ΜαθηματιΚά Ένα ιστολόγιο του ΠΣΔ 

Μετά από κάποια εισαγωγικά μαθήματα σχετικά με την έννοια της τετραγωνικής ρίζας και με τον υπολογισμό κάποιων ειδικών περιπτώσεων τετραγωνικών ριζών, δοκιμάζοντας αριθμούς ωσότου βρεθεί αυτός του οποίου το τετράγωνο, δηλαδή το γινόμενό του επί τον εαυτό του, ισούται με την υπόρριζη ποσότητα, είναι εύλογο να αναρωτηθεί κανείς αν υπάρχει κάποια γενικότερη μέθοδος υπολογισμού τετραγωνικών ριζών. Η απάντηση είναι καταφατική και, στη συνέχεια, επιχειρείται, με τη βοήθεια ενός παραδείγματος, μια πρώτη γνωριμία με τη μέθοδο αυτή.

Θα βρεθεί η τετραγωνική ρίζα του αριθμού .

6. 1. Τα ψηφία του χωρίζονται, ανά δύο, από δεξιά: και ο αριθμός τοποθετείται, πάνω αριστερά, σε μια διάταξη παρόμοια μ’ αυτήν που χρησιμοποιείται κατά την εφαρμογή του αλγόριθμου της διαίρεσης.

         

   2. Βρίσκουμε τον αριθμό () ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο προσεγγίζει, όσο το δυνατόν περισσότερο, χωρίς, όμως, να υπερβαίνει τον πρώτο, από αριστερά αριθμό, μετά τον χωρισμό (). Τον αριθμό που βρήκαμε τον γράφουμε πάνω δεξιά στην προαναφερόμενη διάταξη.

         

   3. Το τετράγωνο του αριθμού, που βρήκαμε στο προηγούμενο βήμα, αφαιρείται από τον πρώτο, από αριστερά αριθμό, μετά τον χωρισμό, σημειώνοντας το αποτέλεσμα, ως ακολούθως,

         

   4. Προσαρτούμε τον επόμενο, από αριστερά, αριθμό, μετά τον χωρισμό, () δεξιά του αποτελέσματος, του προηγούμενου βήματος ().

         

   5. Διπλασιάζουμε τον αριθμό, που υπάρχει πάνω δεξιά, στην προηγούμενη διάταξη, (), σημειώνοντας το αποτέλεσμα (), κάτω δεξιά της. 

         

      Πλέον, αναζητείται το ψηφίο () το οποίο, δίπλα στο προηγούμενο αποτέλεσμα, (), στη θέση των μονάδων, σχηματίζει έναν αριθμό () ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος επί το ζητούμενο ψηφίο () προσεγγίζει, όσο το δυνατόν περισσότερο, χωρίς, όμως, να υπερβαίνει το αποτέλεσμα που βρέθηκε στο βήμα 4 ().

         

      Το ψηφίο αυτό σημειώνεται δεξιά του αποτελέσματος που βρέθηκε στο βήμα 2.

         

   6. Το αποτέλεσμα του γινομένου, όπως περιεγράφηκε στο βήμα 5, αφαιρείται από τον αριθμό που είχε βρεθεί στο βήμα 4, όπως παρακάτω,

         

   7. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 4-6, ωσότου «εξαντληθεί» η υπόρριζη ποσότητα, προχωρώντας, αν χρειαστεί, παρόμοια, και στο δεκαδικό της μέρος, πάντοτε σε σχέση και με την επιζητούμενη ακρίβεια.   

         

                                 

         

                                                                                       

         

                                                                                        

         

   8. Το εξαγόμενο της ρίζας, για τη ζητούμενη ακρίβεια, είναι ο αριθμός που βρίσκεται πάνω δεξιά στη χρησιμοποιούμενη διάταξη,

         

Για να εμβαθύνουμε, περισσότερο, στον αλγόριθμο, ας επιχειρήσουμε να εκτιμήσουμε τη , από μικρότερες τιμές.

• Με προσέγγιση εκατοντάδων: Επειδή, , ενώ, , έχουμε ότι, . Έτσι, προκύπτει το ψηφίο  στο βήμα 2. Βέβαια, εκεί η διαδικασία παρουσιάστηκε απλοποιημένη, διότι, ουσιαστικά,

     

  ενώ,

     

  (Τροποντινά, τα μηδενικά του  αποσιωπώνται, στο βήμα 2, αφού, άλλωστε, στην πορεία, ενδεχομένως, να αντικατασταθούν από άλλα ψηφία, καθώς, η προσέγγιση βελτιώνεται.)

• Με προσέγγιση δεκάδων: Επειδή,

     

  ενώ,

     

  έχουμε ότι, .

  Έτσι, προκύπτει το ψηφίο  στο βήμα 5. Βέβαια, εκεί η διαδικασία παρουσιάστηκε με αμεσότερο τρόπο και υποστηρίχθηκε από ένα συμπέρασμα, που αναφέρεται στη διαφορά δύο τετραγώνων, το οποίο θα σκιαγραφηθεί αμέσως παρακάτω. Στα ακόλουθα σχήματα,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

  ερμηνεύεται, γεωμετρικά, η ισότητα,

     

  η οποία γράφεται,

     

  (Τροποντινά, το γινόμενο  βελτιώνει, προσθετικά, την αρχική προσέγγιση του  για την υπόρριζη ποσότητα. Γι’ αυτό, αποσιωπώντας τα μηδενικά, αναζητείται εκ των προτέρων, στη θέση των δεκάδων της εκτίμησης  της ρίζας, το ψηφίο  το οποίο, δίπλα στο , στη θέση των μονάδων, σχηματίζει τον αριθμό  ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος επί το ψηφίο  προσεγγίζει, όσο το δυνατόν περισσότερο, χωρίς, όμως, να υπερβαίνει το αποτέλεσμα που προκύπτει αν στη διαφορά προσαρτηθεί το επόμενο ζεύγος ψηφίων () της υπόρριζης ποσότητας.)

• Με προσέγγιση μονάδων. Το ίδιο σκεπτικό, που περιεγράφηκε προηγουμένως, οδηγεί στο ψηφίο ,

  διότι,

     

  ενώ,

     

  δηλαδή, ακριβώς ο αριθμός που προκύπτει αν προσαρτηθεί στο το επόμενο ζεύγος ψηφίων () της υπόρριζης ποσότητας.