ΜαθηματιΚά Ένα ιστολόγιο του ΠΣΔ 

Το 800 μ.Χ., περίπου, ο Άραβας μαθηματικός αλ – Κβαρίσμι, συνθέτοντας διάφορες γνωστές τεχνικές που εφαρμόζονταν για την επίλυση συγκεκριμένων μορφών δευτεροβάθμιων εξισώσεων, υποδεικνύει τον τρόπο με τον οποίο θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί, γενικά, μια οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση.

Η μέθοδός του είναι, ουσιαστικά, γεωμετρική. Πρόκειται για τη “συμπλήρωση τετραγώνου”, η οποία ήταν γνωστή στους λαούς της αρχαιότητας. Οι Ινδοί, το 800 με 600 π.Χ., περίπου, χρησιμοποίησαν τη μέθοδο στον “τετραγωνισμό” του ορθογωνίου, οι Βαβυλώνιοι, το 400 π.Χ., περίπου, σε προβλήματα, τα οποία, με μεταγενέστερη ορολογία, οδηγούν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων, αλλά κι οι Έλληνες, με τον Ευκλείδη το 300 π.Χ., περίπου, για την κατασκευή τμημάτων, τα μήκη των οποίων, αργότερα, θα μπορούσαν να θεωρηθούν λύσεις δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Ο αλ – Κβαρίσμι, στο βιβλίο του “Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala”, ανέπτυξε την προηγούμενη μέθοδο για να επιλύσει πέντε διαφορετικές δευτεροβάθμιες εξισώσεις, που εκπροσωπούσαν πέντε διαφορετικούς τύπους δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Η απουσία του και των αρνητικών αριθμών καθιστούσε αδύνατη την ενοποίησή τους σε ένα γενικό τύπο.

Για παράδειγμα, ενώ, σήμερα, οι εξισώσεις,

και

εντάσσονται στον γενικό τύπο,

εκείνη την εποχή εκπροσωπούσαν, αναγκαστικά, δύο διαφορετικούς τύπους δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Παρεμπιπτόντως, η ονομασία “Άλγεβρα” προέρχεται από τον αραβικό όρο “al-ğabr” στον τίτλο του βιβλίου. Οι όροι “al-ğabr” και “al-muqābala”, που αποδίδονται στα ελληνικά ως “συμπλήρωση” και “αντιπαράθεση”, χρησιμοποιήθηκαν για να περιγράψουν, σ’ ένα πρωτογενές στάδιο, τη διαδικασία της αναγωγής ομοίων όρων.

“Συνοπτική πραγματεία στις λογιστικές μεθόδους συμπλήρωσης και αντιπαράθεσης”, λοιπόν, ο τίτλος, σε ελεύθερη απόδοση, αυτού που για πολλούς θεωρείται ως το πρώτο βιβλίο Άλγεβρας στην ιστορία των Μαθηματικών.

Η εργασία του αλ  – Κβαρίσμι προανήγγειλε τη γέννηση των τύπων που δίνουν τις ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, όταν η διακρίνουσά της είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.

Η εξίσωση,

είναι μία από τις πέντε διαφορετικές δευτεροβάθμιες εξισώσεις που επιλύονται στο βιβλίο του.

Η μέθοδος επίλυσης, που ακολούθησε ο ίδιος ο αλ – Κβαρίσμι, σκιαγραφείται ελαφρώς παραλλαγμένη στη συνέχεια. Βασίζεται στη “συμπλήρωση” του ακόλουθου σχήματος.

Τα ερωτήματα που ακολουθούν προετοιμάζουν το έδαφος για την καλύτερη κατανόηση της μεθόδου.

• Τι είδους χωρία απαρτίζουν το παραπάνω σχήμα;
• Tι παριστάνει το συνολικό εμβαδόν του σε σχέση με την εξίσωση;
• Σε τι θα μπορούσε να «συμπληρωθεί»;
• Ποιο θα είναι το νέο του εμβαδόν βάσει της εξίσωσης;
• Ποια είναι, τελικά, η τιμή του ;

Εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι το τετράγωνο και τα δύο ορθογώνια, που αποτελούν το παραπάνω σχήμα, έχουν συνολικό εμβαδό,

δηλαδή, ίσο με την παράσταση του α΄ μέλους της εξίσωσης.

Επομένως, η θετική τιμή, αν υπάρχει, του αγνώστου της εξίσωσης, μπορεί να αναζητηθεί με βάση τη συνθήκη το συνολικό εμβαδό του σχήματος να είναι .

Ισοδύναμα, από τη συνθήκη το εμβαδό του τετραγώνου ,

που προκύπτει, μετά τη «συμπλήρωση», να είναι,

όπου το εκφράζει το εμβαδό του τετραγώνου που προστέθηκε στο αρχικό σχήμα.

Μ’ άλλα λόγια, η πλευρά του τετραγώνου πρέπει και αρκεί να ισούται με .

Άρα, τελικά, η λύση της εξίσωσης είναι .

Φυσικά, όπως προαναφέρθηκε, η αναζήτηση του αγνώστου περιορίστηκε στους θετικούς αριθμούς μιας και οι αρνητικοί αριθμοί δεν είχαν γίνει, καθολικά, αποδεκτοί την εποχή του αλ – Κβαρίσμι.

Μια οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση θα μπορούσε νε επιλυθεί με τρόπο όμοιο μ’ αυτόν που περιεγράφηκε προηγουμένως. Μάλιστα, η έννοια της απόλυτης τιμής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να άρει τον περιορισμό των θετικών τιμών κατά την αναζήτηση των ριζών της εξίσωσης.

Αλληλοεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό, μπορείτε να δοκιμάσετε να βρείτε τις ρίζες διάφορων δευτεροβάθμιων εξισώσεων, γεωμετρικά, χωρίς να χρησιμοποιήσετε τους γνωστούς τύπους.

Αναφορές

1. Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.
2. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Quadratic, cubic and quartic equations, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1996.
3. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1999.

Copyright © 2012. Με την επιφύλαξη όλων των δικαιωμάτων.