Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο του πεδίου ορισμού της

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου | , στις 14-10-2018

Σε προηγούμενες τάξεις, είχατε συναντήσει την έννοια της εφαπτομένης, αρχικά, σε σημείο κύκλου, ενώ, στη συνέχεια, για τις υπόλοιπες κωνικές τομές, δηλαδή, για την έλλειψη, για την παραβολή και για την υπερβολή. Σε κάθε περίπτωση, η εφαπτομένη σ’ ένα σημείο μιας καμπύλης, απ’ τις παραπάνω, επιτυγχάνει να “πλησιάσει” την καμπύλη, τουλάχιστον, “κοντά” στο σημείο από το οποίο διέρχεται.

Το γεγονός ότι η απλούστερη γραμμή, δηλαδή, η ευθεία, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί, μέσω της έννοιας της εφαπτομένης, για να προσεγγίσει ένα πιο σύνθετο, μη ευθύγραμμο σχήμα, όπως ο κύκλος, ή οι υπόλοιπες κωνικές τομές, αποτελεί κίνητρο, έτσι, ώστε, η έννοια αυτή να γενικευτεί και στις περιπτώσεις καμπυλών όπου μπορούν να θεωρηθούν γραφήματα συναρτήσεων τα οποία πληρούν μια συγκεκριμένη συνθήκη.

Όμως, ποια θα μπορούσε να είναι αυτή η συνθήκη και γιατί η εξασφάλισή της αποτελεί ικανό παράγοντα για να ορίζεται η εφαπτομένη; Ακόμη, πως θα μπορούσε να προσδιοριστεί η εφαπτομένη, μέσα από την προηγούμενη συνθήκη, δεδομένου ότι μια ευθεία μπορεί να οριστεί μέσω του συντελεστή διεύθυνσής της όταν είναι γνωστό ένα σημείο από το οποίο διέρχεται;

Η ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή, διαπραγματεύεται τον ορισμό της εφαπτομένης σε σημείο A(x_0,f(x_0)) του γραφήματος, για μια συνάρτηση f, η οποία πληροί τη συνθήκη αυτή στο σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της. Ενδεχομένως, με τη βοήθειά των διαδραστικών χαρακτηριστικών που παρέχει το γραφικό της περιβάλλον, να γίνει περισσότερο κατανοητή τόσο η συνθήκη όσο και η τεκμηρίωσή της, σε συγκεκριμένα παραδείγματα συναρτήσεων, καθώς και η σύνδεσή της με την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο A(x_0,f(x_0)) των συναρτήσεων αυτών.

Σ’ ένα επόμενο βήμα, ίσως, να μπορούσε να βρεθεί και η εξίσωση που παριστάνει την εφαπτομένη αυτή, η οποία, σύμφωνα με τα παραπάνω, θεωρούμενη, κατάλληλα, ως συνάρτηση ισούται, κατά προσέγγιση, με την f, τουλάχιστον, για εκείνα τα x τα οποία βρίσκονται σε μια “περιοχή” του x_0.

Διαβάστε περισσότερα

Η εκθετική συνάρτηση

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου | , στις 09-08-2016

Μια συγκεκριμένη εποχή του χρόνου, σε μια λίμνη, ένας πληθυσμός νουφάρων διπλασιάζεται καθημερινά. Αν σε είκοσι ημέρες τα νούφαρα κάλυψαν ολόκληρη τη λίμνη, σε πόσες ημέρες είχαν καλύψει τη μισή;

Ο μη υποψιασμένος αναγνώστης δύσκολα θα αποφύγει να διολισθήσει στην παγίδα της “παγκόσμιας γραμμικότητας”, απαντώντας λανθασμένα σ΄ένα ερώτημα όπως το προηγούμενο.

Θεωρώντας το πλήθος των νουφάρων, σε συνάρτηση με τον αριθμό των ημερών, μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι ισόποσες χρονικές μεταβολές δεν οδηγούν, αναγκαστικά, σε ισόποσες μεταβολές στον πληθυσμό των νουφάρων.

Για παράδειγμα, αν μετά από 1 ημέρα, τα νούφαρα είναι 100, μετά από 2 ημέρες θα είναι 200, αλλά μετά από 3 ημέρες δε θα είναι 300, αλλά, προφανώς, 400. Έτσι, ενώ ο χρόνος μεταβάλλεται ισόποσα (ανά 1 ημέρα) δεν ισχύει το ίδιο για τη μεταβολή του αριθμού των νουφάρων. (Οι διαδοχικές διαφορές δεν είναι ίδιες.)

Μήπως μπορείτε να εντοπίσετε ποιο μέγεθος παραμένει σταθερό κατά τη μεταβολή του αριθμού των νουφάρων;

Ποια έννοια των Μαθηματικών υπεισέρχεται κατά τη μελέτη τέτοιων συναρτήσεων;
Exponential_Function

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 06-01-2014

Στα ακόλουθα παραδείγματα, ένα μέγεθος σχετίζεται με κάποιο άλλο μέγεθος,

  • το κόστος αγοράς των ψαριών, στα ψαράδικα, είναι ανάλογο του βάρους τους.
  • ο μηνιαίος μισθός μιας πωλήτριας, σ΄ ένα μαγαζί με ρούχα, εξαρτάται απ΄ τις πωλήσεις ρούχων που πραγματοποίησε.
  • σε κάθε όχημα, η απόσταση φρεναρίσματος, έχει σχέση με την παλαιότητα των ελαστικών.
  • η πρόοδος ενός μαθητή είναι αποτέλεσμα της προσπάθειάς του.

Στα Μαθηματικά, η έννοια της συνάρτησης, για δύο μεγέθη, είναι συνυφασμένη με την έννοια της εξάρτησης του ενός από το άλλο. Φυσικά, η αποσαφήνιση της σχέσης εξάρτησης, μεταξύ δύο μεγεθών, δεν είναι, πάντοτε, απλή διαδικασία. Η αποτύπωση αυτής της σχέσης εξάρτησης, όταν επιτυγχάνεται, μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, όπως με τη βοήθεια ενός μαθηματικού τύπου, του τύπου της συνάρτησης, είτε με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών των μεγεθών, είτε, τέλος, με τη βοήθεια ενός γραφήματος, της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Παράδειγμα Α (Τύπος συνάρτησης): Το διάστημα , S, σε \roman{\text{km}}, που καλύπτει σε χρόνο t, σε \roman{\text{sec}}, ένα αυτοκίνητο, που κινείται με σταθερή ταχύτητα U=70 \roman{\text{ km/h}}, δίνεται από τον τύπο S=70t.   Θα μπορούσατε να κατασκευάσετε έναν πίνακα τιμών για ορισμένες ενδεικτικές τιμές του χρόνου ;

Παράδειγμα Β (Πίνακας τιμών συνάρτησης):

  • Ο μηνιαίος μισθός ενός υπαλλήλου καθορίζεται από κάποιο σταθερό μηνιάτικο στο οποίο προστίθεται ένα ποσοστό επί των πωλήσεων που πραγματοποιεί. Ο ακόλουθος πίνακας παριστάνει τους μισθούς του υπαλλήλου τους τελευταίους πέντε μήνες με βάση τις πωλήσεις που πραγματοποίησε.
     Πωλήσεις σε €   Μισθός σε €
    1000 600
    2000 700
    2500 750
    4000 900
    6000 1100
    Θα μπορούσατε να βρείτε αυτό το σταθερό μηνιάτικο καθώς και το ποσοστό τα οποία διαμορφώνουν τον μισθό;
  • Ο Δήμος Διρφύων – Μεσσαπίων πρόκειται να προσλάβει ορισμένους εργάτες για ένα έργο. Ο τελικός αριθμός των εργατών θα εξαρτηθεί από τις ημέρες που θα χρειαστούν να ολοκληρώσουν το έργο. Ο Δήμος απευθύνθηκε σε μία εταιρία στην Χαλκίδα, η οποία, στο πλαίσιο της προσφοράς της, έδωσε τις εξής πληροφορίες:
     Αριθμός εργατών 
    		  Ημέρες εργασίας
    5 60
    10 30
    20 15
    30 10

    Θα μπορούσατε να βρείτε τις ημέρες εργασίας που θα χρειάζονταν 12 εργάτες;

Παράδειγμα Γ (Γραφική παράσταση συνάρτησης): Στο ακόλουθο γράφημα παριστάνεται η πρόγνωση για την ταχύτητα, σε μποφόρ, του ανέμου στην περιοχή της Χαλκίδας, κάποιες ημέρες του Ιανουαρίου 2014, από το meteo.gr.

meteo_Chalkis

Θα μπορούσατε να βρείτε πότε αναμένεται η ελάχιστη και πότε η μέγιστη τιμή του ανέμου, καθώς και τις αντίστοιχες τιμές; Ποιες είναι οι σταθερές, κατά διαστήματα, τιμές του ανέμου;

Μια σημαντική κατηγορία συναρτήσεων είναι αυτή που περιλαμβάνει τις σχέσεις που καθορίζουν τον τρόπο συσχέτισης δύο ανάλογων ποσών (όπως το διάστημα, S, και ο χρόνος, t, στο Παράδειγμα Α) ή δύο ποσών που οι μεταβολές τους είναι ανάλογες (όπως η αύξηση του μισθού του υπαλλήλου στο Παράδειγμα Β1 σε σχέση με την αύξηση των πωλήσεων που πραγματοποίησε). Πρόκειται για τις επονομαζόμενες Γραμμικές Συναρτήσεις, αφού η γραφική τους αναπαράσταση είναι ευθεία γραμμή.

Δεύτερη σημαντική κατηγορία συναρτήσεων είναι αυτή που περιλαμβάνει τις σχέσεις που καθορίζουν τον τρόπο συσχέτισης δύο αντιστρόφως ανάλογων ποσών (όπως ο αριθμός των εργατών σε σχέση με τις ημέρες εργασίας στο Παράδειγμα Β2). Πρόκειται για συναρτήσεις με γραφικές παραστάσεις καμπύλες που ονομάζονται υπερβολές.

Το ακόλουθο διαδραστικό παιχνίδι αναφέρεται σ΄ αυτές τις δύο κατηγορίες συναρτήσεων.


Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Accessibility by WAH