Ρητές εξισώσεις

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, Για την Α΄ Λυκείου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 23-08-2018

Όταν ο άγνωστος μιας εξίσωσης εμφανίζεται στον παρονομαστή ενός κλάσματος, τότε, η εξίσωση ονομάζεται κλασματική.

Στην ειδικότερη περίπτωση, όπου οι όροι της εξίσωσης έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή κλασμάτων, όπου τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, η εξίσωση λέγεται ρητή.

Κατά την επίλυση μιας ρητής εξίσωσης, αρχικά, καλό είναι να περιοριστεί το πεδίο αναζήτησης των λύσεών της, εξαιρώντας τις τιμές της μεταβλητής που μηδενίζουν τους εμφανιζόμενους παρονομαστές. Γι’ αυτό αποδεικνύεται, ιδιαίτερα, χρήσιμο οι παρονομαστές να έχουν προηγουμένως παραγοντοποιηθεί.  Η παραγοντοποίηση, άλλωστε, συμβάλλει στον υπολογισμό του ΕΚΠ των παρονομαστών, βήμα σημαντικό κατά τη μετέπειτα απαλοιφή τους. Πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους μιας κλασματικής εξίσωσης με το ΕΚΠ των παρονομαστών της, μετά την εκτέλεση των απλοποιήσεων που προκύπτουν, η αρχική εξίσωση μετασχηματίζεται σε πολυωνυμική εξίσωση όπου, στο πλαίσιο της Γ΄ Γυμνασίου, συνήθως, πρόκειται για μια εξίσωση πρώτου ή δεύτερου βαθμού.

Γενικά, είναι διαπιστωμένο ότι η ενότητα αυτή εμφανίζει σημαντικές δυσκολίες, κατά τη διδακτική προσέγγιση, αφού προϋποθέτει πλήρη κατανόηση για μια πληθώρα προ απαιτούμενων γνώσεων όπως ταυτότητες, παραγοντοποίηση, εύρεση ΕΚΠ, απλοποίηση, επιμεριστική ιδιότητα, αναγωγή όμοιων όρων, επίλυση εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθμού.

Η διαδραστική εφαρμογή που ακολουθεί, πραγματεύεται τα παραπάνω θέματα για ποικίλες ρητές εξισώσεις παρέχοντας τη δυνατότητα ελέγχου των απαντήσεων του χρήστη αλλά και κάποιων κατευθυντήριων γραμμών μέσα από κατάλληλες υποδείξεις.

Γραφική Επίλυση γραμμικών συστημάτων 2×2

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 05-08-2014

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε να ελέγξετε τις γνώσεις σας στη γραφική επίλυση γραμμικών συστημάτων 2×2.

Linear_systems_graphical_interpretation_game

Η παραβολή του … «Σώτου»

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 17-05-2014

Έχετε παρατηρήσει το σχήμα του κατόπτρου κατά την τελετή αφής της Ολυμπιακής φλόγας;

Αναγνωρίζετε την καμπύλη στον σχηματισμό του ουράνιου τόξου;

Μπορείτε να σχεδιάσετε την τροχιά ενός βλήματος όταν εκτοξεύεται πλάγια σε σχέση με τον ορίζοντα;

Στη φύση, η καμπύλη της παραβολής συναντάται από τις τροχιές κίνησης ως τον σχηματισμό λόφων και κοιλάδων.

Στις ανθρώπινες κατασκευές, όπως τα παραβολικά πιάτα των τηλεοράσεων, τα παραβολικά φανάρια αυτοκινήτων και μηχανών, τα παραβολικά κάτοπτρα, τα παραβολικά τηλεσκόπια, κ.α., αξιοποιείται μια πολύ σημαντική ιδιότητα της παραβολής, η ανακλαστική ιδιότητα, χάρη στην οποία διάφοροι τύποι κυμάτων, όπως φως, ήχος, ακτινοβολίες συγκεντρώνονται σ΄ένα σημείο, σε μια εστία.

Οι ακόλουθες διαδραστικές εφαρμογές αποσκοπούν στο να αναδείξουν την αξία της αλγεβρικής περιγραφής αυτής της καμπύλης.

Παραβολικό πιάτο

Ο Σώτος αναλαμβάνει να διερευνήσει πως μεταβάλλεται το ύψος ενός παραβολικού πιάτου τηλεόρασης, σε σχέση με το «πλάτος» του, για λογαριασμό της εταιρείας στην οποία εργάζεται. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

Parabolic_Dish

Εκπαιδεύοντας το δελφίνι

«Σώτος» είναι το όνομα ενός δελφινιού που, λόγω τραυματισμού, βρίσκεται σ΄ ένα κέντρο αποκατάστασης δελφινιών. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να ανακτήσει τις αλτικές του ικανότητες;

Dolphin's_training

Τετράγωνο και κύβος αθροίσματος

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 27-02-2011

Στην Εικόνα 1,

Sum_of_squares Completion_of_the_square
Εικόνα 1 Εικόνα 2

παριστάνονται ένα τετράγωνο πλευράς \alpha και ένα τετράγωνο πλευράς \beta, τα οποία έχουν τοποθετηθεί στο επίπεδο, κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να έχουν μοναδικό κοινό σημείο και κάθε πλευρά του πρώτου να είναι παράλληλη προς μια πλευρά του δεύτερου. «Συμπληρώνουμε» το σχήμα, χρησιμοποιώντας κατάλληλα ορθογώνια, έτσι, ώστε, να σχηματιστεί το τετράγωνο πλευράς \alpha+\beta της Εικόνας 2.

Το εμβαδόν του τετραγώνου που προέκυψε είναι: \left( \alpha +\beta \right) ^{2}

Το εμβαδόν του πράσινου τετραγώνου είναι: \alpha ^{2}

Το συνολικό εμβαδόν των μωβ τετραγώνων είναι: 2\alpha \beta

Το εμβαδόν του κόκκινου τετραγώνου είναι: \beta ^{2}

Τι παρατηρείτε;

Στην Εικόνα 3,

Sum_of_cubes

Εικόνα 3

παριστάνονται ένας κύβος ακμής \alpha και ένας κύβος ακμής \beta, οι οποίοι έχουν τοποθετηθεί, κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να έχουν μοναδικό κοινό σημείο και κάθε έδρα του πρώτου να είναι παράλληλη προς μια έδρα του δεύτερου. «Συμπληρώνουμε» το σχήμα, χρησιμοποιώντας κατάλληλα παραλληλεπίπεδα, έτσι, ώστε, να σχηματιστεί ο ακόλουθος κύβος, ακμής \alpha +\beta,
Cube_of_sumμε τον οποίο μπορείτε να αλληλεπιδράσετε πατώντας σ’ ένα οποιοδήποτε σημείο του.
Ο όγκος του κύβου που προέκυψε είναι: \left( \alpha +\beta \right) ^{3}

Ο όγκος του πράσινου κύβου είναι: \alpha ^{3}

Ο συνολικός όγκος των μωβ1 παραλληλεπιπέδων είναι: 3\alpha ^{2}\beta

Ο συνολικός όγκος των γαλάζιων παραλληλεπιπέδων είναι: 3\alpha \beta ^{2}

Ο όγκος του κόκκινου κύβου είναι: \beta ^{3}

Τι παρατηρείτε;


1Μωβ χρώμα έχει και το παραλληλεπίπεδο το οποίο δεν είναι ορατό απ? αυτήν την οπτική γωνία.

Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων