ΜαθηματιΚά Ένα ιστολόγιο του ΠΣΔ 

Θα μπορούσατε να τοποθετήσετε, κατάλληλα, τέσσερα ίδια τετράγωνα, χωρίς αλληλεπικαλύψεις, έτσι, ώστε να κατασκευάσετε ένα νέο τετράγωνο; Είναι δυνατόν να γίνει το ίδιο με εννιά ίδια τετράγωνα; Με δεκαέξι; Με δύο; Τι παρατηρείτε;

Ο όρος “τετραγωνική ρίζα”, για μια έννοια που συνήθως χρησιμοποιείται στο πλαίσιο αλγεβρικών διαδικασιών, έτσι κι αλλιώς, προϊδεάζει για δεσμούς της υπόστασής της με τη Γεωμετρία. Έχετε κάποια υπόννοια για το ποια θα μπορούσε να είναι η “ρίζα” ενός τετραγώνου;

Η σύνδεση με τη Γεωμετρία μπορεί να γίνει σχετικά εύκολα λ.χ. για τις τετραγωνικές ρίζες (τετράγωνων) αριθμών όπως το $4$, το $9$, το $16$, το $25$ κλπ. Για παράδειγμα, για τον αριθμό $4$, η τετραγωνική του ρίζα δεν είναι τίποτε άλλο παρά η πλευρά τετραγώνου με εμβαδό $4$. Εναλλακτικά, πρόκειται για την πλευρά ενός τετραγώνου που έχει εμβαδό όσο το συνολικό εμβαδό τεσσάρων ίδιων τετραγώνων εμβαδού $1$.

Στα αρχαία Ινδικά εγχειρίδια “Sulbasutra”, που αντλούν γνώσεις οι οποίες χρονολογούνται, ίσως, από το 2000 π.Χ. και μεταφέρθηκαν μέσω της προφορικής παράδοσης, περιγράφονται τρόποι κατασκευής βωμών και ναών, ενώ, ταυτόχρονα, δίνεται το απαραίτητο “τεχνικό” υπόβαθρο˙ μια συλλογή εμπειρικών “κανόνων” (“Sutra”), ουσιαστικά, από το πεδίο που αργότερα θα στοιχειοθετούσε τη “Γεωμετρία”. Προφανώς, σε κάποια από τις κατασκευές των αρχαίων Ινδών, χρειάστηκε ο υπολογισμός της διαγωνίου ενός τετραγώνου:

“Το μέτρο της πλευράς του πρέπει να αυξηθεί κατά το ένα τρίτο του κι αυτό (το ένα τρίτο του) ξανά με το ένα τέταρτό του μειωμένο κατά το τριακοστό τέταρτο (αυτού του τετάρτου)˙ αυτή είναι η διαγώνιος ενός τετραγώνου …”

Με σύγχρονη ορολογία και συμβολισμό:

\[
\sqrt{2}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot4}-\frac{1}{3\cdot4\cdot34}\simeq 1.4142…,
\]

Αλήθεια πως ήταν σε θέση οι αρχαίοι Ινδοί να προσδιορίσουν με τόσο μεγάλη ακρίβεια την εύρεση του $\sqrt{2}$; Ποιές πρωταρχικές γεωμετρικές διαδικασίες θα μπορούσαν να έχουν αξιοποιήσει; Άραγε, κατά την προσέγγισή τους, να αντιλήφθηκαν την ιδιαιτερότητα έκφρασης αυτού του αριθμού;

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής,

μπορείτε, ίσως, με μέθοδο παρόμοια μ΄ αυτήν που ενδεχομένως να ακολουθούσαν οι αρχαίοι Ινδοί, να βρείτε τρόπο έκφρασης των $\sqrt{2},\sqrt{3}$ και $\sqrt{5}$.

Αναφορές

1. Henderson D.W., Square Roots in the Sulbasutra, Department of Mathematics, Cornell University.