Ο π-e-λάτης έχει πάντα δίκιο!

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 30-03-2016

Το 1683, ο μεγάλος Ελβετός Μαθηματικός Jacob Bernoulli (1655 – 1705), στην προσπάθεια εύρεσης της βέλτιστης λύσης ενός προβλήματος ανατοκισμού, ήρθε αντιμέτωπος με τον υπολογισμό της παράστασης,

    \[$\left ( \displaystyle\frac{\nu+1}{\nu} \right )^\nu$\]

για «μεγάλες» τιμές του \nu,

δηλαδή, τροποντινά, με τον υπολογισμό του ορίου,

    \[$\displaystyle\lim_{\nu \rightarrow +\infty}\left ( \frac{\nu+1}{\nu} \right )^\nu$.\]

Σήμερα, η (άρρητη) τιμή του παραπάνω ορίου είναι γνωστή ως «αριθμός του Euler», προς τιμήν, ενός άλλου σπουδαίου Ελβετού Μαθηματικού, του Euler (1707 – 1783). Συμβολίζεται διεθνώς με το e, γράμμα που ο ίδιος ο Euler υϊοθέτησε για να τον παραστήσει.

Στην ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή, πιθανώς, σ’ ένα πρόβλημα, παρόμοιο μ’ αυτό που οδήγησε στην ανακάλυψη του e, καλείστε να βοηθήσετε έναν χρηματιστή να διαφυλάξει τα συμφέροντα του πελάτη του. Ίσως να χρειαστεί να υπολογίσετε την προσεγγιστική τιμή του αριθμού του Euler, όπως και διάφορες δυνάμεις του, απαντώντας, έτσι, την αντίστοιχη εκθετική συνάρτηση.

Funds

Σκια … γραφώντας τη λογαριθμική συνάρτηση

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 30-05-2015

Μια συγκεκριμένη μέθοδος «τετραγωνισμού» της υπερβολής,

    \[y=\frac{\alpha}{x}, \,\,\,\,   x \neq 0\]

δηλαδή, προσέγγισης από ορθογώνια του εμβαδού του χωρίου που περικλείεται από το γράφημά της, τον οριζόντιο άξονα, και δύο κατάλληλες κατακόρυφες ευθείες, οδηγεί με φυσικό τρόπο στην έννοια της λογαριθμικής συνάρτησης με βάση τον αριθμό e.

Η μέθοδος αυτή, ίσως, να πρέπει να αποδοθεί στον Βέλγο Ιησουίτη Grégoire de Saint – Vincent (1584 – 1667), γνωστό με το προσωνύμιο του «κυκλοτετραγωνιστή», ο οποίος σίγουρα στηρίχθηκε σε προγενέστερες εργασίες του Γάλλου μαθηματικού και δικηγόρου Pierre de Fermat (1601 – 1665) για το αντίστοιχο πρόβλημα τετραγωνισμού καμπυλών που περιγράφονται από τον γενικό τύπο,

    \[ y=x^n. \]

(Γενικευμένες Παραβολές.)

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής μπορείτε να δοκιμάσετε να «τετραγωνίσετε» την υπερβολή, σκια … γραφώντας την αντίστοιχη λογαριθμική συνάρτηση.

logarithmic_function

Αναφορές

  1. Maor Eli, e: Η Ιστορία ενός αριθμού, Πανεπιστήμιο Loyola, Σικάγο, Εκδόσεις κάτοπτρο

Η «ρίζα» του – αναγκαίου – κακού …

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Γεωμετρία Α΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου | , στις 04-09-2014

Θα μπορούσατε να τοποθετήσετε, κατάλληλα, τέσσερα ίδια τετράγωνα, χωρίς αλληλεπικαλύψεις, έτσι, ώστε να κατασκευάσετε ένα νέο τετράγωνο; Είναι δυνατόν να γίνει το ίδιο με εννιά ίδια τετράγωνα; Με δεκαέξι; Με δύο; Τι παρατηρείτε;

Ο όρος «τετραγωνική ρίζα», για μια έννοια που συνήθως χρησιμοποιείται στο πλαίσιο αλγεβρικών διαδικασιών, έτσι κι αλλιώς, προϊδεάζει για δεσμούς της υπόστασής της με τη Γεωμετρία. Έχετε κάποια υπόννοια για το ποια θα μπορούσε να είναι η «ρίζα» ενός τετραγώνου;

Η σύνδεση με τη Γεωμετρία μπορεί να γίνει σχετικά εύκολα λ.χ. για τις τετραγωνικές ρίζες (τετράγωνων) αριθμών όπως το 4, το 9, το 16, το 25 κλπ. Για παράδειγμα, για τον αριθμό 4, η τετραγωνική του ρίζα δεν είναι τίποτε άλλο παρά η πλευρά τετραγώνου με εμβαδό 4. Εναλλακτικά, πρόκειται για την πλευρά ενός τετραγώνου που έχει εμβαδό όσο το συνολικό εμβαδό τεσσάρων ίδιων τετραγώνων εμβαδού 1.

Στα αρχαία Ινδικά εγχειρίδια «Sulbasutra», που αντλούν γνώσεις οι οποίες χρονολογούνται, ίσως, από το 2000 π.Χ. και μεταφέρθηκαν μέσω της προφορικής παράδοσης, περιγράφονται τρόποι κατασκευής βωμών και ναών, ενώ, ταυτόχρονα, δίνεται το απαραίτητο «τεχνικό» υπόβαθρο˙ μια συλλογή εμπειρικών «κανόνων» («Sutra»), ουσιαστικά, από το πεδίο που αργότερα θα στοιχειοθετούσε τη «Γεωμετρία». Προφανώς, σε κάποια από τις κατασκευές των αρχαίων Ινδών, χρειάστηκε ο υπολογισμός της διαγωνίου ενός τετραγώνου:

«Το μέτρο της πλευράς του πρέπει να αυξηθεί κατά το ένα τρίτο του κι αυτό (το ένα τρίτο του) ξανά με το ένα τέταρτό του μειωμένο κατά το τριακοστό τέταρτο (αυτού του τετάρτου)˙ αυτή είναι η διαγώνιος ενός τετραγώνου …»

Με σύγχρονη ορολογία και συμβολισμό:

    \[ \sqrt{2}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot4}-\frac{1}{3\cdot4\cdot34}\simeq 1.4142..., \]


Αλήθεια πως ήταν σε θέση οι αρχαίοι Ινδοί να προσδιορίσουν με τόσο μεγάλη ακρίβεια την εύρεση του \sqrt{2}; Ποιές πρωταρχικές γεωμετρικές διαδικασίες θα μπορούσαν να έχουν αξιοποιήσει; Άραγε, κατά την προσέγγισή τους, να αντιλήφθηκαν την ιδιαιτερότητα έκφρασης αυτού του αριθμού;

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής,

Sulbasutram_Square_Root_Of_Two

μπορείτε, ίσως, με μέθοδο παρόμοια μ΄ αυτήν που ενδεχομένως να ακολουθούσαν οι αρχαίοι Ινδοί, να βρείτε τρόπο έκφρασης των \sqrt{2},\sqrt{3} και \sqrt{5}.

Αναφορές

  1. Henderson D.W., Square Roots in the Sulbasutra, Department of Mathematics, Cornell University.

Η μέτρηση της γης από τον Ερατοσθένη

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Α΄ Γυμνασίου, Σινέ Μακρυκάπας Α΄ Γυμνασίου | , στις 14-08-2013

Δείτε σ’ αυτό το βίντεο πως μιας μέλισσα στο πηγάδι της Συήνης (Ασσουάν) και μια χελώνα στον περίβολο της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας της Αιγύπτου, βοηθούν τον αρχαίο Έλληνα Ερατοσθένη να υπολογίσει την περίμετρο της γης… (Ακριβέστερα, την περίμετρο του μεσημβρινού που διέρχεται από την Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου.)

Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Δ΄

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου | , στις 20-10-2012

Το «χρέος» των μιγαδικών

«[…] Έχετε υπάρξει βετεράνοι των δημιουργικών βασάνων. Συνεχίστε να εργάζεστε με την πίστη ότι τα αναίτια βάσανα είναι λυτρωτικά. […]»

Μάρτιν Λούθερ Κινγκ, «Έχω ένα όνειρο»

Το αδιέξοδο, στο οποίο οδηγήθηκε η μέθοδος των «Καρντάνο – Ταρτάλια», για το πρόβλημα της επίλυσης των τριτοβάθμιων εξισώσεων,

(1)   \begin{equation*} x^3+mx=n,\,\,\,\,m,n\in \mathbb{R}, \end{equation*}

στην περίπτωση όπου,

    \[ D=\left(\dfrac{n}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m}{3}\right)^3\leq0, \]

αποτέλεσε την αφορμή για την υλοποίηση της ιδέας της διεύρυνσης του συνόλου \mathbb{R} των πραγματικών στο σύνολο \mathbb{C} των μιγαδικών.

Πλέον, με τη συγκρότηση του \mathbb{C}, μπορεί να αναζητηθεί, για την (1), λύση της μορφής, x=\alpha-\beta, όπου, \alpha,\beta\in\mathbb{C}, τέτοια, ώστε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right, \end{equation*}

ή, ισοδύναμα, τέτοια ώστε,

    \begin{equation*} (\Sigma):\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha}\\ \left( \alpha ^{3}\right) ^{2}-n\alpha ^{3}-\left( \dfrac{m}{3}\right) ^{3}&=0 \end{aligned} \right.. \end{equation*}

Είναι αξιοσημείωτο ότι, στο πλαίσιο της αναζήτησης λύσης για το (Σ), ανακύπτουν βασικές έννοιες για το σύνολο \mathbb{C}, όπως η έννοια του συζυγούς, του μέτρου και της τριγωνομετρικής μορφής ενός μιγαδικού αριθμού, καθώς και βασικά συμπεράσματα που τις διέπουν, με κυριότερο το Θεώρημα De Moivre.

Παρατήρηση 1 Στο σύνολο \mathbb{C}, μια εξίσωση της μορφής, z^2=-\theta,\,\theta\in \mathbb{R} με \theta>0, ισοδύναμα, γράφεται,

    \begin{equation*} \begin{aligned} z^2-(i\sqrt{\theta})^2&=0\\ (z-i\sqrt{\theta})(z+i\sqrt{\theta})&=0 \end{aligned} \end{equation}

επομένως, έχει ακριβώς δύο λύσεις τις z_{1}= i\sqrt{\theta} και z_{2}=- i\sqrt{\theta}.

Με βάση την προηγούμενη παρατήρηση, από τη δεύτερη εξίσωση του (Σ), έπεται ότι,

    \[ \alpha^3=\frac{n\pm2i\sqrt{-D}}{2}=\dfrac{n}{2}\pm i\sqrt{-D}. \]

Οπότε, μια δυνατή επιλογή για το \alpha, μπορεί να προκύψει από την ισότητα,

(2)   \begin{equation*} \alpha^3=\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}}, \end{equation*}

ενώ, η αντίστοιχη επιλογή για το \beta πρέπει να πληροί,

(3)   \begin{equation*} \beta^3=-\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}}. \end{equation*}

Αν υποτεθεί ότι υπάρχει, για τη (2), λύση της μορφής,

    \[ \alpha_{1}=\gamma_{1}+i\delta_{1},\,\,\,\,\gamma_{1},\,\delta_{1}\in\mathbb{R}, \]

εύλογα, διερωτάται κανείς, αν, όπως στην περίπτωση όπου D>0, ο αντίθετος του συζυγή του \alpha_{1},

    \begin{equation*} \begin{aligned} \beta_{1}&=-\overline{\alpha_{1}}\\ &=-\gamma_{1}+i\delta_{1} \end{aligned} \end{equation*}

είναι λύση της (3).

Η απάντηση είναι καταφατική και απορρέει από την ιδιότητα,

    \[ \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}, \]

που, εύκολα, αποδεικνύεται ότι ισχύει για οποιουσδήποτε z,\,w\in\mathbb{C}.

Πράγματι,

    \[ \beta_{1}^{3}=\left( -\overline{\alpha_{1}}\right) ^{3}=-\overline{\alpha_{1}^{3}}\stackrel{\text{(2)}}{=}-\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}}. \]

Επειδή,

    \[ \alpha_{1}\cdot\beta_{1}=(\gamma_{1}+i\delta_{1})\cdot(-\gamma_{1}+i\delta_{1})=-\gamma_{1}^2-\delta_{1}^2, \]

αρκεί, λόγω του (Σ), να βρεθούν \gamma,\,\delta\in\mathbb{R} τέτοια, ώστε,

    \begin{equation*} (\Sigma'):\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{aligned} \gamma^2+\delta^2&=-\dfrac{m}{3}\\ (\gamma+i\delta)^3&=\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D} \end{aligned} \right.. \end{equation*}

Παρατήρηση 2 Αφού D\leq0, προφανώς m\leq0.

Η πρώτη εξίσωση του (Σ΄), γράφεται,

    \[ \Bigg(\dfrac{\gamma}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}}\Bigg)^2+\Bigg(\dfrac{\delta}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}}\Bigg)^2=1. \]

Θέτουμε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \cos\omega&=\dfrac{\gamma}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}}\\ \sin\omega&=\dfrac{\delta}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}} \end{aligned} \right., \end{equation*}

άρα,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \gamma&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega\\ \delta&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega \end{aligned} \right.. \end{equation*}

(Με \cos,\,\sin συμβολίζονται το συνημίτονο και το ημίτονο αντίστοιχα.)

Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση του (Σ΄),

    \[ \left(\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\right)^3=\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}, \]

επομένως,

    \[ \left(\cos\omega+i\sin\omega\right)^3=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}+i\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}. \]

Με τη βοήθεια γνωστών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \left(\cos\omega+i\sin\omega\right)^3&=\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)^2\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\\ &=\left(\cos^2\omega-\sin^2\omega+2i\cos\omega\sin\omega\right)\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\\ &=\big(\cos(2\omega)+i\sin(2\omega)\big)\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\\ &=\big(\cos(2\omega)\cos\omega-\sin(2\omega)\sin\omega\big)\\ &+i\big(\sin\omega\cos(2\omega)+\cos\omega\right)\sin(2\omega)\big)\\ &=\cos(3\omega)+i\sin(3\omega). \end{aligned} \end{equation*}

Συνεπώς,

    \[ \cos(3\omega)+i\sin(3\omega)=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}+i\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}. \]

Άρα, αρκεί να βρεθεί γωνία \omega τέτοια, ώστε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \cos(3\omega)=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}\\ \sin(3\omega)=\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}} \end{aligned} \right.. \end{equation*}

Όμως,

    \[ \Bigg(\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}\Bigg)^2+\Bigg(\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}\Bigg)^2=\dfrac{\Big(\dfrac{n}{2}\Big)^2-D}{-\Big(\dfrac{m}{3}\Big)^3}=1, \]

δηλαδή, υπάρχουν άπειρες λύσεις για το παραπάνω σύστημα.

Αν \omega_{1} είναι μια τέτοια λύση, τότε, \left( \gamma_{1},\delta_{1}\right) είναι λύση του (Σ΄), όπου,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \gamma_{1}&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}\\ \delta_{1}&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}, \end{aligned} \end{equation*}

οπότε, \left( \alpha_{1},\beta_{1}\right) είναι λύση του (Σ), όπου,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}+i\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}\\ \beta_{1}&=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}+i\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}. \end{aligned} \end{equation*}

Άρα,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=\alpha_{1}-\beta_{1}=2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1} \end{aligned} \end{equation*}

είναι μία πραγματική λύση της (1).

Με τη βοήθεια αυτής της λύσης, η (1) μετασχηματίζεται ως εξής,

    \[ x^3+mx=n \]

    \[ x^3+3\alpha_{1}\beta_{1}x=\alpha_{1}^{3}-\beta_{1}^{3} \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{3}-\beta _{1}^{3}\right) =0 \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0 \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) x+\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0 \]

    \[ x\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left\big( x+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) +\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0, \]

συνεπώς, γράφεται, τελικά,

(4)   \begin{equation*} \left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left\big( x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right\big) =0. \end{equation*}

Το τριώνυμο,

    \[ x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}, \]

έχει διακρίνουσα,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \Delta=-3(\alpha_{1}+\beta_{1})^{2} &=-3\left(2i\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}\right)^{2} &=12\left(\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}\right)^{2}. \end{aligned} \end{equation*}

Τελικά, η (1), όταν D\leq0 έχει τρεις πραγματικές λύσεις που δίνονται από τους τύπους,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}\\ x_{2}&=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\left(\cos\omega_{1}+\sqrt{3}\sin\omega_{1}\right)\\ x_{3}&=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\left(\cos\omega_{1}-\sqrt{3}\sin\omega_{1}\right). \end{aligned} \end{equation*}

Παράδειγμα 1 Για την εξίσωση, x^3-3x=-\sqrt{2}, έχουμε, m=-3,\,n=-\sqrt{2}, συνεπώς,

    \[ D=\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-3}{3}\right)^3=\dfrac{2}{4}+(-1)=-\dfrac{1}{2}<0, \]

Αναζητείται \omega, τέτοιο, ώστε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \cos(3\omega)&=\dfrac{\dfrac{-\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}^{3}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin(3\omega)&=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{2}}}{\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}^{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right., \end{equation*}

οπότε, μπορεί να επιλεγεί ως \omega_{1} το \dfrac{\pi}{4}.

Άρα, η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές λύσεις,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}\cdot\cos\dfrac{\pi}{4}=\sqrt{2}\\ x_{2}&=-\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}\\ x_{3}&=-\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{4}-\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}. \end{aligned} \end{equation*}

Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Γ΄

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου | , στις 30-09-2012

«Φανταστικές» … επινοήσεις

Η πρώτη σημαντική πρόοδος στην αλγεβρική επίλυση των τριτοβάθμιων εξισώσεων σημειώνεται στην Ιταλία. Γύρω στο 1515, ο καθηγητής Μαθηματικών Σκιπιόνε νταλ Φέρο (1465-1526), κάτοχος της Έδρας Αριθμητικής και Γεωμετρίας στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια, ανακάλυψε τον τύπο επίλυσης των τριτοβάθμιων εξισώσεων της μορφής,

(1)   \begin{equation*} x^3+mx=n,\,\,\,\,m,n\in \mathbb{R}. \end{equation*}

Φυσικά, το γενικό πρόβλημα ανάγεται στην προηγούμενη περίπτωση, μιας και κάθε τριτοβάθμια εξίσωση μπορεί να μετασχηματιστεί όπως παραπάνω με τη μέθοδο «συμπλήρωσης κύβου».

O νταλ Φέρο κράτησε μυστική την ανακάλυψή του, ωσότου, λίγο πριν τον θάνατό του, την αποκαλύψει στον μαθητή του Αντόνιο Φιόρ.

Έπειτα από δέκα χρόνια, περίπου, ένας προικισμένος μαθηματικός, ο Νικολό Φοντάνα (1499 – 1557), επονομαζόμενος Ταρτάλια, δημοσιοποίησε τον τρόπο επίλυσης τριτοβάθμιων εξισώσεων της μορφής,

    \[ x^{3}+px^{2}=q,\,\,\,\,p,q\in \mathbb{R}. \]

(Ο Φοντάνα έμεινε στην Ιστορία ως «Ταρτάλια», που σημαίνει τραυλός, εξαιτίας ενός προβλήματος στην άρθρωσή του, έπειτα από ένα σοβαρό παιδικό τραύμα που λίγο έλειψε να του κοστίσει τη ζωή.)

Μετά απ’ αυτήν την εξέλιξη, ο Φιόρ προκάλεσε τον Ταρτάλια σε δημόσιο διαγωνισμό, όπου καθένας τους, εντός διαστήματος 40 ή 50 ημερών, έπρεπε να επιλύσει 30 προβλήματα κυβικών εξισώσεων. Νικητής θα ανακηρυσσόταν εκείνος που θα έλυνε τα περισσότερα. Όμως, οχτώ ημέρες προτού ξεκινήσει ο διαγωνισμός, ο Ταρτάλια είχε καταφέρει να ανανακαλύψει, ανεξάρτητα, τον γενικό τρόπο επίλυσης κυβικών εξισώσεων της μορφής (1). Όλα τα προβλήματα που τέθηκαν από τον Φιόρ ήταν, τροποντινά, αυτής της μορφής, με αποτέλεσμα να λυθούν από τον Ταρτάλια μέσα σε δύο ώρες.

Αργότερα, ο ιδιοφυής μαθηματικός Τζερόλαμο Καρντάνο (1501 – 1576) προσέγγισε τον Ταρτάλια, καταφέρνοντας, με αθέμιτα μέσα, να του αποσπάσει τις ανακαλύψεις του. Στο σπουδαίο έργο του «Μεγάλη τέχνη», μια πραγματεία στην Άλγεβρα που δημοσιεύτηκε το 1545, παρουσιάζεται ο τύπος με τη βοήθεια του οποίου υπολογίζονται οι ρίζες των κυβικών εξισώσεων.

Ακριβέστερα, ο τύπος με τη βοήθεια του οποίου, αργότερα, θα μπορούσαν να υπολογιστούν οι ρίζες των κυβικών εξισώσεων. Διότι, τουλάχιστον, έτσι όπως αρχικά χρησιμοποιούταν, ήταν δυνατόν να υπολογιστούν μόνο οι ρίζες εξισώσεων όπου οι συντελεστές τους ικανοποιούσαν μια συγκεκριμένη συνθήκη. Ο ίδιος ο Καρντάνο είχε διερευνήσει γενικότερα το πρόβλημα έχοντας επικοινωνήσει, σχετικά, με τον Ταρτάλια. Παρότι έκανε βήματα προς τη σωστή κατεύθυνση, εντούτοις, ελλείψει απτών αποτελεσμάτων, χαρακτήρισε τη μέθοδό του «περισσότερο δεξιοτεχνική, παρά χρήσιμη». Έτσι, αναγκάστηκε να παραδεχτεί αυτήν την «αδυναμία», παραπέμποντας, μάλιστα, στις γεωμετρικές τεχνικές του παρελθόντος για μια πληρέστερη αντιμετώπιση του όλου προβλήματος.

Ο Ραφαήλ Μπομπέλι (1526 – 1572), ανίχνευσε με μεγαλύτερη «νηφαλιότητα» και «χωρίς αναστολές» τα «σκοτεινά» σημεία στο έργο του Καρντάνο. Τη χρονιά του θανάτου του, εκδίδεται το βιβλίο του «Άλγεβρα», στο οποίο ο Μπομπέλι «αποδέχεται» ποσότητες, εκτός του μαθηματικού πλαισίου της εποχής, διευρύνοντας το πεδίο εφαρμογής των τύπων επίλυσης των κυβικών εξισώσεων.

Μέσα από τις διάφορες φάσεις της, με σύγχρονο συμβολισμό και λίγη … «φαντασία», η ιστορία είχε ως εξής.

 

Η ταυτότητα,

    \[ \left( \alpha -\beta \right) ^{3}=\alpha ^{3}-3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}-\beta ^{3}, \]

η οποία γράφεται,

    \[ \left( \alpha -\beta \right) ^{3}+3\alpha\beta\left(\alpha -\beta\right)=\alpha ^{3}-\beta ^{3}, \]

υποδεικνύει, για την (1), αναζήτηση λύσης της μορφής, x=\alpha-\beta, με \alpha,\,\beta\in \mathbb{R}, όπου,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right.. \end{equation}

Διαδοχικά,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha }\\ \alpha^{3}-\left( \dfrac{m}{3\alpha }\right) ^{3}&=n \end{aligned} \right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha }\\ \left(\alpha^{3}\right)^2-\left(\dfrac{m}{3 }\right)^{3}&=n\alpha^{3} \end{aligned} \right., \end{equation*}

οπότε, προκύπτει το σύστημα,

    \begin{equation*} (\Sigma):\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha}\\ \left( \alpha ^{3}\right) ^{2}-n\alpha ^{3}-\left( \dfrac{m}{3}\right) ^{3}&=0 \end{aligned} \right.. \end{equation*}

Η δεύτερη εξίσωση του (Σ) είναι δεύτερου βαθμού ως προς \alpha ^{3} και έχει διακρίνουσα,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \Delta&=n^2+4\left(\dfrac{m}{3}\right)^3\\ &= 4\left(\left(\dfrac{n}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m}{3}\right)^3\right). \end{aligned} \end{equation*}

Έστω,

    \[ D=\left(\dfrac{n}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m}{3}\right)^3. \]

Περίπτωση Ι)

    \[ D>0. \]

Από τη δεύτερη εξίσωση του (Σ), έπεται ότι,

    \[ \alpha^3=\frac{n\pm2\sqrt{D}}{2}=\dfrac{n}{2}\pm\sqrt{D}. \]

Οπότε, μια δυνατή επιλογή για το \alpha είναι,

    \[ \alpha _{1}=\root{3}\of{\frac{n}{2}+\sqrt{D}}. \]

Η αντίστοιχη επιλογή για το \beta είναι,

    \[ \beta _{1}=\root{3}\of{-\frac{n}{2}+\sqrt{D}}. \]

Επομένως, μια ρίζα της εξίσωσης είναι, x_{1}&=\alpha_{1}-\beta_{1}, δηλαδή,

(2)   \begin{equation*} x_{1}=\root{3}\of{\frac{n}{2}+\sqrt{D}}-\root{3}\of{-\frac{n}{2}+\sqrt{D}}. \end{equation*}

Με τη βοήθεια αυτής της λύσης, η (1) μετασχηματίζεται ως εξής,

    \[ x^3+mx=n \]

    \[ x^3+3\alpha_{1}\beta_{1}x=\alpha_{1}^{3}-\beta_{1}^{3} \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{3}-\beta _{1}^{3}\right) =0 \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0 \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) x+\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0 \]

    \[ x\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\big) \left\big( x+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) +\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0, \]

συνεπώς, γράφεται, τελικά,

(3)   \begin{equation*} \left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left\big( x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right\big) =0 \end{equation*}

Το τριώνυμο,

    \[ x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}, \]

έχει διακρίνουσα,

    \[ \Delta'=-3(\alpha_{1}+\beta_{1})^{2}, \]

η οποία έχει αρνητικό πρόσημο διότι,

    \[ \Delta'=0\Leftrightarrow\alpha _{1}=-\beta _{1}\Leftrightarrow D=0. \]

Επομένως, η x_{1} είναι η μοναδική πραγματική λύση της (1).

Έπειτα, κάτι φαινομενικά περιττό:

Θα εκφραστούν τα \alpha_{1},\,\beta_{1} με τη βοήθεια της x_{1}.

Για το σκοπό αυτό, παρατηρούμε ότι,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \alpha_{1}+(-\beta_{1})&=x_{1}\\ \alpha_{1}\cdot(-\beta_{1})&=-\frac{m}{3} \end{aligned} \right., \end{equation*}

που σημαίνει ότι τα \alpha_{1},\,-\beta_{1} είναι οι ρίζες της εξίσωσης,

    \[ y^2-x_{1}y-\frac{m}{3}=0. \]

Άρα,

(4)   \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\dfrac{x_{1}+\sqrt{x_{1}^{2}+\dfrac{4}{3}m}}{2}=\dfrac{x_{1}}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{x_{1}}{2}\right)^{2}+\dfrac{m}{3}}}\\ \beta_{1}&=\dfrac{-x_{1}+\sqrt{x_{1}^{2}+\dfrac{4}{3}m}}{2}=\dfrac{-x_{1}}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{x_{1}}{2}\right)^{2}+\dfrac{m}{3}}}. \end{aligned} \end{equation*}

Παρατήρηση 1 Από τις εκφράσεις (4), έπεται ότι το \beta_{1} είναι ο αντίθετος του συζυγή του \alpha_{1}.

 

Στα επόμενα, θα φανεί η σημασία της τελευταίας παρατήρησης.

Παράδειγμα 1 Για την εξίσωση, x^3-9x=28, είναι, m=-9,\,n=28, συνεπώς,

    \[ D =\left(\dfrac{28}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-9}{3}\right)^3=196-27=169>0, \]

οπότε, έχει μοναδική πραγματική λύση,

    \[ x_{1}=\alpha_{1}-\beta_{1}=\root{3}\of{\frac{28}{2}+\sqrt{169}}-\root{3}\of{-\frac{28}{2}+\sqrt{169}}=\root{3}\of{27}-\root{3}\of{-1}=3-(-1)=4. \]

Από την άλλη μεριά, βάσει της λύσης x_{1}, χρησιμοποιώντας τους τύπους (4),

 

    \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\dfrac{4}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}+\dfrac{-9}{3}}}=2+\sqrt{1}\\ \beta_{1}&=-\dfrac{4}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}+\dfrac{-9}{3}}}=-2+\sqrt{1}. \end{aligned} \end{equation*}

Οι παραπάνω εναλλακτικές εκφράσεις για τα \alpha_{1},\beta_{1}, στο προηγούμενο παράδειγμα, δεν προσθέτουν, φυσικά, τίποτα καινούριο στην επίλυση της συγκεκριμένης εξίσωσης. Ωστόσο, με την ένταξή τους, μπορεί κανείς να είναι περισσότερο υποψιασμένος για τα όσα ακολουθούν.

Περίπτωση ΙΙ)

    \[ D\leq 0. \]

Για την ώρα, η ειδική περίπτωση της εξίσωσης,

(5)   \begin{equation*} \begin{aligned} x^3-15x=4, \end{aligned} \end{equation*}

για την οποία είναι, m=-15,\,n=4, οπότε,

    \[ D=\left(\dfrac{4}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-15}{3}\right)^3=4-125=-121<0. \]

Σύμφωνα με την ανάλυση που έγινε στην Περίπτωση Ι, γίνεται φανερό ότι δεν υπάρχει λύση x της μορφής x=\alpha-\beta, με \alpha,\,\beta\in \mathbb{R}, τέτοια, ώστε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right.. \end{equation}

Από την άλλη μεριά, η εξίσωση έχει προφανή λύση τη x_{1}=4. Έτσι, παραγοντοποιώντας, γράφεται, ισοδύναμα,

(6)   \begin{equation*} (x-4)(x^2+4x+1)=0. \end{equation*}

Συνεπώς, οι ρίζες της είναι,

    \[x_{1}=4,\,\,\,\,x_{2}=-2+\sqrt{3},\,\,\,\,x_{3}=-2-\sqrt{3}.\]

Επομένως, η (6) έχει τρεις πραγματικές ρίζες.

Επιπλέον, σ’ αυτήν την περίπτωση, οι τύποι (4) δεν ισχύουν, ωστόσο, αν τα «εξαγόμενά τους»,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\dfrac{4}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}+\dfrac{-15}{3}}}=2+\sqrt{-1}\\ \beta_{1}&=-\dfrac{4}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}+\dfrac{-15}{3}}}=-2+\sqrt{-1}, \end{aligned} \end{equation*}

για τη λύση x_{1}, μπορούσαν να ενσωματωθούν στην «οικογένεια» των αριθμών, εμπλουτίζοντάς την, με τέτοιο τρόπο, έτσι, ώστε, να «υπακούν» στους «νόμους» των πράξεων, τότε η (6) θα ήταν, πάλι, της μορφής (3). Πράγματι,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha _{1}-\beta _{1}&=\left(2+\sqrt{-1}\right)-\left(-2+\sqrt{-1}\right)=2-(-2)+{\sqrt{-1}}-\sqrt{-1}=4\\ \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right&=\left(2+\sqrt{-1}\right)^2+\left(2+\sqrt{-1}\right)\left(-2+\sqrt{-1}\right)+\left(-2+\sqrt{-1}\right)^2\\ &=2^2+2\cdot2\sqrt{-1}+\sqrt{-1}^2+\sqrt{-1}^2-2^2+(-2)^2-2\cdot2\sqrt{-1}\\ &+\sqrt{-1}^2\\ &=4+4\cdot\2\sqrt{-1}+(-1)+(-1)-4+4-4\cdot\2\sqrt{-1}+(-1)\\ &=1 \end{aligned} \end{equation*}

Βέβαια, έστω και μ’ αυτήν την υπέρβαση, παραμένει ανοικτό το πρόβλημα εύρεσης των \alpha_{1},\,\beta_{1} μιας και υπολογίστηκαν με τη βοήθεια της λύσης x_{1} της (5). Φυσικά, δε μπορεί να θεωρείται γνωστή, εκ των προτέρων, μια λύση για την τριτοβάθμια εξίσωση που επιλύεται.

 

Αψηφώντας, για δεύτερη φορά, βασική ιδιότητα της διάταξης των πραγματικών αριθμών, επιστρατεύεται ο τύπος (2), με την προσδοκία άμεσου υπολογισμού ρίζας για την εξίσωση (5). Έτσι,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=\alpha _{1}-\beta _{1}\\ &=\root{3}\of{\frac{4}{2}+\sqrt{-121}}-\root{3}\of{-\frac{4}{2}+\sqrt{-121}}\\ &=\root{3}\of{2+\sqrt{-121}}-\root{3}\of{-2+\sqrt{-121}}\\ &=\root{3}\of{2+11\sqrt{-1}}-\root{3}\of{-2+11\sqrt{-1}}. \end{aligned} \end{equation*}

Τώρα, εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των πράξεων, όπως στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών, έπεται ότι,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \left(2+\sqrt{-1}\right)^3&=2+11\sqrt{-1}\\ \left(-2+\sqrt{-1}\right)^3&=-2+11\sqrt{-1},\\ \end{aligned} \end{equation*}

που σημαίνει ότι,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2+\sqrt{-1}-\left(-2+\sqrt{-1}\right)\\ &=2-(-2)+\sqrt{-1}-\sqrt{-1}\\ &=4. \end{aligned} \end{equation*}

Ίσως ο υπολογισμός της x_{1} να είναι, πάλι, έμμεσος, όμως, αναδεικνύεται, ξανά, το ενδεχόμενο αξιοποίησης αυτών των «φανταστικών» εκφράσεων.

Για άλλη μια φορά οι Μαθηματικοί βρέθηκαν μπροστά σ’ ένα δίλλημα. Να αποδεχτούν, κατ’ αρχήν, αυτές τις εκφράσεις, από τη στιγμή που διαφαινόταν η συνεισφορά τους στο γενικό πρόβλημα της επίλυσης της τριτοβάθμιας εξίσωσης, ή να τις απορρίψουν διότι, μέχρι τότε, στερούνταν νοήματος και, στη συνέχεια, να στραφούν σε άλλες στρατηγικές για την επίλυσή του.

Επέλεξαν αυτό που ίσως, αρχικά, έμοιαζε αδιανόητο. Η πρόκληση ήταν σίγουρα σπουδαία μα το εγχείρημα καθόλου εύκολο. Έπρεπε να θεμελιωθεί ένα υπερσύνολο των πραγματικών αριθμών το οποίο να έχει ένα στοιχείο, έστω i, επιφορτισμένο να αναλάβει το ρόλο που είχε η έκφραση \sqrt{-1} παραπάνω. Επιπλέον, να έχει τις ίδιες πράξεις με το \mathbb{R} και τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων. Τα στοιχεία του, ως αποτέλεσμα των «προσμίξεών» του με τους πραγματικούς αριθμούς, έπρεπε να έχουν τη μορφή,

    \[ \alpha+\beta\cdot i,\,\,\,\,\alpha,\beta\in \mathbb{R}, \]

όπου i ^2=-1.

Άραγε, οι αριθμοί, εκτός από το να «αριθμούν», θα μπορούσαν, απλά, να υπόκεινται στις ιδιότητες που απορρέουν από τις αριθμητικές πράξεις;

Όταν ο αρχικός σκεπτικισμός ξεπεράστηκε, δίνοντας τη θέση του σε μια κριτική αναθεώρηση των ορισμών των διάφορων συνόλων των αριθμών, άρχισε να συγκροτείται το σύνολο \mathbb{C} των μιγαδικών. Προτεραιότητα δεν αποτέλεσε τόσο η φυσική ερμηνεία των στοιχείων του, όπως αυτά περιγράφηκαν παραπάνω, όσο η συνεπής μεταφορά, κατά τη δόμηση του νέου συνόλου, των πράξεων των πραγματικών και η ταυτόχρονη απελευθέρωση από τα δεσμά που επέβαλλε η διάταξη.

Αναφορές

  1. Eves H., Great moments in Mathematics Before 1650, Mathematical Association Of America, 1983.
  2. Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.
  3. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Quadratic, Cubic and quartic equations, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1996.

Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Β’

1

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 26-08-2012

«Ποιητικές» … Τομές

Οι αρχαίοι Έλληνες, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν το Δήλιο πρόβλημα, ανακάλυψαν μεθόδους, έτσι, ώστε να κατασκευάζουν δύο μέσους αναλόγους μεταξύ δύο τμημάτων.

Οι δύο μέσοι ανάλογοι παρίσταναν τις ακμές δύο κύβων, όπου ο πρώτος έχει όγκο ίσο με το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, που έχει βάση τετράγωνο πλευράς όσο το πρώτο τμήμα και ύψος όσο το δεύτερο τμήμα, ενώ ο δεύτερος έχει όγκο ίσο με το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, που έχει βάση τετράγωνο πλευράς όσο το δεύτερο τμήμα και ύψος όσο το πρώτο τμήμα.

Με σύγχρονη ορολογία, αυτό σημαίνει ότι, αν \alpha και \beta είναι δεδομένα τμήματα, τότε, μπορούσαν να κατασκευαστούν, όχι, όμως, με χρήση, αποκλειστικά, κανόνα και διαβήτη, \kappa, \lambda, τέτοια, ώστε,

    \[\dfrac{\alpha }{\kappa}=\dfrac{\kappa}{\lambda}=\dfrac{\lambda}{\beta },\]

απ’ όπου έπεται ότι,

    \[\kappa^{3}=\alpha ^{2}\beta\,\,\,\,\kappa\alpha\iota\,\,\,\,\lambda^{3}=\alpha \beta ^{2}.\]

Όπως απέδειξε ο Μέναιχμος, θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν, για τον σκοπό αυτό, μια παραβολή και μια υπερβολή ή, εναλλακτικά, δύο παραβολές. Να αλληλεπιδράσετε με το ακόλουθο γραφικό,

Finding_Two_Mean_Proportionals_Menaechmus'_Method

για να δείτε τον τρόπο του Μέναιχμου για την κατασκευή των \kappa, \lambda, με χρήση της τομής δύο παραβολών. Όπως θα διαπιστώσετε, αρκεί η γεωμετρική κατασκευή του μέσου αναλόγου δύο τμημάτων για τον σχεδιασμό των παραβολών.

Ο Πέρσης φιλόσοφος, μαθηματικός, αστρονόμος και ποιητής Ομάρ Καγιάμ (1048 – 1131), αναγνώρισε, στις μεθόδους του Μέναιχμου, τη στρατηγική με την οποία θα μπορούσαν να αξιοποιηθούν, γενικότερα, οι κωνικές τομές στην επίλυση εξισώσεων τρίτου βαθμού. Στο βιβλίο του «Πραγματεία στην Απόδειξη Προβλημάτων Άλγεβρας», επιλύονται 19 τύποι εξισώσεων τρίτου βαθμού, με τρόπους που προϊκονομούν τη γέννηση της Αναλυτικής Γεωμετρίας.

Ακολουθεί μια αντιπροσωπευτική επιλογή ορισμένων από τους τύπους των εξισώσεων, που επιλύονται στο βιβλίο του, καθώς και των αντίστοιχων μεθόδων επίλυσής τους. Παράλληλα, θα αναδειχθεί η διαδικασία με την οποία θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί μια οποιαδήποτε τριτοβάθμια εξίσωση. Προς τούτο, επιστρατεύονται, από τη σύγχρονη Άλγεβρα, ο τωρινός συμβολισμός, η χρήση του 0 και των αρνητικών αριθμών, όπως, επίσης, ορισμένες στοιχειώδης, πλέον, ιδιότητες των πράξεων.

Αρχικά, ας θεωρηθεί η απλούστερη δυνατή μορφή εξίσωσης τρίτου βαθμού, δηλαδή, μια εξίσωση της μορφής,

    \[x^{3}=\beta,\,\,\,\,\beta>0.\]

«Αναζήτηση ενός κύβου ίσου μ’ έναν αριθμό», όπως θα έγραφε ο Πέρσης μαθηματικός.

«Ανάγκη συσχέτισης του αριθμού μ’ ένα (τρισδιάστατο) σχήμα», όπως θα μηχανευόταν ο Πέρσης φιλόσοφος.

Η παραπάνω εξίσωση γράφεται,

    \[x^{3}=1^{2}\beta }.\]

Έτσι, από γεωμετρική σκοπιά, αυτό που αναζητείται ισούται με την ακμή ενός κύβου με όγκο όσο ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με βάση τετράγωνο πλευράς 1 και ύψος \beta. Με άλλα λόγια, το x δεν είναι τίποτε άλλο, παρά ο πρώτος από τους δύο μέσους αναλόγους που μπορούν να κατασκευαστούν μεταξύ των τμημάτων 1 και \beta. Εφαρμογή των μεθόδων των Ελλήνων, λοιπόν. Ιδιαίτερα, αυτών του Μέναιχμου.

Συνέχεια με την εξίσωση,

    \[x^{3}+\alpha x=\beta, \,\,\,\,\alpha,\beta >0.\]

Όπως θα έγραφε ο Ομάρ Καγιάμ, «ένας κύβος και πλευρές ίσες με έναν αριθμό».

Η εξίσωση γίνεται,

    \[x^{3}=-\alpha x+\beta .\]

Συνεπακόλουθα, θα ήταν χρήσιμο το β΄ μέλος της εξίσωσης να μετατραπεί, έτσι, ώστε, κατά απόλυτη τιμή, τουλάχιστον, να παριστάνει τον όγκο ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου τετραγωνικής βάσης.

Πράγματι, ο Ομάρ Καγιάμ θεώρησε ένα τετράγωνο εμβαδού \alpha και ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με βάση το προηγούμενο τετράγωνο και όγκο \beta. Οπότε, συμβολίζοντας με AB την πλευρά του τετραγώνου και με B\it{\Gamma} το ύψος του παραλληλεπιπέδου, η εξίσωση μετασχηματίζεται ως εξής,

    \[x^{3}=-AB^{2} x+AB^{2}B\it{\Gamma} ,\]

δηλαδή,

    \[x^{3}=AB^{2}(B\it{\Gamma} -x).\]

Μ’ αυτόν τον τρόπο, η επίλυσή της ανάγεται στην αναζήτηση x,y, τέτοιων, ώστε,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{B\it{\Gamma} -x}.\]

Τελικά, το x μπορεί να προσδιορίστεί ως τετμημένη του σημείου τομής της παραβολής,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y},\]

με τον κύκλο,

    \[\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{B\it{\Gamma} -x}.\]

Βασικές γνώσεις Αναλυτικής Γεωμετρίας επαρκούν, έτσι, ώστε να επαληθευτεί ότι οι προηγούμενες εξισώσεις παριστάνουν τις συγκεκριμένες κωνικές τομές. Βέβαια, οι γνώσεις αυτές δεν υπήρχαν την εποχή του Ομάρ Καγιάμ, ωστόσο, τα x, y, που εμφανίζονται σε καθεμία από τις παραπάνω αναλογίες, μπορούσαν, επεκτείνοντας τις μεθόδους του Μέναιχμου, να απεικονιστούν χάρη στη γνωστή κατασκευή του μέσου αναλόγου δύο τμημάτων. Από την ισότητα,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y},\]

προκύπτει ότι το x είναι το μέσο ανάλογο των AB,\,y και από την ισότητα,

    \[\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{B\it{\Gamma} -x},\]

ότι το y είναι το μέσο ανάλογο των x,\,B\it{\Gamma} -x.

Ο Πέρσης μαθηματικός θεώρησε, για την πρώτη ισότητα, μεταβλητό το y και κατασκεύαζε, με τη βοήθειά του, κάθε φορά, το x, ενώ, ενήργησε αντίστροφα για τη δεύτερη ισότητα. Με τη βοήθεια του ακόλουθου γραφικού, με το οποίο μπορείτε να αλληλεπιδράσετε, μπορεί να γίνει αντιληπτό πως ακριβώς σχηματίζονται οι παραπάνω κωνικές τομές.

Cubic_Equations_Omar Khayyam's_Method_01

Αντίστοιχα, η εξίσωση,

    \[x^{3}+\beta=\alpha x, \,\,\,\,\alpha,\beta >0,\]

γράφεται,

    \[x^{3}=\alpha x -\beta,\]

ή, αν AB, B\it{\Gamma}, όπως παραπάνω,

    \[x^{3}=AB^{2}(x -B\it{\Gamma}),\]

οπότε, αναζητούνται x,y, τέτοια, ώστε,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x-B\it{\Gamma} }.\]

Άρα, το x είναι η τετμημένη του σημείου τομής της παραβολής,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y},\]

με την υπερβολή,

    \[\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x-B\it{\Gamma}}.\]

Κι εδώ, η επαλήθευση μπορεί να γίνει με χρήση μεθόδων της Αναλυτικής Γεωμετρίας ή με τη βοήθεια του ακόλουθου γραφικού,

Cubic_Equations_Omar Khayyam's_Method_02

το οποίο, όπως προηγουμένως, αξιοποιεί, με δυναμικό τρόπο, τη γεωμετρική κατασκευή του μέσου αναλόγου δύο τμημάτων, καθώς αυτά μεταβάλλονται. Προφανώς, ο δεύτερος τρόπος προσιδιάζει, καλύτερα, στην προσέγγιση του Ομάρ Καγιάμ.

Είναι δυνατό, συνθέτοντας τις διάφορες, κατά περίπτωση, μεθόδους του Ομάρ Καγιάμ, να επιλυθεί, γενικότερα, μια οποιαδήποτε εξίσωση τρίτου βαθμού της μορφής,

    \[ x^{3}=\alpha x+\beta,\,\,\,\,\alpha,\beta \in \mathbb{R}.\]

Για να κατανοήσετε, καλύτερα, τον τρόπο, μπορείτε να αλληλεπιδράσετε με το ακόλουθο γραφικό.

Cubic_Equations_Omar Khayyam's_Generalized_Method

Τέλος, η γενική μορφή εξίσωσης τρίτου βαθμού,

    \[\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta =0,\,\,\,\,\alpha\neq0, \]

μπορεί να μετασχηματιστεί στην προηγούμενη μορφή, συμπληρώνοντας το α΄ μέλος της σε τέλειο κύβο. Πραγματικά, διαδοχικά, ισχύει,

    \[\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta =0 \]

    \[x^{3}+\dfrac{\beta }{\alpha }x^{2}+\dfrac{\gamma }{\alpha }x+\dfrac{\delta }{\alpha }=0\]

    \[x^{3}+3\dfrac{\beta }{3\alpha }x^{2}+3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}x+\left( \dfrac{\gamma }{\alpha }-3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}\right) x+\dfrac{\delta }{\alpha }=0\]

    \[x^{3}+3\dfrac{\beta }{3\alpha }x^{2}+3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}x+\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}+\left( \dfrac{\gamma }{\alpha }-3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}\right) x+\dfrac{\delta }{\alpha }-\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=0\]

    \[\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=\left( 3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}-\dfrac{\gamma }{\alpha }\right) x+\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}-\dfrac{\delta }{\alpha }\]

    \[\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}} x+\dfrac{\beta ^{3}-27\delta \alpha ^{2}}{27\alpha ^{3}}\]

    \[\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}} \left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) +\dfrac{\beta ^{3}-27\delta \alpha ^{2}}{27\alpha ^{3}}-\dfrac{\beta }{3\alpha }\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}}\]

    \[\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}}\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) +\dfrac{-2\beta ^{3}-27\delta \alpha ^{2}+9\alpha \beta \gamma }{27\alpha ^{3}}.\]

Η τελευταία εξίσωση είναι της μορφής,

    \[y^{3}=\alpha ^{\prime }y+\beta ^{\prime },\]

όπου,

    \[y=x+\dfrac{\beta }{3\alpha },\,\,\,\,\alpha ^{\prime }=\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}},\,\,\,\,\beta ^{\prime }=\dfrac{-2\beta ^{3}-27\delta \alpha ^{2}+9\alpha \beta \gamma }{27\alpha ^{3}}.\]

Όμως, η Άλγεβρα δε θα περιοριζόταν σε βοηθητικό ρόλο για πάρα πολύ ακόμη. Μέσα στο εννοιολογικό της πλαίσιο, θα τεθεί το πρόβλημα της εύρεσης τύπων που να επιλύουν μια οποιαδήποτε τριτοβάθμια εξίσωση και οι μέθοδοί της θα οδηγήσουν τις εξελίξεις.

Έτσι, το 1500, περίπου, στην Ιταλία, εγκαινιάζεται μία νέα φάση στο πρόβλημα με συναρπαστικές και αναπάντεχες προεκτάσεις για την Άλγεβρα και τα Μαθηματικά γενικότερα.

Αναφορές

  1. Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.
  2. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Doubling the cube, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1999.
Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων