Ένας ήσυχος περίπατος, δύο μαθητών, εξελίσσεται σε εφιάλτη όταν τα δύο σκυλάκια, που έχουν μαζί τους, ετοιμάζονται να διεκδικήσουν ένα κόκκαλο, που βρέθηκε στο δρόμο τους.
Θα καταφέρουν, τα δύο παιδιά, να χειριστούν, σε διάφορες περιπτώσεις, τα δύο σκυλάκια ή το εγχείρημα θα αποδειχτεί ένα δυσεπίλυτο γεωμετρικό πρόβλημα;
Στο πλαίσιο της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, θα κληθείτε να προσαρτήσετε τη διάμετρο ενός κύκλου στην περιφέρειά του, προσομοιώνοντας την καμπύλωσή της, ξεκινώντας από κάποιο σημείο εφαρμογής, πάνω στον κύκλο, και συνεχίζοντας, διαδοχικά, με όμοιο τρόπο, από το σημείο στο οποίο, κάθε φορά, καταλήγει, παρατηρώντας τον ακριβή αριθμό που φανερώνει πόσες φορές το καμπυλωμένο τμήμα της διαμέτρου “χωράει” στον κύκλο.
Συνεπώς, προκύπτει μια πρώτη εκτίμηση για το μήκος του κύκλου με μονάδα μέτρησης τη διάμετρό του. Πώς, όμως, θα μπορούσε η εκτίμηση αυτή να γίνει καλύτερη;
Προφανώς, η προηγούμενη διαδικασία θα μπορούσε να επαναληφθεί με χρήση κατάλληλων, κάθε φορά, υποδιαιρέσεων της διαμέτρου, ωσότου προσεγγιστεί, όσο το δυνατόν περισσότερο, το αρχικό σημείο εφαρμογής της διαμέτρου στον κύκλο, κατά το ξεκίνημα της διαδικασίας.
Η εκτίμηση θα μπορούσε να βελτιωθεί, εξαντλητικά, ανακαλύπτοντας, ολοένα και περισσότερο, τα ψηφία του αριθμού που συσχετίζουν το μήκος ενός κύκλου με τη διάμετρό του.
Έτσι, με τη βοήθειά της, μπορείτε να συνδέσετε τον αριθμό π με το “π – εριτύλιγμα …” του κύκλου από διαμέτρους και από τις υποδιαιρέσεις τους.
Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε να επιχειρήσετε να προσαρτήσετε, διαδοχικά και χωρίς αλληλεπικαλύψεις, κατάλληλο αριθμό (ακέραιων) ακτίνων ενός κύκλου στην περιφέρειά του, καμπυλώνοντας τα αντίστοιχα ευθύγραμμα τμήματά τους. Θα παρατηρήσετε ότι κάποιο μέρος του κύκλου παραμένει “ακάλυπτο”. Έτσι, μπορείτε να συνεχίσετε, παρόμοια, υποδιαιρώντας τις ακτίνες, αφού τις διαιρέσετε σε κατάλληλο αριθμό ίσων τμημάτων, για να “καλύψετε” περαιτέρω τον κύκλο. Μπορείτε να σταματήσετε όταν θεωρήσετε ότι καλύψατε, επαρκώς, τον κύκλο.
Ποιος αριθμός “μετράει” τον κύκλο, με τη βοήθεια της ακτίνας του, με βάση την κάλυψή σας;
Η διαδικασία, που περιγράφηκε παραπάνω, θα περατωθεί ποτέ;
Τελικά, τι είδους αριθμός εκφράζει τον κύκλο σε ακτίνια και ποια είναι η τιμή του;
Δύο συμπαίχτες, μιας ποδοσφαιρικής ομάδας, γνωρίζουν ότι, αν συνεργαστούν και εκτελέσουν, με ακρίβεια, ένα σύστημα, είναι πολύ πιθανό να πετύχουν τέρμα. Στο πλαίσιο της συνεργασίας τους, πρέπει να αλλάξουν τη μπάλα δυο φορές με πανομοιότυπο τρόπο, καθώς κινούνται σε παράλληλες κατευθύνσεις και σε ίσες αποστάσεις απ’ τις αρχικές τους θέσεις. Αν γνωρίζετε την καμπύλη της πρώτης πάσας, μπορείτε να υπολογίσετε την ακριβή πορεία της δεύτερης πάσας;
Μια συγκεκριμένη εποχή του χρόνου, σε μια λίμνη, ένας πληθυσμός νουφάρων διπλασιάζεται καθημερινά. Αν σε είκοσι ημέρες τα νούφαρα κάλυψαν ολόκληρη τη λίμνη, σε πόσες ημέρες είχαν καλύψει τη μισή;
Ο μη υποψιασμένος αναγνώστης δύσκολα θα αποφύγει να διολισθήσει στην παγίδα της “παγκόσμιας γραμμικότητας”, απαντώντας λανθασμένα σ΄ένα ερώτημα όπως το προηγούμενο.
Θεωρώντας το πλήθος των νουφάρων, σε συνάρτηση με τον αριθμό των ημερών, μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι ισόποσες χρονικές μεταβολές δεν οδηγούν, αναγκαστικά, σε ισόποσες μεταβολές στον πληθυσμό των νουφάρων.
Για παράδειγμα, αν μετά από 1 ημέρα, τα νούφαρα είναι 100, μετά από 2 ημέρες θα είναι 200, αλλά μετά από 3 ημέρες δε θα είναι 300, αλλά, προφανώς, 400. Έτσι, ενώ ο χρόνος μεταβάλλεται ισόποσα (ανά 1 ημέρα) δεν ισχύει το ίδιο για τη μεταβολή του αριθμού των νουφάρων. (Οι διαδοχικές διαφορές δεν είναι ίδιες.)
Μήπως μπορείτε να εντοπίσετε ποιο μέγεθος παραμένει σταθερό κατά τη μεταβολή του αριθμού των νουφάρων;
Ποια έννοια των Μαθηματικών υπεισέρχεται κατά τη μελέτη τέτοιων συναρτήσεων;
Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε να ανακαλύψετε τον τύπο που υπολογίζει το εμβαδό της επιφάνειας της σφαίρας.
Σκοπός της εφαρμογής είναι να προσομοιωθεί κατάλληλη κάλυψη της επιφάνειας της σφαίρας, η οποία δημιουργείται με τη βοήθεια “κουκκίδων” που ορίζονται από την τομή “παράλληλων” κύκλων και “μεσημβρινών” πάνω στην επιφάνειά της. Οι κουκκίδες περιστρέφονται γύρω από το “νότιο πόλο” της σφαίρας ωσότου προσεγγίσουν το “επίπεδο στήριξης” της σφαίρας, συνθέτοντας, έτσι, έναν κυκλικό δίσκο. Μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του και το εμβαδόν του;
Μια ομάδα επιστημόνων, στη γη, προσπαθεί να χειριστεί δύο ειδικά διαστημικά οχήματα, ενός διαστημικού σταθμού, με σκοπό να πλησιάσει, όσο το δυνατόν περισσότερο, την κυκλική τροχιά ενός ουράνιου σώματος.
Όμως, μια απροσδόκητη βλάβη στα ηλεκτρονικά συστήματα του σταθμού, καθιστά αναγκαία την επίλυση ενός προβλήματος μετρικών σχέσεων. Μπορείτε να βοηθήσετε;
