Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο του πεδίου ορισμού της

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου | , στις 14-10-2018

Σε προηγούμενες τάξεις, είχατε συναντήσει την έννοια της εφαπτομένης, αρχικά, σε σημείο κύκλου, ενώ, στη συνέχεια, για τις υπόλοιπες κωνικές τομές, δηλαδή, για την έλλειψη, για την παραβολή και για την υπερβολή. Σε κάθε περίπτωση, η εφαπτομένη σ’ ένα σημείο μιας καμπύλης, απ’ τις παραπάνω, επιτυγχάνει να «πλησιάσει» την καμπύλη, τουλάχιστον, «κοντά» στο σημείο από το οποίο διέρχεται.

Το γεγονός ότι η απλούστερη γραμμή, δηλαδή, η ευθεία, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί, μέσω της έννοιας της εφαπτομένης, για να προσεγγίσει ένα πιο σύνθετο, μη ευθύγραμμο σχήμα, όπως ο κύκλος, ή οι υπόλοιπες κωνικές τομές, αποτελεί κίνητρο, έτσι, ώστε, η έννοια αυτή να γενικευτεί και στις περιπτώσεις καμπυλών όπου μπορούν να θεωρηθούν γραφήματα συναρτήσεων τα οποία πληρούν μια συγκεκριμένη συνθήκη.

Όμως, ποια θα μπορούσε να είναι αυτή η συνθήκη και γιατί η εξασφάλισή της αποτελεί ικανό παράγοντα για να ορίζεται η εφαπτομένη; Ακόμη, πως θα μπορούσε να προσδιοριστεί η εφαπτομένη, μέσα από την προηγούμενη συνθήκη, δεδομένου ότι μια ευθεία μπορεί να οριστεί μέσω του συντελεστή διεύθυνσής της όταν είναι γνωστό ένα σημείο από το οποίο διέρχεται;

Η ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή, διαπραγματεύεται τον ορισμό της εφαπτομένης σε σημείο A(x_0,f(x_0)) του γραφήματος, για μια συνάρτηση f, η οποία πληροί τη συνθήκη αυτή στο σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της. Ενδεχομένως, με τη βοήθειά των διαδραστικών χαρακτηριστικών που παρέχει το γραφικό της περιβάλλον, να γίνει περισσότερο κατανοητή τόσο η συνθήκη όσο και η τεκμηρίωσή της, σε συγκεκριμένα παραδείγματα συναρτήσεων, καθώς και η σύνδεσή της με την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο A(x_0,f(x_0)) των συναρτήσεων αυτών.

Σ’ ένα επόμενο βήμα, ίσως, να μπορούσε να βρεθεί και η εξίσωση που παριστάνει την εφαπτομένη αυτή, η οποία, σύμφωνα με τα παραπάνω, θεωρούμενη, κατάλληλα, ως συνάρτηση ισούται, κατά προσέγγιση, με την f, τουλάχιστον, για εκείνα τα x τα οποία βρίσκονται σε μια «περιοχή» του x_0.

Τυχαίος περίπατος

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου | , στις 01-05-2018

Κατά την απλούστερη περίπτωση, ένας τυχαίος περίπατος μπορεί να αναπαρασταθεί από μια ευθύγραμμη κίνηση, η οποία πραγματοποιείται σ’ έναν προσανατολισμένο, βαθμολογημένο άξονα, με αφετηρία το 0 και διαδοχικές μετατοπίσεις, κατά μία μονάδα, είτε προς τα δεξιά είτε προς τα αριστερά, δηλαδή, είτε +1 είτε -1, με πιθανότητα \frac{1}{2}, για την κάθε κατεύθυνση, όσο η κίνηση διαρκεί. Κάποια εύλογα ερωτήματα θα μπορούσαν να είναι τα εξής:

  • Κατά πόσο το κινητό θα μπορούσε να «δραπετεύσει» από την αρχική του θέση; Πόσο μακριά θα μπορούσε να φτάσει; Η «ακτίνα» της κίνησής του είναι περιορισμένη ή μπορεί να αυξάνεται απεριόριστα;

  • Γενικά, πόσο θα μπορούσε να απομακρυνθεί το κινητό, από την αρχική του θέση, σε σχέση με τον συνολικό αριθμό των μετατοπίσεων, δηλαδή, ποια θεωρείτε ότι θα μπορούσε να είναι η μέση μετατόπισή του, ως προς το 0, για «μεγάλο» αριθμό επαναλήψεων – μετατοπίσεων;

  • Θεωρώντας δεδομένο τον αριθμό επαναλήψεων – μετατοπίσεων, ποια είναι η πιθανότητα με την οποία το κινητό θα μπορούσε να καταλήξει σε κάποιο από τα σημεία, που αντιστοιχούν στους ακεραίους της ευθείας;

  • Θεωρώντας δεδομένο κάποιον ακέραιο, ως θέση – στόχο, πόσες επαναλήψεις και με ποια πιθανότητα, ενδεχομένως, να χρειαστούν ωσότου το κινητό φτάσει στο στόχο;

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, ίσως να βοηθηθείτε στη κατανόηση των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών ενός τυχαίου περιπάτου και, γιατί όχι, στην απάντηση των σχετικών ερωτημάτων.


Βασικές έννοιες Στατιστικής

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου | , στις 01-05-2017

Με τη βοήθεια της ακόλουθης, διαδραστικής, εφαρμογής,

μπορείτε να διαπραγματευτείτε ορισμένες βασικές πτυχές της στατιστικής επεξεργασίας, για μια συνεχή μεταβλητή, με ομαδοποιημένες παρατηρήσεις, σε ισοπλατείς κλάσεις.

Θα έχετε τη δυνατότητα να εξασκηθείτε στην κατασκευή ιστογραμμάτων καθώς και των αντίστοιχων πολυγώνων.

Στη συνέχεια, θα κληθείτε να απαντήσετε ερωτήματα που αφορούν στην κατανομή των παρατηρήσεων αλλά και στη συμπλήρωση του πίνακα συχνοτήτων της μεταβλητής, με απώτερο σκοπό τον υπολογισμό μέτρων θέσης, όπως η διάμεσος και η μέση τιμή,  αλλά και μέτρων διασποράς και σχετικής διασποράς, όπως η διακύμανση και ο συντελεστής μεταβλητότητας, αντίστοιχα.

Όρια συναρτήσεων

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου | , στις 11-10-2014

Με την ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή μπορείτε να εξασκηθείτε στον υπολογισμό, αλγεβρικά ή γραφικά, ορισμένων βασικών μορφών ορίων συναρτήσεων.

Limits_game

Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου | , στις 27-09-2014

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε να εξασκηθείτε στη χάραξη των γραφικών παραστάσεων ορισμένων βασικών συναρτήσεων.

Graphs_game

Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων