Το πρόβλημα του ξυλουργού

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 02-07-2014

Ένας ξυλουργός σχεδιάζει την κατασκευή μιας στέγης ενός σπιτιού.

Carpenter's_problem

Το εγχείρημα τον φέρνει αντιμέτωπο με μια σειρά από ερωτήματα που, για να απαντηθούν με ακρίβεια, θα χρειαστούν γνώσεις από την Τριγωνομετρία, τη Γεωμετρία και την Άλγεβρα. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

Ισότητα τριγώνων

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 01-05-2013

Στη Γεωμετρία του Ευκλείδη, δύο τρίγωνα θεωρούνται ίσα όταν με κατάλληλη «μετατόπιση» συμπίπτουν. Εδώ, μετατόπιση σημαίνει αλλαγή της θέσης του τριγώνου, «άκαμπτα», χωρίς, δηλαδή, να αλλάζουν οι αποστάσεις για οποιαδήποτε δύο σημεία του.

Πρακτικά, η μετατόπιση ενός τριγώνου, με την έννοια που περιγράφηκε παραπάνω, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη βοήθεια ενός διαφανούς χαρτιού, αποτυπώνοντας, πάνω σ’ αυτό, το τρίγωνο κι έπειτα μεταφέροντας, στρέφοντας ή, ακόμη, αναστρέφοντας το χαρτί. Σε κάθε περίπτωση, από τη σκοπιά της Γεωμετρίας, το αποτυπωμένο τρίγωνο παραμένει αναλλοίωτο.

Αν ένα τρίγωνο μετατοπιστεί και οι κορυφές του ταυτιστούν, μία προς μία, με τις κορυφές ενός άλλου τριγώνου, τότε, τα δύο συμπίπτοντα τρίγωνα θα έχουν τα αντίστοιχα κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τους ίσα, ένα προς ένα, δηλαδή, τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες, μία προς μία, τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, μία προς μία, τις αντίστοιχες διαμέσους τους ίσες, μία προς μία, κ.τ.λ..

Αντίστροφα, ενδιαφέρον παρουσιάζει η διερεύνηση κριτηρίων, βάσει των οποίων μπορεί κανείς, προκαταβολικά, να είναι σε θέση να αποφανθεί αν δύο τρίγωνα είναι ή όχι ίσα. Πρόκειται για τα Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων τα οποία, αρχικά, θα μπορούσαν να αναζητηθούν μεταξύ κατάλληλων συνθηκών σε σχέση με τα κύρια στοιχεία των τριγώνων (πλευρές – γωνίες).

Δραστηριότητα: Στο ακόλουθο γραφικό,

Congruent_triangles

με το οποίο μπορείτε να αλληλεπιδράσετε, παριστάνονται δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. Το ΑΒΓ μπορεί να επιλεγεί είτε τυχαίο είτε ορθογώνιο.

Να επαναπροσδιορίσετε ορισμένα από τα στοιχεία του ΔΕΖ ώστε το τρίγωνο να μετασχηματιστεί σε τρίγωνο ίσο με το ΑΒΓ.

 

  • Να δοκιμάσετε, πάλι, αλλάζοντας, ενδεχομένως, τα αρχικά τρίγωνα. Να επιχειρήσετε να τροποποιήσετε κάποιες απ’ τις συνθήκες που επιλέξατε.
  • Να αφαιρέσετε τυχόν περιττές συνθήκες και να καταγράψετε  τις απαραίτητες.
  • Να βεβαιωθείτε ότι η ισότητα των τριγώνων επιβάλλεται απ’ τις συνθήκες, που κάθε φορά επιλέγετε, κι ότι δεν είναι απλή σύμπτωση.
  • Πειραματιστείτε …

Ανακαλύψατε κάποιο κριτήριο;

Άσκηση 1: Να προσπαθήσετε να διατυπώσετε κατάλληλες συνθήκες σε σχέση και με τα δευτερεύοντας στοιχεία των τριγώνων (διάμεσοι, ύψη, διχοτόμοι), ώστε δύο τρίγωνα να είναι ίσα.

Άσκηση 2: Η έννοια της ισότητας επεκτείνεται με τον ίδιο τρόπο και στα τετράπλευρα. Να προσπαθήσετε να διατυπώσετε κριτήριο ισότητας τετραπλεύρων αξιοποιώντας κάποιο από τα κριτήρια ισότητας τριγώνων που ανακαλύψατε προηγουμένως.

(Υπόδειξη: Βρείτε πρώτα κατάλληλα τρίγωνα που «κρύβονται» στα τετράπλευρά σας.)

Αναζήτηση «ταυτοτήτων»…

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 02-12-2012

Στα Μαθηματικά, μια ισότητα που περιέχει μεταβλητές και ισχύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα.

Ορισμένες αξιοσημείωτες ταυτότητες αναδύονται μέσα από γεωμετρικά σχήματα.

Αλληλεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό,

Identities_Seeking

μπορείτε να επεξεργαστείτε τις ακόλουθες δραστηριότητες και, γιατί όχι, να αναζητήσετε τη δική σας ταυτότητα …

Τετράγωνο «αθροίσματος»

Δραστηριότητα 1 Να τοποθετήσετε δύο τετράγωνα με τέτοιον τρόπο, έτσι, ώστε να σκιαγραφηθεί το μικρότερο τετράγωνο το οποίο «περιέχει» το «άθροισμα» τους.

Τι άλλο «περιέχει» το συγκεκριμένο τετράγωνο εκτός από το «άθροισμα» των αρχικών τετραγώνων;

Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας;

Τετράγωνο «διαφοράς»

Δραστηριότητα 2 Να τοποθετήσετε δύο τετράγωνα με τέτοιον τρόπο, έτσι, ώστε να σκιαγραφηθεί το μεγαλύτερο τετράγωνο το οποίο «περιέχεται» στη «διαφορά» τους.

Τι άλλο «περιέχει» η «διαφορά» των αρχικών τετραγώνων εκτός από το συγκεκριμένο τετράγωνο;

Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας;

«Διαφορά» τετραγώνων

Δραστηριότητα 3 Να τοποθετήσετε δύο τετράγωνα με τέτοιον τρόπο, έτσι, ώστε να σκιαγραφηθεί ένα σχήμα που παριστάνει τη «διαφορά» τους, το οποίο να μπορεί να μετασχηματιστεί σε ένα σχήμα προσδιορίσιμου εμβαδού.

Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας;

Η μέτρηση του ύψους της Πυραμίδας του Χέοπα από τον Θαλή

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 27-02-2011

Thales

Ο Θαλής ο Μιλήσιος γεννήθηκε στη Μίλητο της Μ. Ασίας περίπου το 624 π.Χ.. Ήταν ο πρώτος απ’ τους επτά σοφούς της αρχαιότητας, ο πρώτος Έλληνας φιλόσοφος και, ίσως, ο πρώτος μαθηματικός, αφού εισήγαγε την απόδειξη στη Γεωμετρία. Θεωρείται ότι διδάχθηκε Γεωμετρία στον τόπο γέννησής της, δηλαδή στην Αίγυπτο.

Ποια ανάγκη, όμως, είχε ωθήσει τους Αιγύπτιους στη δημιουργία των πρώτων γεωμετρικών εννοιών; Η απάντηση πρέπει να αναζητηθεί σ’ ένα πρόβλημα πρακτικής φύσης. Οι Αιγύπτιοι κάθε φορά που πλημμύριζε ο Νείλος, έπρεπε να αποκαταστήσουν τα σύνορα των ιδιοκτησιών τους. Αυτό τους οδήγησε στο να ανακαλύψουν ένα σύνολο εμπειρικών κανόνων με πρακτικές εφαρμογές, κυρίως, σε μετρήσεις επί του εδάφους:

«γη» + «μέτρηση» = «γεωμετρία».

Ο Θαλής έμαθε τις πρώτες γεωμετρικές τεχνικές από τους Αιγύπτιους ιερείς και, προχωρώντας ένα βήμα πιο πέρα, τις μετέφερε στο χαρτί, αντικαθιστώντας αντικείμενα της εμπειρίας όπως πάσσαλοι, σχοινιά, κυκλικές περιφέρειες εδαφικών εκτάσεων, από σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ευθείες γραμμές και κύκλους. Έτσι, θεμελίωσε το υπόβαθρο πάνω στο οποίο έπρεπε να γίνει η καταγραφή αλλά και η αιτιολόγηση αυτών των κανόνων. Με την επιστροφή του στην αρχαία Ελλάδα, οι εμπειρικοί κανόνες των Αιγυπτίων άρχισαν να μετασχηματίζονται στα πρώτα γεωμετρικά θεωρήματα.

Ενδεικτικά, ας αναφερθεί ότι αν και οι πέντε προτάσεις που ακολουθούν πρέπει να ήταν γνωστές στους Αιγύπτιους, ωστόσο, οι αποδείξεις τους αποδίδονται από ορισμένους ιστορικούς των Μαθηματικών στον Θαλή:

  • Κάθε διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα τόξα (ημικύκλια).
  • Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.
  • Η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.
  • Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
  • Αν μία πλευρά ενός τριγώνου είναι ίση με μία πλευρά ενός δεύτερου τριγώνου και οι προσκείμενες γωνίες στις πλευρές αυτές είναι ίσες μία προς μία, τότε τα δύο τρίγωνα είναι ίσα.

Ο αρχαίος Έλληνας ιστορικός Διογένης ο Λαέρτιος αναφέρει ότι ο Θαλής, κατά τη διάρκεια της παραμονής του στην Αίγυπτο, κατάφερε να μετρήσει το ύψος της Πυραμίδας του Χέοπα. Σύμφωνα με εκείνον, ο Θαλής πραγματοποίησε τη μέτρηση χρησιμοποιώντας τη σκιά του εαυτού του, παρατηρώντας ότι αν κάποια μέρα η σκιά του γινόταν ίση με το ύψος του, τότε το ίδιο θα συνέβαινε και με τη σκιά του ύψους της πυραμίδας.

Επομένως, η μέτρηση του ύψους της πυραμίδας μπορούσε, τελικά, να γίνει στο έδαφος. Όμως, ποια γωνία θα σχημάτιζαν, τότε, οι ακτίνες του ήλιου με το έδαφος; Θα μπορούσε να συμβεί κάτι τέτοιο; Αν ναι, πότε; Τι προσανατολισμό έπρεπε να έχει η σκιά της πυραμίδας, ώστε να είναι δυνατό να μετρηθεί η σκιά του ύψους της; Πώς μπορούσε ο Θαλής, έστω και στο έδαφος, να μετρήσει τη σκιά του ύψους της πυραμίδας, αφού ένα μέρος της σκιάς του δεν ήταν ορατό;

Το ακόλουθο γραφικό, με το οποίο μπορείτε να αλληλεπιδράσετε, βοηθά στο να κατανοηθούν και να απαντηθούν, εν μέρει, τα προηγούμενα ερωτήματα. Έχετε υπόψη σας, ότι μετακινώντας, κατάλληλα, την κορυφή A της πυραμίδας KAB{\Gamma \Delta} και το άκρο Z του ευθύγραμμου τμήματος ZH, αλλάζουν οι διαστάσεις της πυραμίδας και του τμήματος. Επίσης, χρησιμοποιώντας το σημείο ελέγχου του ήλιου, μπορείτε να αλλάξετε την κατεύθυνσή των ακτίνων φωτός. Ακόμη, για να περιστραφεί το γραφικό, αρκεί να κρατηθεί το δεξί πλήκτρο του ποντικιού πατημένο και να μετακινηθεί ο κέρσορας. Τέλος, μπορείτε να αλλάξετε τη θέση της πυραμίδας και του τμήματος μετακινώντας τον κέρσορα του ποντικιού, αφού κρατήσετε πατημένο το πλήκτρο «Shift».

Cheop's_Pyramid_Thales

Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειωθούν τα εξής:

Πρώτα απ’ όλα ότι το γεωγραφικό πλάτος της Γκίζας, όπου βρίσκεται η πυραμίδα, είναι 29ο 57′ βόρεια του Ισημερινού. Αυτό επιτρέπει στις ακτίνες του ήλιου να σχηματίζουν γωνία 45ο με το έδαφος, το μεσημέρι, δύο φορές κάθε χρόνο (μπορείτε να δείτε τις ακριβείς ημερομηνίες που συμβαίνει αυτό, από εδώ). Αυτή η ειδική τιμή τής γωνίας διαδραμάτισε σημαντικό ρόλο στην προσπάθεια του Θαλή, διότι σ’ αυτήν την περίπτωση το μήκος της σκιάς ενός αντικειμένου γίνεται ίσο με το ύψος του.

Ακόμη, η πυραμίδα είχε κατασκευαστεί, έτσι, ώστε η μία έδρα της, στο γραφικό η KAB, να είναι στραμμένη προς την ανατολή. Αυτό σημαίνει ότι τα μεσημέρια, όπου ο ήλιος «βλέπει» την έδρα KA\Delta, οι ακτίνες του ήλιου είναι κάθετες στην πλευρά A\Delta της βάσης της πυραμίδας, γι’ αυτό, τότε, η σκιά της είναι το ισοσκελές τρίγωνο K^{\prime }B\Gamma.

Άρα, το μεσημέρι μιας τέτοιας μέρας, όπου η σκιά του Θαλή γινόταν ίση με το ύψος του, θα είχαμε,

KO=OK^{\prime }=OE+EK^{\prime }=\dfrac{AB}{2}+EK^{\prime },

με τα επιμέρους μεγέθη να μπορούν, πλέον, να μετρηθούν.

Την εποχή της κατασκευής της, το 2560 π. Χ., η πυραμίδα του Χέοπα είχε ύψος 146,6 μέτρα. Για 3800 χρόνια ήταν το ψηλότερο μνημείο στον κόσμο. Σήμερα γνωρίζουμε ότι το ύψος της είναι 138,8 μέτρα, περίπου, αφού εκτός από καθίζηση έχει υποστεί και φθορές στο εξωτερικό της. Ο Θαλής πέθανε περίπου το 547 π.Χ..

Όμως, ό,τι συμβαίνει με την ύλη, δε συμβαίνει με το ανθρώπινο πνεύμα. Η βασική ιδέα που υπήρχε στη μέθοδο του Θαλή, γενικεύεται στο «Θεώρημα του Θαλή» ,το οποίο παραμένει, αναλλοίωτα στο χρόνο, ένα από τα πιο διάσημα θεωρήματα των Μαθηματικών.

Αναφορές

  1. Douglass C., Thales, California 2006.
  2. Guedj D., Το Θεώρημα του παπαγάλου, μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, Εκδόσεις ΠΟΛΙΣ, 1999.
  3. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Thales of Miletus, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland ,1999.
  4. VanDerWaerdenB. L., Η αφύπνιση της επιστήμης, μετάφραση – επιμέλεια: Γιάννης Χριστιανίδης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2007.
  5. Wikipedia, the free encyclopedia, Great pyramid of Giza.
Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων