Ένας ήσυχος περίπατος, δύο μαθητών, εξελίσσεται σε εφιάλτη όταν τα δύο σκυλάκια, που έχουν μαζί τους, ετοιμάζονται να διεκδικήσουν ένα κόκκαλο, που βρέθηκε στο δρόμο τους.
Θα καταφέρουν, τα δύο παιδιά, να χειριστούν, σε διάφορες περιπτώσεις, τα δύο σκυλάκια ή το εγχείρημα θα αποδειχτεί ένα δυσεπίλυτο γεωμετρικό πρόβλημα;
Στο πλαίσιο της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, θα κληθείτε να προσαρτήσετε τη διάμετρο ενός κύκλου στην περιφέρειά του, προσομοιώνοντας την καμπύλωσή της, ξεκινώντας από κάποιο σημείο εφαρμογής, πάνω στον κύκλο, και συνεχίζοντας, διαδοχικά, με όμοιο τρόπο, από το σημείο στο οποίο, κάθε φορά, καταλήγει, παρατηρώντας τον ακριβή αριθμό που φανερώνει πόσες φορές το καμπυλωμένο τμήμα της διαμέτρου “χωράει” στον κύκλο.
Συνεπώς, προκύπτει μια πρώτη εκτίμηση για το μήκος του κύκλου με μονάδα μέτρησης τη διάμετρό του. Πώς, όμως, θα μπορούσε η εκτίμηση αυτή να γίνει καλύτερη;
Προφανώς, η προηγούμενη διαδικασία θα μπορούσε να επαναληφθεί με χρήση κατάλληλων, κάθε φορά, υποδιαιρέσεων της διαμέτρου, ωσότου προσεγγιστεί, όσο το δυνατόν περισσότερο, το αρχικό σημείο εφαρμογής της διαμέτρου στον κύκλο, κατά το ξεκίνημα της διαδικασίας.
Η εκτίμηση θα μπορούσε να βελτιωθεί, εξαντλητικά, ανακαλύπτοντας, ολοένα και περισσότερο, τα ψηφία του αριθμού που συσχετίζουν το μήκος ενός κύκλου με τη διάμετρό του.
Έτσι, με τη βοήθειά της, μπορείτε να συνδέσετε τον αριθμό π με το “π – εριτύλιγμα …” του κύκλου από διαμέτρους και από τις υποδιαιρέσεις τους.
Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε να επιχειρήσετε να προσαρτήσετε, διαδοχικά και χωρίς αλληλεπικαλύψεις, κατάλληλο αριθμό (ακέραιων) ακτίνων ενός κύκλου στην περιφέρειά του, καμπυλώνοντας τα αντίστοιχα ευθύγραμμα τμήματά τους. Θα παρατηρήσετε ότι κάποιο μέρος του κύκλου παραμένει “ακάλυπτο”. Έτσι, μπορείτε να συνεχίσετε, παρόμοια, υποδιαιρώντας τις ακτίνες, αφού τις διαιρέσετε σε κατάλληλο αριθμό ίσων τμημάτων, για να “καλύψετε” περαιτέρω τον κύκλο. Μπορείτε να σταματήσετε όταν θεωρήσετε ότι καλύψατε, επαρκώς, τον κύκλο.
Ποιος αριθμός “μετράει” τον κύκλο, με τη βοήθεια της ακτίνας του, με βάση την κάλυψή σας;
Η διαδικασία, που περιγράφηκε παραπάνω, θα περατωθεί ποτέ;
Τελικά, τι είδους αριθμός εκφράζει τον κύκλο σε ακτίνια και ποια είναι η τιμή του;
Πότε τρία μη συνευθειακά σημεία του επιπέδου είναι ομοκυκλικά, δηλαδή, πότε υπάρχει κύκλος που διέρχεται από αυτά τα σημεία; Πως θα μπορούσε να κατασκευαστεί, με ακρίβεια, το κέντρο του και ποια θα είναι η ακτίνα του;
Επίσης, για τρία μη συνευθειακά σημεία του επιπέδου, με ποιο τρόπο θα μπορούσε να γίνει η κατασκευή ενός κύκλου που το εμβαδό του είναι μέγιστο μεταξύ όλων των κύκλων που βρίσκονται στο εσωτερικό του τριγώνου που ορίζεται από τα τρία σημεία;
Ένας μηχανικός, μάλλον, θα χρειαστεί την καθοδήγησή σας, για να ολοκληρώσει το σχέδιό του, στην παρακάτω διαδραστική εφαρμογή.
Όπως θα διαπιστώσετε, θα πρέπει να απαντήσει στα παραπάνω ερωτήματα σχεδιάζοντας, τροποντινά , τον περιγεγραμμένο και τον εγγεγραμμένο κύκλο τριγώνων, βρίσκοντας, πρώτα απ’ όλα, τα αντίστοιχα κέντρα τους: το περίκεντρο και το έγκεντρο.
Μπορείτε να βοηθήσετε;
Αναρωτηθήκατε, ποτέ, γιατί, κατά τις γεωμετρικές κατασκευές, δεν επιτρέπεται χρήση άλλων οργάνων εκτός από τον κανόνα και τον διαβήτη;
Τι επιτάσσει αυτόν τον «καταδυναστικό» περιορισμό; Μπορεί να παρακαμφθεί, στο πλαίσιο της (Ευκλείδειας) Γεωμετρίας ή πρέπει να θεωρείται απαρέγκλιτος;
Είναι απότοκο της παράδοσης των αρχαίων Ελλήνων Γεωμετρών; Είναι μια αδιαφιλονίκητη πεποίθηση, συνυφασμένη με την αρχαία ελληνική φιλοσοφία, ότι τα “πάντα” θα μπορούσαν να παραχθούν από δύο βασικά σχήματα;
Είναι ζήτημα καθαρά μαθηματικό;
Είναι ζήτημα πολιτισμικό;
Είναι θέμα αρχών ή αξιωμάτων;
Είναι ιδεοληψία, είναι εμμονή, είναι ουτοπία, είναι … τυραννία;
Ο κανόνας κι ο διαβήτης, οι Διόσκουροι των γεωμετρικών οργάνων, πηγάζουν, εννοιολογικά, από τα σπλάχνα της Γεωμετρίας, ενσαρκώνοντας τα δύο πρωτογενή γεωμετρικά αντικείμενα: την ευθεία και τον κύκλο.
Η αναζήτηση των στοιχειωδών, των σπερμικών αρχών ή των δομικών συστατικών, καθώς κι η μεθοδολογία παραγωγής ενός συνόλου εννοιών, οντοτήτων ή υποστάσεων, με βάση τα κυρίαρχα, απαντάται σε διάφορα εννοιολογικά, υλικά και επιστημονικά πλαίσια:
Μια ομάδα οικολόγων προσπαθεί να εντοπίσει ένα νεογέννητο, από ένα σπάνιο είδος φώκιας, για το οποίο έχει πληροφορηθεί ότι έχει βρει καταφύγιο σε μια σπηλιά, σε μια βραχώδη περιοχή, βόρεια ενός νησιού.
Το πλήρωμα του σκάφους, που θα αναλάβει την αποστολή, θα χρειαστεί τις μαθηματικές σας γνώσεις στα ερωτήματα που, διαδοχικά, θα κληθεί να απαντήσει.
Μπορείτε να βοηθήσετε;
Μια απαιτητική πελάτισσα, με αφορμή την τροποποίηση ενός στρογγυλού γυάλινου τραπεζιού, “εξαντλεί” τα “όρια” των ικανοτήτων ενός δεξιοτέχνη υαλοποιού. Θα βοηθήσετε τον υαλοποιό να ολοκληρώσει την παραγγελία;
Ίσως, στην προσπάθεια αυτή, να απαντήσετε τη μέθοδο του Αρχιμήδη για τον υπολογισμό του μήκους και του εμβαδού ενός κύκλου. Επίσης, θα έχετε τη δυνατότητα να ξανασυστηθείτε μ΄ έναν παλιό σας γνώριμο: τον αριθμό 
.
