ΜαθηματιΚά Ένα ιστολόγιο του ΠΣΔ 

Ισότητα

Το σύμβολο “$=$” και η σχέση που παριστάνει δε χρειάζονται ιδιαίτερες συστάσεις:

Από τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού, το έχετε συναντήσει, αμέτρητες φορές, σε εκείνες τις περιπτώσεις που δύο μαθηματικά αντικείμενα δε διαφοροποιούνται μέσα στο εννοιολογικό πλαίσιο που ορίζονται.

Για παράδειγμα, $3+2=5,\, 90^{\circ}-45^{\circ }=45^{\circ},\, \vec{\alpha}-\vec{\alpha}=\vec{0}$ , “Δύο κύκλοι με ίσες ακτίνες είναι ίσοι” κ.ά..

Ισότητα ή Ισοδυναμία;

Από την άλλη μεριά, πόσο εύκολα, αλήθεια, ασπαστήκατε “ισότητες”, όπως,
\[$\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{9}=\ldots $,\]

όταν τις συναντήσατε για πρώτη φορά, κατά τη μελέτη των κλασμάτων;

Ίσως, ακόμη και τώρα, να νιώθετε άβολα μ΄ αυτήν την ταύτιση διαφορετικών, κατασκευαστικά, μαθηματικών αντικειμένων. Άλλωστε, ο αρχικός χαρακτηρισμός “ισοδύναμα κλάσματα”, που συνήθως ακολουθεί την έννοια του κλάσματος, γρήγορα, προσπεράστηκε χωρίς περαιτέρω αναφορές.

Βέβαια, ενδεχομένως, να μην αναγνωρίζετε καμιά (αλγεβρική) διαφορά μεταξύ των αριθμών $\dfrac{1}{3}$ και $\dfrac{2}{6}$ καθώς, συχνά, τους ταυτίσατε, χωρίς επιφυλάξεις, όσες φορές χρησιμοποιήθηκαν στο πλαίσιο μιας μαθηματικής διεργασίας.

Τί θα συνέβαινε, όμως, π.χ. σε μια απόπειρα να επεκτείνουμε τον ορισμό,
\[$\alpha ^{\frac{\mu }{\nu }}=\root{\nu }\of{\alpha ^{\mu }},$ $\alpha \geq 0$\]

σε περιπτώσεις όπου $\alpha<0$;

Σ΄ ένα τέτοιο εγχείρημα, ενώ, για παράδειγμα, μάλλον θα συμφωνούσατε, ξεχωριστά, με καθεμία από τις ισότητες,
\[$\left( -1\right) ^{\frac{1}{3}}=\root{3}\of{-1}=-1$\]

και
\[$\left( -1\right) ^{\frac{2}{6}}=\root{6}\of{(-1)^{2}}=1$\]

εύλογα, αντιλαμβάνεστε την “αντίφαση”:
\[$\left( -1\right) ^{\frac{1}{3}}\neq \left( -1\right) ^{\frac{2}{6}}.$\]

Ένα παρεμφερές “παράδοξο”, από το Κεφάλαιο του Ολοκληρωτικού Λογισμού, εμφανίζεται, εφαρμόζοντας παραγοντική ολοκλήρωση, στο αόριστο ολοκλήρωμα,
\[$I=\displaystyle\int \frac{1}{x}\mathrm{dx}$,\]

π.χ. στο $(0,+\infty )$, όπου προκύπτει ότι,
\[$I=\displaystyle\int \frac{1}{x}\left( x\right) ^{\prime }\mathrm{dx}=x\frac{1}{x}-\int x\left( \frac{1}{x}\right) ^{\prime }\mathrm{dx}=1-\int x\frac{-1}{x^{2}}\mathrm{dx}=1+I$\]

δηλαδή, ότι $0=1$!

Άραγε, υπάρχει κάποιο λάθος στους υπολογισμούς ή στις “ισότητες” μεταξύ των παραπάνω ολοκληρωμάτων;

Αν όχι, με ποια έννοια είναι ίσα τα παραπάνω μαθηματικά αντικείμενα; Μήπως, μέσα από από κάποιο πρίσμα, θα μπορούσε να θεωρηθεί σωστή η ισότητα $0=1$;

Να ανοίξουμε, σ΄ αυτό το σημείο, μια παρένθεση και να ανακαλέσουμε τον ορισμό του σχολικού βιβλίου για το αόριστο ολοκλήρωμα:

“Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης $f$ σ΄ ένα διάστημα $\Delta$ ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της $f$ στο $\Delta$, συμβολίζεται $\displaystyle\int f(x)\mathrm{dx}$ και διαβάζεται “ολοκλήρωμα εφ του χι ντε χι”.”

Άρα, το αόριστο ολοκλήρωμα είναι σύνολο;

Αλλά, τότε, τι έννοια έχει η ισότητα $\displaystyle\int f(x)\mathrm{dx}=F(x)+c$ όπου $F$ μια παράγουσα της $f$ στο $\Delta$, που ακολουθεί στο σχολικό βιβλίο επεξηγώντας τον προηγούμενο ορισμό;

Στην πραγματικότητα, εδώ το “$=$” σημαίνει ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια “δυναμική” κατά την αντιπαραγώγιση, δηλαδή, αν παραγωγιστούν, τότε προκύπτει ίδιο αποτέλεσμα, ίδια συνάρτηση.

Εξακολουθείτε να πιστεύετε το ίδιο σθεναρά ότι η “ισότητα” $0=1$, του παραπάνω παραδείγματος, είναι λανθασμένη;