε παραγόμενου αρχέτυπου, με τη μεταβολή του χρόνου, ενώ ολοκληρώνεται η ανάπτυξή του, όπως και του κάθε αντιγράφου του (2η συνιστώσα),

καθώς η διαδικασία επαναλαμβάνεται ομοιοτρόπως κατά τις δύο συνιστώσες σε οποιοδήποτε αντίγραφο.

Θεωρούμε ως στάδια της διαδικασίας τις διαδοχικές χρονικές στιγμές οι οποίες προκύπτουν ανά τακτά διαστήματα, ίσα με τη μονάδα του χρόνου, όπου κι εδώ λαμβάνεται το διάστημα που θα απαιτούνταν ώστε το στοιχείο να αναπαράγει το (ακέραιο) αντίγραφό του.

Συνεπώς, στο τέλος του πρώτου σταδίου, το στοιχείο θα έχει δημιουργήσει ένα αντίγραφο. Άρα, θα υπάρχουν

    \[ 1+1=2 \]

στοιχεία. Άραγε, είναι τα μόνα;

Με βάση την πρώτη προϋπόθεση, το νεόκοπο στοιχείο χρειάζεται το επόμενο στάδιο για να δημιουργήσει το δικό του (ακέραιο) αντίγραφο. Έτσι, με βάση τη δεύτερη προϋπόθεση του μοτίβου, στο τέλος του πρώτου σταδίου, ήδη, θα έχει βλαστήσει το μισό αντίγραφό του. Επομένως, θα υπάρχουν

    \[ 1+1+\frac{1}{2}=2,5 \]

στοιχεία.

Σωστά μαντέψατε! Η διαδικασία συνεχίζεται με παρόμοιο τρόπο:

Το \frac{1}{2} από το β΄ νεόκοπο στοιχείο, στο τέλος του δεύτερου σταδίου, δηλαδή μετά από ένα στάδιο, θα έχει ολοκληρωθεί στο ακέραιο οπότε, στο τέλος του τρίτου σταδίου, θα αναπαράγει το δικό του (ακέραιο) αντίγραφο.

Συνεπώς, στο τέλος του πρώτου σταδίου το \frac{1}{2} από το β΄ νεόκοπο στοιχείο θα έχει βλαστήσει το \frac{1}{3} από το γ΄ νεόκοπο στοιχείο. Σωστά; Η μήπως βιαζόμαστε λιγάκι; Ας διερευνήσουμε πιο προσεχτικά τη δεύτερη προϋπόθεση του μοτίβου.

Ας υποθέσουμε, για μια στιγμή, ότι στο τέλος του πρώτου σταδίου, το \frac{1}{2} από το β΄ νεόκοπο στοιχείο θα έχει βλαστήσει το x μέρος από το γ΄ νεόκοπο στοιχείο. Τότε, στο τέλος του δεύτερου σταδίου, από τη μια μεριά, θα έχει βλαστήσει το 2x μέρος του γ΄ νεόκοπου στοιχείου (1η συνιστώσα) και από την άλλη το x μέρος του γ΄ νεόκοπου στοιχείου το οποίο προέρχεται από την αύξηση κατά \frac{1}{2} του \frac{1}{2} του β΄ νεόκοπου στοιχείου (2η συνιστώσα). Έτσι, στο τέλος του τρίτου σταδίου, το 3x μέρος του γ΄ νεόκοπου στοιχείου απλώς θα διπλασιαστεί, διότι η 2η συνιστώσα προφανώς έχει μηδενική συνεισφορά, συνεπώς θα υπάρχει 6x μέρος του γ’ νεόκοπου στοιχείου το οποίο εξισώνεται, τελικά, με το 1, οπότε, x=\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\centerdot \frac{1}{2}.

Επομένως, θα υπάρχουν

    \[ 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{3\centerdot 2}}=2,666\ldots \]

στοιχεία.

Παρόμοια, στο τέλος του τέταρτου σταδίου, το γ΄ νεόκοπο στοιχείο θα έχει αναπαράγει το δικό του ακέραιο αντίγραφο, άρα, αν υποτεθεί ότι στο τέλος του πρώτου σταδίου έχει βλαστήσει το \displaystyle y μέρος από το δ΄ νεόκοπο στοιχείο, τότε, στο τέλος του δεύτερου σταδίου, από τη μια μεριά θα έχει βλαστήσει το \displaystyle 2y μέρος του δ΄ νεόκοπου στοιχείου (1η συνιστώσα) και από την άλλη, το \displaystyle 2y μέρος του δ΄ νεόκοπου στοιχείου (2η συνιστώσα) το οποίο προέρχεται από την αύξηση κατά \frac{2}{6} του \frac{1}{6} του γ’ νεόκοπου στοιχείου. Άρα, στο τέλος του τρίτου σταδίου, από τη μια μεριά, το \displaystyle 4y μέρος του δ΄ νεόκοπου στοιχείου θα διπλασιαστεί (1η συνιστώσα), καθώς από την άλλη πρέπει να συνυπολογιστεί η επιπλέον ποσότητα του \displaystyle 4y μέρους του δ΄ νεόκοπου στοιχείου η οποία προκύπτει από την αύξηση κατά \frac{3}{6} του  \frac{3}{6} του γ’ νεόκοπου στοιχείου (2η συνιστώσα). Άρα, θα υπάρχει \displaystyle 12y μέρος του δ΄ νεόκοπου στοιχείου το οποίο θα διπλασιαστεί στο τέλος του τέταρτου σταδίου. Επομένως, το \displaystyle 24y εξισώνεται, τελικά, με το 1, οπότε,

    \[ y=\frac{1}{{24}}=\frac{1}{4}\centerdot \frac{1}{3}\centerdot \frac{1}{2}. \]

Συνεπώς, θα υπάρχουν

    \[ 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{3\centerdot 2}}+\frac{1}{{4\centerdot 3\centerdot 2}}=2,708333333\ldots $ \]

στοιχεία.

Έπειτα; Είναι πρόδηλο ότι η διαδικασία δεν περατώνεται και ο συνολικός αριθμός των στοιχείων, που προκύπτουν στο τέλος του πρώτου σταδίου, δίνεται από τον τύπο,

    \[ 1\text{+}\frac{1}{1}\text{+}\frac{1}{{2\centerdot 1}}\text{+}\frac{1}{{3\centerdot 2\centerdot 1}}\text{+}\frac{1}{{4\centerdot 3\centerdot 2\centerdot 1}}\text{+}\frac{1}{{5\centerdot 4\centerdot 3\centerdot 2\centerdot 1}}\text{+}\frac{1}{{6\centerdot 5\centerdot 4\centerdot 3\centerdot 2\centerdot 1}}+\ldots =e. \]

Ο τελευταίος τύπος αναπαριστά με διαφορετικό τρόπο τον αριθμό του Euler και συνήθως, με τη βοήθεια του συμβόλου,

    \[ \nu !=1\centerdot 2\centerdot 3\centerdot \ldots \centerdot \left( {\nu -1} \right)\centerdot \nu \]

(ν παραγοντικό)

γράφεται,

    \[ \displaystyle \begin{array}{l}e=1+\frac{1}{{1!}}+\frac{1}{{2!}}+\frac{1}{{3!}}+\frac{1}{{4!}}+\ldots +\frac{1}{{\nu !}}+\ldots \\=\sum\limits_{{i=0}}^{{+\infty }}{{\frac{1}{{i!}}}}\end{array}. \]

Η έννοια της παραγώγου ως ρυθμού μεταβολής

Κλείνοντας θα επιχειρηθεί να δοθεί μια περισσότερο τυπική ερμηνεία των παραπάνω εκθετικών μοντέλων.

Συμβολίζοντας με \displaystyle \Delta Q\left( t \right) τη μεταβολή στη συνολική ποσότητα \displaystyle Q\left( t \right) του πληθυσμού, στο χρόνο \displaystyle t, που συντελείται κατά την αντίστοιχη μεταβολή \displaystyle \Delta t του χρόνου t, τότε, για «αρκετά μικρές» τέτοιες μεταβολές του χρόνου, θα ισχύει, είτε,

    \[ \displaystyle \Delta Q\left( t \right)=Q\left( t \right)\centerdot \Delta t \]

(εκθετική αύξηση)

είτε,

    \[ \displaystyle \Delta Q\left( t \right)=-Q\left( t \right)\centerdot \Delta t \]

(εκθετική μείωση),

θεωρώντας, φυσικά, ως μονάδα του χρόνου το διάστημα που θα απαιτούνταν ώστε το στοιχείο είτε να αναπαράγει το (ακέραιο) αντίγραφό του, είτε να εξαντληθεί (πλήρως), με βάση την πρώτη προϋπόθεση, αντίστοιχα.

Πράγματι εκεί οδηγείται κανείς με βάση τις προϋποθέσεις του μοντέλου:

Σε κάθε χρονική στιγμή, η «στοιχειώδης» μεταβολή (παραγωγή) είναι ανάλογη της αντίστοιχης «στοιχειώδους» χρονικής μεταβολής με συντελεστή αναλογίας την ποσότητα που υπήρχε τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Η «στοιχειώδης», η αλλιώς, «απειροστή» χρονική μεταβολή είναι αυτή που επιτυγχάνει να «δαμάσει» το «συνεχές» του χρόνου, παρέχοντας διακριτά στιγμιότυπα κατά τη διαρκώς εξελισσόμενη πορεία του μοτίβου.

Με άλλα λόγια, σε κάθε χρονική στιγμή, ο ρυθμός μεταβολής της ποσότητας ισούται με την ίδια την ποσότητα. Η τελευταία συνθήκη παριστάνεται ως εξής,

    \[ \displaystyle \frac{{\text{d}Q\left( t \right)}}{{\text{d}t}}=Q\left( t \right). \]

Η συνάρτηση \displaystyle \frac{{\text{d}Q\left( t \right)}}{{\text{d}t}} καλείται ρυθμός μεταβολής των τιμών της \displaystyle Q ή αλλιώς παράγωγος της \displaystyle Q, με τα σύμβολα \displaystyle \text{d}Q\left( t \right), και \displaystyle \text{d}t, στο προηγούμενο ιδιότυπο πηλίκο, να τονίζουν τον «απειροστό», «στοιχειώδη» χαρακτήρα των διαφορών \displaystyle \Delta Q\left( t \right) και \displaystyle \Delta t.

Η αντίστροφη διαδικασία

Αν η οπτική μας γωνία στραφεί προς το χρόνο που χρειάζεται ένας πληθυσμός ο οποίος, για παράδειγμα, αυξάνεται, όπως επιτάσσει το παραπάνω μοτίβο εκθετικής αύξησης, ωσότου γίνει φορές u μεγαλύτερος, τότε, προφανώς αναζητούμε τον εκθέτη t έτσι, ώστε,

    \[ {{e}^{t}}=u. \]

Ο εκθέτης αυτός, που συμβολίζεται με \ln u, καλείται φυσικός λογάριθμος του u.

Με τη βοήθεια του ακόλουθου παραδείγματος, θα διαπιστώσουμε ότι ένα τέτοιο χρονικό διάστημα, t, θα μπορούσε να εκφραστεί ως ένα άθροισμα άπειρων όρων γινομένων, στη «συνεχή» περίπτωση, αξιοποιώντας το «στοιχειώδες» διάστημα \displaystyle \Delta t του χρόνου.

Έστω λοιπόν ότι u=2.

Αυτό που αναζητούμε, δηλαδή, είναι ο χρόνος που απαιτείται ωσότου διπλασιαστεί η αρχική ποσότητα ενός πληθυσμού του οποίου η ανάπτυξη εναπόκειται στο νόμο της εκθετικής αύξησης.

Θα επιστρατευτεί, αρχικά, το «απειροστό» διάστημα \displaystyle \Delta t=\frac{1}{{100}} της μονάδας του χρόνου. (Υπενθυμίζεται ότι η μονάδα του χρόνου αποτελεί το χρονικό διάστημα διπλασιασμού του κάθε στοιχείου του πληθυσμού σύμφωνα με την 1η προϋπόθεση.)

Μετά την παρέλευσή του, μπορεί να θεωρηθεί, στο πλαίσιο μιας ικανοποιητικής προσέγγισης του μοντέλου της εκθετικής αύξησης, ότι προκαλείται μια πρώτη αύξηση του πληθυσμού ο οποίος ισούται με,

    \[ \displaystyle (1+\frac{1}{{100}})=\frac{{101}}{{100}}, \]

φορές της αρχικής του ποσότητας.

Έπειτα, υποθέτουμε ότι παρέρχεται το \displaystyle \frac{1}{{101}}=\frac{1}{{1,01}}\Delta t του χρόνου, οπότε ο πληθυσμός αυξάνεται, για δεύτερη φορά, καθώς πλέον ισούται με,

    \[ \displaystyle (1+\frac{1}{{101}})(1+\frac{1}{{100}})=\frac{{102}}{{101}}\centerdot \frac{{101}}{{100}}=\frac{{102}}{{100}}, \]

φορές της αρχικής του ποσότητας.

Η διαδικασία επαναλαμβάνεται παρόμοια, οπότε, στην εκατοστή πρώτη αύξηση του πληθυσμού, αυτός θα γίνει,

    \[ \displaystyle (1+\frac{1}{{200}})(1+\frac{1}{{199}})\ldots (1+\frac{1}{{101}})(1+\frac{1}{{100}})=\frac{{201}}{{200}}\centerdot \frac{{200}}{{199}}\ldots \frac{{102}}{{101}}\centerdot \frac{{101}}{{100}}=\frac{{201}}{{100}}=2,01, \]

φορές μεγαλύτερος, αριθμός πολύ κοντά στο επιζητούμενο αποτέλεσμα.

Από την άλλη μεριά, ο συνολικός χρόνος (t=\ln 2), που έχει παρέλθει, θα βρεθεί συναθροίζοντας τα επιμέρους χρονικά διαστήματα, δηλαδή, όταν \displaystyle \Delta t=\frac{1}{{100}},

    \[ \begin{array}{l}\ln 2\simeq \Delta t+\frac{1}{{1,01}}\Delta t+\frac{1}{{1,02}}\Delta t+\frac{1}{{1,03}}\Delta t+\ldots +\frac{1}{{1,99}}\Delta t+\frac{1}{2}\Delta t\\=(1+\frac{1}{{1,01}}+\frac{1}{{1,02}}+\frac{1}{{1,03}}+\ldots +\frac{1}{{1,99}}+\frac{1}{2})\Delta t\cong 0,7\end{array}. \]

Φυσικά, η προσέγγιση θα γίνεται ολοένα και καλύτερη καθώς το \displaystyle \Delta t βαίνει μειούμενο πλησιάζοντας όλο και περισσότερο προς το \displaystyle 0.

Ενδεικτικά, όταν \displaystyle \Delta t=\frac{1}{{1000}},

    \[ \begin{array}{l}\ln 2\simeq \Delta t+\frac{1}{{1,001}}\Delta t+\frac{1}{{1,002}}\Delta t+\frac{1}{{1,003}}\Delta t+\ldots +\frac{1}{{1,999}}\Delta t+\frac{1}{2}\Delta t\\=(1+\frac{1}{{1,001}}+\frac{1}{{1,002}}+\frac{1}{{1,003}}+\ldots +\frac{1}{{1,999}}+\frac{1}{2})\Delta t\cong 0,6939\end{array} \]

Η έννοια του ολοκληρώματος

Ιδανικά, το βέλτιστο θα μπορούσε να «ληφθεί» ως η οριακή τιμή σε μια «συνεχή επέκταση» για το παραπάνω άθροισμα γινομένων.

Πρόκειται για το «ολοκλήρωμα» από το \displaystyle 1 ως το \displaystyle 2, για τη συνάρτηση \displaystyle \frac{1}{t}, το οποίο συμβολίζεται με \displaystyle \int_{1}^{2}{{\frac{1}{t}\text{dt}}}.

(Φανταστείτε το σύμβολο \displaystyle \int{{}} της ολοκλήρωσης ως μια επιμήκυνση του s, δηλαδή του πρώτου γράμματος της λέξης sum, που σημαίνει στα ελληνικά άθροισμα, ενώ εκτός από τα όρια ολοκλήρωσης, δηλαδή εκτός από τους αριθμούς \displaystyle 1 και \displaystyle 2, κάτω και πάνω από το σύμβολο \displaystyle \int{{}}, αντίστοιχα, αναγράφεται, στη συνέχεια και η παράσταση \displaystyle \frac{1}{t}\text{dt} που εκφράζει τη γενική μορφή των γινομένων – όρων του αθροίσματος, με το \displaystyle \text{dt} να δίνει έμφαση στη «στοιχειώδη» φύση του \displaystyle \Delta t.)

Άρα, \displaystyle \ln 2=\int_{1}^{2}{{\frac{1}{t}\text{dt}}} και γενικότερα, \displaystyle \ln u=\int_{1}^{u}{{\frac{1}{t}\text{dt}}}.

Ο τελευταίος πειρασμός …

Θα αποτελούσε σίγουρα πρόκληση η απόπειρα να ερμηνευτεί, διαισθητικά, ο ρυθμός μεταβολής της λογαριθμικής συνάρτησης \displaystyle \ln u αφορμώντας από το παραπάνω μοντέλο π.χ. της εκθετικής αύξησης. Εδώ, βέβαια, η ανεξάρτητη μεταβλητή \displaystyle u παριστάνει το συντελεστή με τον οποίο πολλαπλασιάζεται η αρχική ποσότητα του πληθυσμού μετά από χρόνο \displaystyle t=\ln u.

Αφού σε κάθε χρονική στιγμή, \displaystyle t, η στοιχειώδης μεταβολή της ποσότητας είναι ανάλογη της στοιχειώδους μεταβολής του χρόνου, με συντελεστή αναλογίας την ποσότητα του πληθυσμού τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή, έπεται, αντίστροφα, ότι η στοιχειώδης μεταβολή του χρόνου είναι ανάλογη της στοιχειώδους μεταβολής της ποσότητας, με συντελεστή αναλογίας το αντίστροφο της ποσότητας του πληθυσμού τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή.

Σε μια περισσότερο τυπική προσέγγιση,

    \[ \displaystyle \Delta Q\left( t \right)=Q\left( t \right)\centerdot \Delta t \]

ή,

    \[ \displaystyle \Delta t=\frac{1}{{Q\left( t \right)}}\centerdot \Delta Q\left( t \right) \]

ή,

    \[ \displaystyle \Delta t=\frac{1}{{Q\left( {\ln u} \right)}}\centerdot \Delta Q\left( {\ln u} \right) \]

ή,

    \[ \displaystyle \Delta t=\frac{1}{{u{{Q}_{0}}}}\centerdot \Delta Q\left( {\ln u} \right) \]

ή,

    \[ \displaystyle \Delta t=\frac{1}{u}\centerdot \Delta u. \]

Το τελευταίο σημαίνει ότι,

    \[ \displaystyle \frac{{\text{d}t}}{{\text{d}u}}=\frac{1}{u} \]

Συνεπώς,

    \[ \displaystyle \frac{{\text{d}\ln u}}{{\text{d}u}}=\frac{1}{u}. \]

Ισοδύναμα,

    \[ \displaystyle \frac{{\text{d}\int_{1}^{u}{{\frac{1}{t}\text{d}t}}}}{{\text{d}u}}=\frac{1}{u} \]

(Το τελευταίο αποτελεί μια ειδική εκδοχή του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Διαφορικού Λογισμού.)

Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο του πεδίου ορισμού της

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου | , στις 14-10-2018

Σε προηγούμενες τάξεις, είχατε συναντήσει την έννοια της εφαπτομένης, αρχικά, σε σημείο κύκλου, ενώ, στη συνέχεια, για τις υπόλοιπες κωνικές τομές, δηλαδή, για την έλλειψη, για την παραβολή και για την υπερβολή. Σε κάθε περίπτωση, η εφαπτομένη σ’ ένα σημείο μιας καμπύλης, απ’ τις παραπάνω, επιτυγχάνει να «πλησιάσει» την καμπύλη, τουλάχιστον, «κοντά» στο σημείο από το οποίο διέρχεται.

Το γεγονός ότι η απλούστερη γραμμή, δηλαδή, η ευθεία, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί, μέσω της έννοιας της εφαπτομένης, για να προσεγγίσει ένα πιο σύνθετο, μη ευθύγραμμο σχήμα, όπως ο κύκλος, ή οι υπόλοιπες κωνικές τομές, αποτελεί κίνητρο, έτσι, ώστε, η έννοια αυτή να γενικευτεί και στις περιπτώσεις καμπυλών όπου μπορούν να θεωρηθούν γραφήματα συναρτήσεων τα οποία πληρούν μια συγκεκριμένη συνθήκη.

Όμως, ποια θα μπορούσε να είναι αυτή η συνθήκη και γιατί η εξασφάλισή της αποτελεί ικανό παράγοντα για να ορίζεται η εφαπτομένη; Ακόμη, πως θα μπορούσε να προσδιοριστεί η εφαπτομένη, μέσα από την προηγούμενη συνθήκη, δεδομένου ότι μια ευθεία μπορεί να οριστεί μέσω του συντελεστή διεύθυνσής της όταν είναι γνωστό ένα σημείο από το οποίο διέρχεται;

Η ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή, διαπραγματεύεται τον ορισμό της εφαπτομένης σε σημείο A(x_0,f(x_0)) του γραφήματος, για μια συνάρτηση f, η οποία πληροί τη συνθήκη αυτή στο σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της. Ενδεχομένως, με τη βοήθειά των διαδραστικών χαρακτηριστικών που παρέχει το γραφικό της περιβάλλον, να γίνει περισσότερο κατανοητή τόσο η συνθήκη όσο και η τεκμηρίωσή της, σε συγκεκριμένα παραδείγματα συναρτήσεων, καθώς και η σύνδεσή της με την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο A(x_0,f(x_0)) των συναρτήσεων αυτών.

Σ’ ένα επόμενο βήμα, ίσως, να μπορούσε να βρεθεί και η εξίσωση που παριστάνει την εφαπτομένη αυτή, η οποία, σύμφωνα με τα παραπάνω, θεωρούμενη, κατάλληλα, ως συνάρτηση ισούται, κατά προσέγγιση, με την f, τουλάχιστον, για εκείνα τα x τα οποία βρίσκονται σε μια «περιοχή» του x_0.

Τυχαίος περίπατος

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου | , στις 01-05-2018

Κατά την απλούστερη περίπτωση, ένας τυχαίος περίπατος μπορεί να αναπαρασταθεί από μια ευθύγραμμη κίνηση, η οποία πραγματοποιείται σ’ έναν προσανατολισμένο, βαθμολογημένο άξονα, με αφετηρία το 0 και διαδοχικές μετατοπίσεις, κατά μία μονάδα, είτε προς τα δεξιά είτε προς τα αριστερά, δηλαδή, είτε +1 είτε -1, με πιθανότητα \frac{1}{2}, για την κάθε κατεύθυνση, όσο η κίνηση διαρκεί. Κάποια εύλογα ερωτήματα θα μπορούσαν να είναι τα εξής:

  • Κατά πόσο το κινητό θα μπορούσε να «δραπετεύσει» από την αρχική του θέση; Πόσο μακριά θα μπορούσε να φτάσει; Η «ακτίνα» της κίνησής του είναι περιορισμένη ή μπορεί να αυξάνεται απεριόριστα;

  • Γενικά, πόσο θα μπορούσε να απομακρυνθεί το κινητό, από την αρχική του θέση, σε σχέση με τον συνολικό αριθμό των μετατοπίσεων, δηλαδή, ποια θεωρείτε ότι θα μπορούσε να είναι η μέση μετατόπισή του, ως προς το 0, για «μεγάλο» αριθμό επαναλήψεων – μετατοπίσεων;

  • Θεωρώντας δεδομένο τον αριθμό επαναλήψεων – μετατοπίσεων, ποια είναι η πιθανότητα με την οποία το κινητό θα μπορούσε να καταλήξει σε κάποιο από τα σημεία, που αντιστοιχούν στους ακεραίους της ευθείας;

  • Θεωρώντας δεδομένο κάποιον ακέραιο, ως θέση – στόχο, πόσες επαναλήψεις και με ποια πιθανότητα, ενδεχομένως, να χρειαστούν ωσότου το κινητό φτάσει στο στόχο;

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, ίσως να βοηθηθείτε στη κατανόηση των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών ενός τυχαίου περιπάτου και, γιατί όχι, στην απάντηση των σχετικών ερωτημάτων.


Η αντιπαραγώγιση ως κλάση ισοδυναμίας

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου | , στις 25-08-2017

Όπως γνωρίζετε, κατά την παραγώγιση, μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, προκύπτει, μονοσήμαντα, μια νέα συνάρτηση, η παράγωγός της.

Η αντίστροφη διεργασία, για μια συνάρτηση η οποία έχει αρχική, οδηγεί, ουσιαστικά, σε μια διαδικασία επιλογής από ένα σύνολο συναρτήσεων.

(Οι συναρτήσεις αυτού του συνόλου έχουν, προφανώς, κοινό χαρακτηριστικό την ισότητα των παραγώγων τους.)

Το σύνολο όλων αυτών των αρχικών συναρτήσεων, για μια συνάρτηση, είναι το αόριστο ολοκλήρωμά της.

Ωστόσο, για λόγους απλότητας, σχεδόν, πάντοτε αποφεύγεται ο συμβολισμός των συνόλων χαλκεύοντας, έτσι, τον πραγματικό χαρακτήρα των ολοκληρωμάτων καθώς και τη φύση των επαγόμενων πράξεων. Τούτο οφείλεται στην «ταύτιση» του ολοκληρώματος, τροποντινά, μ’ έναν «αντιπρόσωπο» του συνόλου.

Έτσι, τα αόριστα ολοκληρώματα αντικαθίστανται από κατάλληλες συναρτήσεις, που τα αντιπροσωπεύουν, ενώ οι μεταξύ τους πράξεις εκτελούνται μέσω των αντιπροσώπων τους.

Ακολούθως, θα διεισδύσουμε στην πραγματική υπόσταση της έννοιας της αντιπαραγώγισης, αναλύοντας αρκετά απ’ τα ζητήματα που θίχτηκαν παραπάνω, αλλά, και εδώ, με περισσότερες τεχνικές λεπτομέρειες.

Θεωρούμε ένα διάστημα \Delta της πραγματικής ευθείας. Έστω, επίσης, \mathcal{D} το σύνολο όλων των παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο \Delta και \mathcal{F} το σύνολο όλων  των συναρτήσεων για τις οποίες υπάρχει αρχική συνάρτηση στο Δ. Ορίζουμε μια σχέση \sim στο \mathcal{D} ως εξής:

Αν f,g\in\mathcal{D}, τότε,

    \[ f\sim g \Leftrightarrow f^{\prime }=g^{\prime }. \]

(Δηλαδή, δύο στοιχεία του \mathcal{D} συνδέονται με τη σχέση \sim, αν και μόνο αν έχουν την ίδια παράγωγο.)

Η προηγούμενη σχέση είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο \mathcal{D}.

(Στα Μαθηματικά, γενικά, μια διμελής σχέση, σ’ ένα σύνολο X, ορίζεται ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών (u,v), με u,v\in  X. Πολλές φορές για να δηλώσουμε ότι ένα ζεύγος (u,v) είναι στοιχείο της σχέσης, \sim, σημειώνουμε u\sim v. Μια διμελής σχέση, στο X, καλείται σχέση ισοδυναμίας όταν πληροί τις εξής τρεις ιδιότητες:

  • Την ανακλαστική, δηλαδή, x \sim x, για κάθε x\in X

  • Τη συμμετρική,  δηλαδή, αν x \sim y, τότε, y \sim x για κάθε x,y\in X

  • Τη μεταβατική, δηλαδή, αν x \sim y και y \sim z, τότε, x \sim z, για κάθε x,y,z\in X.)

Επιπλέον, για κάθε συνάρτηση g\in\mathcal{D}, ορίζουμε το σύνολο,

    \[ \left[ g\right] =\{h\in \mathcal{D}:h^{\prime }=g^{\prime }\}. \]

(Το \left[ g\right] απαρτίζεται από εκείνα τα στοιχεία, h, του \mathcal{D} που συνδέονται με τη g, μέσω της σχέσης \sim. Το σύνολο αυτό λέγεται κλάση ισοδυναμίας του g.)

Έστω,

    \[ \mathcal{Q}=\{\left[ g\right] :g\in \mathcal{D}\}, \]

το σύνολο όλων των συνόλων, της μορφής, \left[ g\right] =\{h\in \mathcal{D}:h^{\prime }=g^{\prime }\}, για τις διάφορες συναρτήσεις g\in \mathcal{D}.

(Το \mathcal{Q} απαρτίζεται από όλες τις δυνατές κλάσεις ισοδυναμίας της σχέσης \sim στο \mathcal{D}. Το σύνολο αυτό λέγεται σύνολο πηλίκο.)

Θεωρούμε, τώρα, την απεικόνιση,

    \[ T:\mathcal{Q}\longrightarrow \mathcal{F}, \]

που ορίζεται από τον τύπο,

    \[ $T\big([g]\big) =g^{\prime }.$ \]

Πρώτα απ’ όλα, η T είναι καλώς ορισμένη:

Πραγματικά, αν \left[ g_{1}\right] =\left[ g_{2}\right], τότε, αφού,

    \[ g_{1}\in \left[ g_{1}\right] , \]

θα είναι,

    \[ g_{1}\in \left[ g_{2}\right], \]

επομένως, g_{1}^{\prime }=g_{2}^{\prime }, συνεπώς,

    \[ T\big([g_{1}]\big) =T\big([g_{2}]\big). \]

Θα αποδειχτεί, πλέον, ότι αυτή η αντιστοιχία συνδέει με αμφιμονοσήμαντο τρόπο τα στοιχεία των συνόλων \mathcal{Q} και \mathcal{F}:

Για το σκοπό αυτό, έστω, f\in \mathcal{F}. Από τον ορισμό του \mathcal{F}, θα υπάρχει g\in \mathcal{D} με g^{\prime }=f, οπότε,

    \[ T\big([g]\big) =f. \]

Από την άλλη μεριά, έστω,

    \[ T\big([g_{1}]\big) =T\big([g_{2}]\big), \]

όπου \left[ g_{1}\right] ,\left[ g_{2}\right] \in \mathcal{Q}.

Προφανώς, g_{1}^{\prime }=g_{2}^{\prime }, άρα  \left[ g_{1}\right] =\left[ g_{2}\right].

Συμπερασματικά, κάθε στοιχείο του \mathcal{F} μπορεί να απεικονιστεί, μέσω της T^{-1}, στο αντίστοιχο στοιχείο του στο \mathcal{Q}.

Για καθε f\in \mathcal{F}, συμβολίζουμε,

    \[ T^{-1}\left( f\right) =\int f\left( x\right) \mathrm{dx}. \]

Αν υποτεθεί ότι T^{-1}\left( f\right) =\left[ g\right], όπου g\in \mathcal{D}, τότε, εύκολα, συνάγεται ότι,

    \[ \int f\left( x\right) \mathrm{dx}=\left\{ h\in \mathcal{D}:h^{\prime }=f\right\} . \]

Αντιλαμβάνεστε, τώρα, τι εννοούμε όταν, συμβατικά, γράφουμε ότι,

    \[ \int f\left( x\right) \mathrm{dx}=F\left( x\right) +c, \]

όπου F μια αρχική της f;

Στην πραγματικότητα, επιλέγουμε έναν «αντιπρόσωπο» από το σύνολο \{h\in \mathcal{D}:h^{\prime }=f\}.

Η παρουσία της σταθεράς c, αν και στερείται ουσιαστικού μαθηματικού περιεχομένου, υπενθυμίζει τη φύση της έννοιας του \int f\left( x\right) dx.

Για παράδειγμα, οι συμβατικές ισότητες,

    \[ \int 2x\, \mathrm{dx}=x^2, \int 2x\, \mathrm{dx}=x^2+1,\int 2x\, \mathrm{dx}=x^2+c, \]

είναι εξίσου σωστές, άρα κι οι συνεπακόλουθες,

    \[ 0=1,0=c,1=c. \]

Για να γίνει περισσότερο «λειτουργική» αυτή η αντιστοιχία, το \mathcal{Q} μπορεί να εφοδιαστεί με δύο πράξεις.

Συγκεκριμένα, για κάθε {{g}_{1}},{{g}_{2}}\in \mathcal{D}, ορίζουμε,

    \[ [{{g}_{1}}]\oplus [{{g}_{2}}]=[{{g}_{1}}+{{g}_{2}}]\text{\,\,\,\,(1)}, \]

και για κάθε \lambda\in\mathbb{R} και g\in \mathcal{D}, ορίζουμε,

    \[ \lambda *[g]=[\lambda \centerdot g]\text{\,\,\,\,(2)}. \]

Όπως προηγουμένως, αποδεικνύεται ότι οι πράξεις αυτές είναι καλώς ορισμένες.

(Ακόμη, μπορούν να αποδειχτούν και οι αντίστοιχες ιδιότητες των πράξεων, της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αριθμού επί διάνυσμα, από το χώρο των διανυσμάτων. Για το λόγο αυτό το \mathcal{Q} αποτελεί διανυσματικό χώρο.)

Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι,

    \[ T\big(\lambda *[{{g}_{1}}]\oplus \mu *[{{g}_{2}}]\big)=\lambda \cdot T\big({[{{g}_{1}}]}\big)+ \mu \cdot T\big({[{{g}_{2}}]}\big)\,\,\,\,\text{(3)}, \]

για κάθε \lambda,\mu\in\mathbb{R} και για κάθε {{g}_{1}},{{g}_{2}}\in \mathcal{D}.

Πράγματι,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \displaystyle T\big(\lambda *[{{g}_{1}}]\oplus \mu *[{{g}_{2}}]\big)&=T\big([\lambda \cdot {{g}_{1}}]\oplus [\mu \cdot {{g}_{2}}]\big)\\ &=T\big([\lambda \cdot {{g}_{1}}+\mu \cdot {{g}_{2}}]\big)\\ &=\left({\lambda \cdot {{g}_{1}}+\mu \cdot {{g}_{2}}} \right)'\\ &=\lambda\cdot g{{'}_{1}}+\mu \cdot g{{'}_{2}}\\ &=\lambda\cdot T\big([{{g}_{1}}]\big)+\mu \cdot T\big([{{g}_{2}}]\big). \end{aligned} \end{equation*}

Ίσως, ο συμβολισμός να είναι λίγο αποθαρρυντικός, ωστόσο, η (3) εκφράζει τη γραμμικότητα της παραγώγισης, (να παρατηρήσετε την 3η και 4η από τις παραπάνω ισότητες), ενώ μέσω της (3), οι (1), (2) εκφράζουν, αντίστοιχα, τις γνωστές ιδιότητες του ολοκληρώματος,

    \[ \displaystyle \int {{f}_{1}}\mathrm{dx}+\int {{f}_{2}}\mathrm{dx}=\text{ }\int \left( {{{f}_{1}}+{{f}_{2}}} \right)\mathrm{dx}, \]

και

    \[ \displaystyle \int{{\lambda f}}\text{dx =}\lambda \int{f}\mathrm{dx}. \]

Γενικότερα, η ισότητα,

    \[ \displaystyle {{T}^{{-1}}}\left( {\lambda {{g}_{1}}+\mu {{g}_{2}}} \right)=\lambda \cdot {{T}^{{-1}}}\left( g_{1} \right)\oplus\mu \cdot {{T}^{{-1}}}\left( g_{2} \right), \]

για κάθε \lambda,\mu\in\mathbb{R} και για κάθε \displaystyle {{g}_{1}},{{g}_{2}}\in \mathcal{F},

εκφράζει τη γραμμικότητα της αντιπαραγώγισης,

    \[ \displaystyle \int_{{}}^{{}}{{\left( {\lambda {{f}_{1}}+\mu {{f}_{2}}} \right)\mathrm{dx}=}}\lambda \int_{{}}^{{}}{{{{f}_{1}}\mathrm{dx}+\mu \int_{{}}^{{}}{{{{f}_{2}}}}}}\mathrm{dx}. \]

Οι «αδυναμίες …» της ισοδυναμίας

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου | , στις 08-03-2015

Ισότητα

Το σύμβολο «=» και η σχέση που παριστάνει δε χρειάζονται ιδιαίτερες συστάσεις:

Από τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού, το έχετε συναντήσει, αμέτρητες φορές, σε εκείνες τις περιπτώσεις που δύο μαθηματικά αντικείμενα δε διαφοροποιούνται μέσα στο εννοιολογικό πλαίσιο που ορίζονται.

Για παράδειγμα, 3+2=5,\, 90^{\circ}-45^{\circ }=45^{\circ},\, \vec{\alpha}-\vec{\alpha}=\vec{0} , «Δύο κύκλοι με ίσες ακτίνες είναι ίσοι» κ.ά..

Ισότητα ή Ισοδυναμία;

Από την άλλη μεριά, πόσο εύκολα, αλήθεια, ασπαστήκατε «ισότητες», όπως,

    \[$\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{9}=\ldots $,\]

όταν τις συναντήσατε για πρώτη φορά, κατά τη μελέτη των κλασμάτων;

Ίσως, ακόμη και τώρα, να νιώθετε άβολα μ΄ αυτήν την ταύτιση διαφορετικών, κατασκευαστικά, μαθηματικών αντικειμένων. Άλλωστε, ο αρχικός χαρακτηρισμός «ισοδύναμα κλάσματα», που συνήθως ακολουθεί την έννοια του κλάσματος, γρήγορα, προσπεράστηκε χωρίς περαιτέρω αναφορές.

Βέβαια, ενδεχομένως, να μην αναγνωρίζετε καμιά (αλγεβρική) διαφορά μεταξύ των αριθμών \dfrac{1}{3} και \dfrac{2}{6} καθώς, συχνά, τους ταυτίσατε, χωρίς επιφυλάξεις, όσες φορές χρησιμοποιήθηκαν στο πλαίσιο μιας μαθηματικής διεργασίας.

Τί θα συνέβαινε, όμως, π.χ. σε μια απόπειρα να επεκτείνουμε τον ορισμό,

    \[$\alpha ^{\frac{\mu }{\nu }}=\root{\nu }\of{\alpha ^{\mu }},$ $\alpha \geq 0$\]

σε περιπτώσεις όπου \alpha<0;

Σ΄ ένα τέτοιο εγχείρημα, ενώ, για παράδειγμα, μάλλον θα συμφωνούσατε, ξεχωριστά, με καθεμία από τις ισότητες,

    \[$\left( -1\right) ^{\frac{1}{3}}=\root{3}\of{-1}=-1$\]

και

    \[$\left( -1\right) ^{\frac{2}{6}}=\root{6}\of{(-1)^{2}}=1$\]

εύλογα, αντιλαμβάνεστε την «αντίφαση»:

    \[$\left( -1\right) ^{\frac{1}{3}}\neq \left( -1\right) ^{\frac{2}{6}}.$\]

Ένα παρεμφερές «παράδοξο», από το Κεφάλαιο του Ολοκληρωτικού Λογισμού, εμφανίζεται, εφαρμόζοντας παραγοντική ολοκλήρωση, στο αόριστο ολοκλήρωμα,

    \[$I=\displaystyle\int \frac{1}{x}\mathrm{dx}$,\]

π.χ. στο (0,+\infty ), όπου προκύπτει ότι,

    \[$I=\displaystyle\int \frac{1}{x}\left( x\right) ^{\prime }\mathrm{dx}=x\frac{1}{x}-\int x\left( \frac{1}{x}\right) ^{\prime }\mathrm{dx}=1-\int x\frac{-1}{x^{2}}\mathrm{dx}=1+I$\]

δηλαδή, ότι 0=1!

Άραγε, υπάρχει κάποιο λάθος στους υπολογισμούς ή στις «ισότητες» μεταξύ των παραπάνω ολοκληρωμάτων;

Αν όχι, με ποια έννοια είναι ίσα τα παραπάνω μαθηματικά αντικείμενα; Μήπως, μέσα από από κάποιο πρίσμα, θα μπορούσε να θεωρηθεί σωστή η ισότητα 0=1;

Να ανοίξουμε, σ΄ αυτό το σημείο, μια παρένθεση και να ανακαλέσουμε τον ορισμό του σχολικού βιβλίου για το αόριστο ολοκλήρωμα:

«Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης f σ΄ ένα διάστημα \Delta ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της f στο \Delta, συμβολίζεται \displaystyle\int f(x)\mathrm{dx} και διαβάζεται «ολοκλήρωμα εφ του χι ντε χι».»

Άρα, το αόριστο ολοκλήρωμα είναι σύνολο;

Αλλά, τότε, τι έννοια έχει η ισότητα \displaystyle\int f(x)\mathrm{dx}=F(x)+c όπου F μια παράγουσα της f στο \Delta, που ακολουθεί στο σχολικό βιβλίο επεξηγώντας τον προηγούμενο ορισμό;

Στην πραγματικότητα, εδώ το «=» σημαίνει ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια «δυναμική» κατά την αντιπαραγώγιση, δηλαδή, αν παραγωγιστούν, τότε προκύπτει ίδιο αποτέλεσμα, ίδια συνάρτηση.

Εξακολουθείτε να πιστεύετε το ίδιο σθεναρά ότι η «ισότητα» 0=1, του παραπάνω παραδείγματος, είναι λανθασμένη;

Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου | , στις 27-09-2014

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε να εξασκηθείτε στη χάραξη των γραφικών παραστάσεων ορισμένων βασικών συναρτήσεων.

Graphs_game

Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Δ΄

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου | , στις 20-10-2012

Το «χρέος» των μιγαδικών

«[…] Έχετε υπάρξει βετεράνοι των δημιουργικών βασάνων. Συνεχίστε να εργάζεστε με την πίστη ότι τα αναίτια βάσανα είναι λυτρωτικά. […]»

Μάρτιν Λούθερ Κινγκ, «Έχω ένα όνειρο»

Το αδιέξοδο, στο οποίο οδηγήθηκε η μέθοδος των «Καρντάνο – Ταρτάλια», για το πρόβλημα της επίλυσης των τριτοβάθμιων εξισώσεων,

(1)   \begin{equation*} x^3+mx=n,\,\,\,\,m,n\in \mathbb{R}, \end{equation*}

στην περίπτωση όπου,

    \[ D=\left(\dfrac{n}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m}{3}\right)^3\leq0, \]

αποτέλεσε την αφορμή για την υλοποίηση της ιδέας της διεύρυνσης του συνόλου \mathbb{R} των πραγματικών στο σύνολο \mathbb{C} των μιγαδικών.

Πλέον, με τη συγκρότηση του \mathbb{C}, μπορεί να αναζητηθεί, για την (1), λύση της μορφής, x=\alpha-\beta, όπου, \alpha,\beta\in\mathbb{C}, τέτοια, ώστε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right, \end{equation*}

ή, ισοδύναμα, τέτοια ώστε,

    \begin{equation*} (\Sigma):\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha}\\ \left( \alpha ^{3}\right) ^{2}-n\alpha ^{3}-\left( \dfrac{m}{3}\right) ^{3}&=0 \end{aligned} \right.. \end{equation*}

Είναι αξιοσημείωτο ότι, στο πλαίσιο της αναζήτησης λύσης για το (Σ), ανακύπτουν βασικές έννοιες για το σύνολο \mathbb{C}, όπως η έννοια του συζυγούς, του μέτρου και της τριγωνομετρικής μορφής ενός μιγαδικού αριθμού, καθώς και βασικά συμπεράσματα που τις διέπουν, με κυριότερο το Θεώρημα De Moivre.

Παρατήρηση 1 Στο σύνολο \mathbb{C}, μια εξίσωση της μορφής, z^2=-\theta,\,\theta\in \mathbb{R} με \theta>0, ισοδύναμα, γράφεται,

    \begin{equation*} \begin{aligned} z^2-(i\sqrt{\theta})^2&=0\\ (z-i\sqrt{\theta})(z+i\sqrt{\theta})&=0 \end{aligned} \end{equation}

επομένως, έχει ακριβώς δύο λύσεις τις z_{1}= i\sqrt{\theta} και z_{2}=- i\sqrt{\theta}.

Με βάση την προηγούμενη παρατήρηση, από τη δεύτερη εξίσωση του (Σ), έπεται ότι,

    \[ \alpha^3=\frac{n\pm2i\sqrt{-D}}{2}=\dfrac{n}{2}\pm i\sqrt{-D}. \]

Οπότε, μια δυνατή επιλογή για το \alpha, μπορεί να προκύψει από την ισότητα,

(2)   \begin{equation*} \alpha^3=\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}}, \end{equation*}

ενώ, η αντίστοιχη επιλογή για το \beta πρέπει να πληροί,

(3)   \begin{equation*} \beta^3=-\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}}. \end{equation*}

Αν υποτεθεί ότι υπάρχει, για τη (2), λύση της μορφής,

    \[ \alpha_{1}=\gamma_{1}+i\delta_{1},\,\,\,\,\gamma_{1},\,\delta_{1}\in\mathbb{R}, \]

εύλογα, διερωτάται κανείς, αν, όπως στην περίπτωση όπου D>0, ο αντίθετος του συζυγή του \alpha_{1},

    \begin{equation*} \begin{aligned} \beta_{1}&=-\overline{\alpha_{1}}\\ &=-\gamma_{1}+i\delta_{1} \end{aligned} \end{equation*}

είναι λύση της (3).

Η απάντηση είναι καταφατική και απορρέει από την ιδιότητα,

    \[ \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}, \]

που, εύκολα, αποδεικνύεται ότι ισχύει για οποιουσδήποτε z,\,w\in\mathbb{C}.

Πράγματι,

    \[ \beta_{1}^{3}=\left( -\overline{\alpha_{1}}\right) ^{3}=-\overline{\alpha_{1}^{3}}\stackrel{\text{(2)}}{=}-\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}}. \]

Επειδή,

    \[ \alpha_{1}\cdot\beta_{1}=(\gamma_{1}+i\delta_{1})\cdot(-\gamma_{1}+i\delta_{1})=-\gamma_{1}^2-\delta_{1}^2, \]

αρκεί, λόγω του (Σ), να βρεθούν \gamma,\,\delta\in\mathbb{R} τέτοια, ώστε,

    \begin{equation*} (\Sigma'):\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{aligned} \gamma^2+\delta^2&=-\dfrac{m}{3}\\ (\gamma+i\delta)^3&=\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D} \end{aligned} \right.. \end{equation*}

Παρατήρηση 2 Αφού D\leq0, προφανώς m\leq0.

Η πρώτη εξίσωση του (Σ΄), γράφεται,

    \[ \Bigg(\dfrac{\gamma}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}}\Bigg)^2+\Bigg(\dfrac{\delta}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}}\Bigg)^2=1. \]

Θέτουμε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \cos\omega&=\dfrac{\gamma}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}}\\ \sin\omega&=\dfrac{\delta}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}} \end{aligned} \right., \end{equation*}

άρα,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \gamma&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega\\ \delta&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega \end{aligned} \right.. \end{equation*}

(Με \cos,\,\sin συμβολίζονται το συνημίτονο και το ημίτονο αντίστοιχα.)

Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση του (Σ΄),

    \[ \left(\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\right)^3=\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}, \]

επομένως,

    \[ \left(\cos\omega+i\sin\omega\right)^3=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}+i\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}. \]

Με τη βοήθεια γνωστών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \left(\cos\omega+i\sin\omega\right)^3&=\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)^2\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\\ &=\left(\cos^2\omega-\sin^2\omega+2i\cos\omega\sin\omega\right)\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\\ &=\big(\cos(2\omega)+i\sin(2\omega)\big)\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\\ &=\big(\cos(2\omega)\cos\omega-\sin(2\omega)\sin\omega\big)\\ &+i\big(\sin\omega\cos(2\omega)+\cos\omega\right)\sin(2\omega)\big)\\ &=\cos(3\omega)+i\sin(3\omega). \end{aligned} \end{equation*}

Συνεπώς,

    \[ \cos(3\omega)+i\sin(3\omega)=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}+i\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}. \]

Άρα, αρκεί να βρεθεί γωνία \omega τέτοια, ώστε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \cos(3\omega)=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}\\ \sin(3\omega)=\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}} \end{aligned} \right.. \end{equation*}

Όμως,

    \[ \Bigg(\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}\Bigg)^2+\Bigg(\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}\Bigg)^2=\dfrac{\Big(\dfrac{n}{2}\Big)^2-D}{-\Big(\dfrac{m}{3}\Big)^3}=1, \]

δηλαδή, υπάρχουν άπειρες λύσεις για το παραπάνω σύστημα.

Αν \omega_{1} είναι μια τέτοια λύση, τότε, \left( \gamma_{1},\delta_{1}\right) είναι λύση του (Σ΄), όπου,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \gamma_{1}&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}\\ \delta_{1}&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}, \end{aligned} \end{equation*}

οπότε, \left( \alpha_{1},\beta_{1}\right) είναι λύση του (Σ), όπου,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}+i\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}\\ \beta_{1}&=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}+i\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}. \end{aligned} \end{equation*}

Άρα,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=\alpha_{1}-\beta_{1}=2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1} \end{aligned} \end{equation*}

είναι μία πραγματική λύση της (1).

Με τη βοήθεια αυτής της λύσης, η (1) μετασχηματίζεται ως εξής,

    \[ x^3+mx=n \]

    \[ x^3+3\alpha_{1}\beta_{1}x=\alpha_{1}^{3}-\beta_{1}^{3} \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{3}-\beta _{1}^{3}\right) =0 \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0 \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) x+\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0 \]

    \[ x\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left\big( x+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) +\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0, \]

συνεπώς, γράφεται, τελικά,

(4)   \begin{equation*} \left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left\big( x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right\big) =0. \end{equation*}

Το τριώνυμο,

    \[ x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}, \]

έχει διακρίνουσα,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \Delta=-3(\alpha_{1}+\beta_{1})^{2} &=-3\left(2i\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}\right)^{2} &=12\left(\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}\right)^{2}. \end{aligned} \end{equation*}

Τελικά, η (1), όταν D\leq0 έχει τρεις πραγματικές λύσεις που δίνονται από τους τύπους,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}\\ x_{2}&=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\left(\cos\omega_{1}+\sqrt{3}\sin\omega_{1}\right)\\ x_{3}&=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\left(\cos\omega_{1}-\sqrt{3}\sin\omega_{1}\right). \end{aligned} \end{equation*}

Παράδειγμα 1 Για την εξίσωση, x^3-3x=-\sqrt{2}, έχουμε, m=-3,\,n=-\sqrt{2}, συνεπώς,

    \[ D=\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-3}{3}\right)^3=\dfrac{2}{4}+(-1)=-\dfrac{1}{2}<0, \]

Αναζητείται \omega, τέτοιο, ώστε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \cos(3\omega)&=\dfrac{\dfrac{-\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}^{3}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin(3\omega)&=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{2}}}{\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}^{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right., \end{equation*}

οπότε, μπορεί να επιλεγεί ως \omega_{1} το \dfrac{\pi}{4}.

Άρα, η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές λύσεις,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}\cdot\cos\dfrac{\pi}{4}=\sqrt{2}\\ x_{2}&=-\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}\\ x_{3}&=-\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{4}-\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}. \end{aligned} \end{equation*}

Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων