π – εριτυλίξτε …

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 17-12-2016

Στο πλαίσιο της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, θα κληθείτε να προσαρτήσετε τη διάμετρο ενός κύκλου στην περιφέρειά του, προσομοιώνοντας την καμπύλωσή της, ξεκινώντας από κάποιο σημείο εφαρμογής, πάνω στον κύκλο, και συνεχίζοντας, διαδοχικά, με όμοιο τρόπο, από το σημείο στο οποίο, κάθε φορά, καταλήγει, παρατηρώντας τον ακριβή αριθμό που φανερώνει πόσες φορές το καμπυλωμένο τμήμα της διαμέτρου «χωράει» στον κύκλο.

Συνεπώς, προκύπτει μια πρώτη εκτίμηση για το μήκος του κύκλου με μονάδα μέτρησης τη διάμετρό του. Πώς, όμως, θα μπορούσε η εκτίμηση αυτή να γίνει καλύτερη;

Προφανώς, η προηγούμενη διαδικασία θα μπορούσε να επαναληφθεί με χρήση κατάλληλων, κάθε φορά, υποδιαιρέσεων της διαμέτρου, ωσότου προσεγγιστεί, όσο το δυνατόν περισσότερο, το αρχικό σημείο εφαρμογής της διαμέτρου στον κύκλο, κατά το ξεκίνημα της διαδικασίας.

Η εκτίμηση θα μπορούσε να βελτιωθεί, εξαντλητικά, ανακαλύπτοντας, ολοένα και περισσότερο, τα ψηφία του αριθμού που συσχετίζουν το μήκος ενός κύκλου με τη διάμετρό του.

Έτσι, με τη βοήθειά της, μπορείτε να συνδέσετε τον αριθμό π με το «π – εριτύλιγμα …» του κύκλου από διαμέτρους και από τις υποδιαιρέσεις τους.

Τα ακτίνια του κύκλου …

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου | , στις 04-12-2016

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε να επιχειρήσετε να προσαρτήσετε, διαδοχικά και χωρίς αλληλεπικαλύψεις, κατάλληλο αριθμό (ακέραιων) ακτίνων ενός κύκλου στην περιφέρειά του, καμπυλώνοντας τα αντίστοιχα ευθύγραμμα τμήματά τους. Θα παρατηρήσετε ότι κάποιο μέρος του κύκλου παραμένει «ακάλυπτο». Έτσι, μπορείτε να συνεχίσετε, παρόμοια, υποδιαιρώντας τις ακτίνες, αφού τις διαιρέσετε σε κατάλληλο αριθμό ίσων τμημάτων, για να «καλύψετε» περαιτέρω τον κύκλο. Μπορείτε να σταματήσετε όταν θεωρήσετε ότι καλύψατε, επαρκώς, τον κύκλο.

Ποιος αριθμός «μετράει» τον κύκλο, με τη βοήθεια της ακτίνας του, με βάση την κάλυψή σας;

Η διαδικασία, που περιγράφηκε παραπάνω, θα περατωθεί ποτέ;

Τελικά, τι είδους αριθμός εκφράζει τον κύκλο σε ακτίνια και ποια είναι η τιμή του;

circles_measurement_radians

Ο π – ελάτης έχει πάντα δίκιο!

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου | , στις 16-07-2014

Μια απαιτητική πελάτισσα, με αφορμή την τροποποίηση ενός στρογγυλού γυάλινου τραπεζιού, «εξαντλεί» τα «όρια» των ικανοτήτων ενός δεξιοτέχνη υαλοποιού. Θα βοηθήσετε τον υαλοποιό να ολοκληρώσει την παραγγελία;

Ίσως, στην προσπάθεια αυτή, να απαντήσετε τη μέθοδο του Αρχιμήδη για τον υπολογισμό του μήκους και του εμβαδού ενός κύκλου. Επίσης, θα έχετε τη δυνατότητα να ξανασυστηθείτε μ΄ έναν παλιό σας γνώριμο: τον αριθμό \pi.

Pi's_Priviledge

Εμβαδό κυκλικού δίσκου

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 07-10-2011

Γνωρίζετε, ήδη, τρόπους υπολογισμού εμβαδών ευθύγραμμων σχημάτων, όπως του τετραγώνου, του ορθογωνίου, του παραλληλογράμμου, του τριγώνου, του τραπεζίου.

Θα προσπαθήσουμε να ανακαλύψουμε έναν τρόπο για να υπολογίσουμε το εμβαδό του κυκλικού δίσκου. Η ιδιαιτερότητα του είναι ότι πρόκειται για καμπυλόγραμμο σχήμα. Μπορούμε, άραγε, να το «μετασχηματίσουμε» σ’ ένα ευθύγραμμο σχήμα με ίδιο εμβαδόν; Αν ναι, τότε, ενδεχομένως, να μπορούσαμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του.

Όμως, κάτι τέτοιο είναι αδύνατο. Ωστόσο, αυτό που μπορεί να γίνει είναι ο «μετασχηματισμός» του σ’ ένα σχήμα ίδιου εμβαδού, που προσεγγίζει ένα ευθύγραμμο σχήμα.

Όπως μπορείτε να παρατηρήσετε στο ακόλουθο γραφικό,

Circle_surface_area

ο κυκλικός δίσκος έχει χωριστεί σε τέσσερις ίσους κυκλικούς τομείς, οι οποίοι έχουν τοποθετηθεί με τέτοιο τρόπο, ώστε να προκύπτει ένα σχήμα, το οποίο θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως «καμπυλόγραμμο παραλληλόγραμμο». Προφανώς, το εμβαδόν του είναι το ίδιο με το εμβαδό του κυκλικού δίσκου.

Αν αλληλεπιδράσετε με το γραφικό αυτό, πατώντας το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού σ’ ένα οποιοδήποτε σημείο του, θα παρατηρήσετε ότι όσο το πλήθος των κυκλικών τομέων αυξάνεται, τόσο το «καμπυλόγραμμο παραλληλόγραμμο» τείνει να γίνει ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, του οποίου οι διαστάσεις μπορούν να προσδιοριστούν.

Συγκεκριμένα, το «πλάτος» είναι όσο η ακτίνα του κύκλου και το «μήκος» όσο το μισό του μήκους του κύκλου, μιας και οι δύο «καμπυλόγραμμες πλευρές» του έχουν συνολικό μήκος όσο ο κύκλος. Επομένως, αν συμβολίσουμε με \alpha το μήκος του, με \beta το πλάτος του και με \rho την ακτίνα του κύκλου, τότε θα έχουμε,

    \[ $\alpha=\dfrac{2\cdot \pi \cdot \rho }{2}=\pi \cdot \rho,$ \\$\beta=\rho.$\]

Συνεπώς, το εμβαδό του, E, θα είναι,

    \[E=\alpha\cdot\beta=\pi \cdot \rho \cdot \rho =\pi \cdot \rho ^{2}.\]

Το «π»

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 17-06-2011

PiΘα προσπαθήσουμε να ανακαλύψουμε πόσες φορές «χωράει» στην περιφέρεια τού διπλανού κύκλου η διάμετρός του.

Παίρνουμε ένα νήμα με μήκος ίσο με τη διάμετρο τού κύκλου.

Στερεώνουμε τη μία άκρη του σ’ ένα σημείο τού κύκλου το οποίο το συμβολίζουμε με A.

Φροντίζοντας, έτσι, ώστε το νήμα να παραμένει «εγκλωβισμένο» στην περιφέρεια του κύκλου, σημειώνουμε με B το σημείο τού κύκλου στο οποίο καταλήγει η άλλη άκρη τού νήματος.

Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία, στερεώνοντας, αυτή τη φορά, τη μία άκρη ενός ίδιου νήματος στο σημείο B, οπότε η άλλη άκρη καταλήγει στο σημείο τού κύκλου το οποίο συμβολίζουμε με \it\Gamma.

Παρατηρούμε ότι υπάρχει περιθώριο για ακριβώς μία, ακόμη, επανάληψη της διαδικασίας, με αφετηρία αυτή τη φορά το σημείο \it\Gamma και κατάληξη το σημείο τού κύκλου που συμβολίζουμε με \it\Delta.

Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι, μέχρι στιγμής, το νήμα «χωράει» 3 φορές στην περιφέρεια του κύκλου.

Στη συνέχεια, γίνεται φανερό ότι αν θέλουμε να «καλύψουμε» ολόκληρη την περιφέρεια τού κύκλου, θα πρέπει να καταφύγουμε σε υποδιαιρέσεις ενός τέτοιου νήματος.

Αρχικά, το κόβουμε σε δέκα ίσα μέρη. Στερεώνοντας τη μια άκρη, για το ένα απ’ αυτά τα δέκα μέρη, στο σημείο \it\Delta, παρατηρούμε ότι η άλλη άκρη καταλήγει στο σημείο τού κύκλου που το συμβολίζουμε με το γράμμα E.

Άρα, μέχρι στιγμής, το νήμα «χωράει» 3,1 φορές στον κύκλο και για να συνεχίσουμε θα χρειαστούμε επιπλέον υποδιαίρεση.

Λοιπόν, το κόβουμε, τώρα, σε εκατό ίσα μέρη. Χρησιμοποιώντας τα τέσσερα απ’ αυτά, διαδοχικά, το ένα μετά το άλλο, σύμφωνα με την προηγούμενη διαδικασία, ξεκινώντας απ’ το σημείο E, παρατηρούμε ότι καταλήγουμε στο σημείο τού κύκλου που το συμβολίζουμε με το γράμμα Z.

Άρα, μέχρι στιγμής, το νήμα «χωράει» 3,14 φορές στον κύκλο.

Επίσης, το σημείο Z φαίνεται ότι έχει συμπέσει με το σημείο A και η διαδικασία μοιάζει να έχει ολοκληρωθεί.

Είναι, όμως, έτσι, ή μήπως πρόκειται για οφθαλμαπάτη;

Για να διαπιστώσετε ότι, πράγματι, πρόκειται για οφθαλμαπάτη, θα πρέπει να μεγεθύνετε το σχήμα. Πατήστε το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού σ’ ένα οποιοδήποτε σημείο του, έτσι, ώστε, να σάς δοθεί δυνατότητα αλληλεπίδρασης μαζί του. Ακολούθως, αφού επιβεβαιώσετε με τη βοήθεια κατάλληλων ερωτήσεων τα παραπάνω, μεγεθύνετε όσο χρειαστεί, διαλέγοντας την αντίστοιχη επιλογή, ωσότου γίνει φανερό ότι τα σημεία A και Z είναι διαφορετικά.

Επομένως, δε μπορούμε να πούμε ότι το νήμα «χωράει» ακριβώς 3,14 φορές στον κύκλο, αφού εξακολουθεί κάποιο, έστω μικρό, μέρος τού κύκλου να παραμένει «ακάλυπτο».

Όσο κι αν προσπαθήσουμε, όσες φορές κι αν ακολουθήσουμε την προηγούμενη διαδικασία (κόβοντας το νήμα διαδοχικά σε 1000, 10000, 100000 κ.ο.κ. ίσα μέρη), δε θα καταφέρουμε να «καλύψουμε» ολόκληρη την περιφέρεια τού κύκλου. Βέβαια, κάθε φορά θα ανακαλύπτουμε κι ένα ακόμη δεκαδικό ψηφίο τού αριθμού που μάς δείχνει πόσες φορές «χωράει» η διάμετρος τού κύκλου στην περιφέρειά του.

Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτό συμβαίνει σε οποιονδήποτε κύκλο.

Τα δεκαδικά ψηφία αυτού τού αριθμού δεν τελειώνουν ποτέ. Δε μπορούμε να τον διαβάσουμε, όπως διαβάζουμε έναν φυσικό, έναν ακέραιο ή έναν δεκαδικό αριθμό (περιοδικό ή μη), ωστόσο, αυτό μοιάζει περισσότερο με δική μας αδυναμία. Πρέπει να τον δεχτούμε στην «οικογένεια» των αριθμών. Άλλωστε, όπως οι υπόλοιποι «συγγενείς» του, κι αυτός μετράει:

Την περιφέρεια \left( L\right) τού κύκλου με τη βοήθεια τής διαμέτρου του \left( \delta\right).

    \[\boxed{L=\pi \cdot \delta}\]

Συμβολίζεται, διεθνώς, με το γράμμα \pi, από το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης «περιφέρεια». Τα πρώτα 22 δεκαδικά ψηφία αυτού του άρρητου αριθμού είναι,

    \[\pi=3,1415926535897932384626...\]

(Για μια ενδελεχή μελέτη των δεκαδικών του ψηφίων, λίγη υπομονή μέχρι τη Β΄ Λυκείου …)

«Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι»

Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων